(14)刚体进动

（2）跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等； （3）两个圆盘的角速度和角加速度不相等。
TA ≠ TB ≠ TD 但 TB = T（忽略绳子的质量） C
ω1 ≠ ω2
α1 ≠ α 2
例6.
如图，匀质圆盘M静止，有一粘土块m从高h处下落 ，与圆盘粘在一起。已知 M=2m, θ=60˚；求碰撞后瞬间 圆盘的 ω0=? P转到 x 轴时圆盘的ω=? β=?
m2 g
例1.
ω10
N1
r1
解
r1 t ⇒ ω10 − ω1 = ∫ fdt 0 J 1 r2 ω d fr2 2 o2 盘2：J 2 = fr2 ⇒ dω2 = dt dt J2 r2 t ⇒ ω2 = fdt ∫ J2 0 f J1 J2 于是有： (ω10 − ω1 ) = ω 2 r1 r2 m2 g 不打滑条件： r1ω1 = r2ω 2
质心C的位移为：
运动学判据
2）纯滚运动的速度分布： 以质心C为基点：
G G G G G v D = ω × rCD + vC = 2vC
接触点A的速度为
最高点D的速度为
G ω v E E
D
G vD
G F C v c G A v c G vA = 0
G G G G G G v A = ω × rCA + vC = − vC + vC =G0 G ω × rcA G G G G v E = ω × rCE + vC
3 gl − 3 2 μgs ω′ = l
h = l + 3μs − 6 μsl
作 业
辅导书
计算题
L1
L2
5.角动量守恒定律 当合外力矩为零
G L = 常矢量
例1.
两个均质圆盘转动惯量分别为 J1 和 J2 , 开始时第一 个圆盘以ω10的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使 两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆 盘的角速度. N2 N1
ω10
f
r1
o1
f
m1 g
o2
r2
m2 g
例1.
2F (R + l ) aC = 3mR
由此可见
R − 2l f = F 3R
α
l<R/2, f>0, 静摩擦力向后 l=R/2, f=0 l>R/2, f<0, 静摩擦力向前
K f
l
aC
F
5.7 进动 进动——高速自转的刚体的轴在空间转动的现象. 陀螺进动问题 K K M ⊥GL， G dL 角动量定理 M = K K dt
（纯滚动条件） ac = Rα 2 mgR sin θ 解上述四式可得 ac = J c + mR 2
G ac
α
θ
x
C G A f G mg
o
mgR 2 sin θ 转动惯量越小加速度 越大 ac = 2 J c + mR 1 2 ac = g sin θ 薄圆筒： J c = mR 2 G 1 2 2 N y 实心圆柱体：J c = mR ac = g sinθ 2 3
2 实心球体： J c = mR 2 5 5 ac = g sinθ 7
G ac
α
θ
x
C G A f G mg
o
方法二 用机械能守恒定律。 由于圆柱体作纯滚动，接 触点无相对滑动，静摩擦力不做功，只有重力做功，机 1 2 1 械能守恒。 mvc + J cω 2 − mgxc sin θ = E0 ( 常量 ) 2 2 对上式求导数得 mvc ⋅ ac + J cω ⋅ α − mg ⋅ vc sin θ = 0 其中
O l
Ep = 0
C m
例7.
O l
Ep = 0
解
l 1 2 过程1：棒下摆，机械能守恒 mg = Jω 2 2
过程2：棒与物体碰撞，角动量守恒
C m
Jω = mvl + Jω ′
过程3：物体滑行，棒上升
2 − μ mg = ma − v = 2as 物体滑行: l⎞ 1 ⎛ 2 棒上升: Jω ′ = mg ⎜ h − ⎟ 2 2⎠ ⎝
主 要 内 容
1.刚体定轴转动定律：
G G M = Jα
θ2
1
A=∫ 2.刚体转动的动能定理： θ
1 1 2 Mdθ = J ω2 − J ω12 2 2
3.机械能守恒定律 :
当只有保守力矩作功 ⇒ E k + E p = 恒量
4.角动量定理
∫
t2
t1
Mdt = ∫ dL = L2 − L1 = J 2ω 2 − J 1ω 1
有关滑轮需要注意的问题
（1）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把 它们看成一个刚体，不要分开考虑。
它们的ω和 α 均相同，但不同半径处的 υ 和 a不同。
如图，在 r处：
or R
υ = rω at = rα
在 R处 :
an = ω / r
2
υ = Rω
at = Rα
an = ω / R
2
m
y
P
1 2 解:1) m下落 mgh = mυ ⇒ v = 2 gh " (1) 2
2)碰撞 Δ t 极短，对 (m +盘)系统，冲力 远大于重力，故重力对O力矩可忽略，则 系统对O点角动量守恒：
h
θ
o
⋅
M
x
mvR cos θ = J ω0 """ ( 2 )
1 J = MR 2 + mR 2 = 2mR 2 " (3) 2 2 gh cos θ " (4 ) 由(1) ~ (3)得：ω0 = 2R
vc = Rω
ac = Rα
2
G N
y o
mgR sin θ 解得 a = c J c + mR 2
x
G ac
α
θ
C G A f G mg
例3.
一质量为m、半径为R 的均质圆柱，在水平外力 作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与 圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心的加 速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力f 的方向如图所示，则由质心运 α 动方程： F − f = maC 圆柱对质心的转动定律 Fl + fR = J Cα l aC F 纯滚动条件为 aC = Rα K 1 2 f 圆柱对质心的转动惯量为 J C = mR 2 联立以上四式，解得
（2）用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考虑。
有关滑轮需要注意的问题
M2 o2
A
B
R2
C
o1R 1 M1
D
(1)
同一根绳上各点的切向
加速度和线速度相同；
at ( A) =at ( B) =at ( C) =at ( D)
m1
m2
υ ( Α) = υ ( Β) = υ ( C) = υ ( D)
一. 运动学描述 可看成: （1）刚体随其质心的平动；
K 质心速度 vc
K 质心加速度 ac
（2）绕过质心且垂直于运动平面的转轴的定轴转动。 刚体绕质心转动的角速度 ω
K
刚体绕质心转动的角加速度α
L
二. 动力学规律
K K dv c K （1）质心运动定律: F = mac = m dt
dω （2）转动定律: Mc = Jcα = Jc dt
K dL ⊥ L 则 L只改变方向
不改变大小。 自旋的物体在外力矩作用下， 沿外力矩方向改变其角动量。
K dL
K L′ K
⊗M
G G dL M= dt K dL = L sin θ dΘ dΘ：进动的角位移 K dL L sinθ dΘ = 则M = dt dt dΘ Ω= 进动角速度 dt
M = Jω sin θ
M 进动角速度 Ω = L sin θ
★ 实例
•陀螺 •地球
~ 公元14000年 天琴座α星/织女
★ 小熊座α星/勾陈一★ ★ ~ 公元前3000年 天龙座α星/右枢 周期：25800年 自转轴
黄道面 赤道
★ 实例
•电子 •杂技
★ 实例
•子弹
阻力 自转 进动
来复线/膛线
例4.
如图所示，一个高为h，底部半径为R的圆锥体，可绕铅 直的对称轴自由转动。锥体表面沿母线刻有一条细槽。若 锥体以角速度ω0旋转时，有一质量为m的小滑块从槽的顶 端从静止开始沿槽下滑。已知圆锥体绕对称轴的转动惯量 为J。求当滑块到达底部时的运动速度。 滑块下滑过程中，滑块和锥体组成的 系统对转轴的角动量守恒 J ω0 = ( J + mR 2 ) ω h 滑块、锥体和地球组成的系统机械能 守恒 1 J ω 2 + mgh = 1 J ω 2 + 1 mυ 2
任一点E的速度为
G vF
9
例2. 沿固定斜面的纯滚动 一半径为R、质量为m 的匀质圆柱体,沿倾角为θ的固定斜面无滑动的滚下。 试求圆柱体质心的加速度。 G 解：方法一 利用运动叠加 原 N y 理，质心的平动加绕质心的转动。
mg sin θ − f = mac N − mg cos θ = 0 fR = J cα
2
0
υ = 2 gh +
2 2 ( 2 J + mR 2 ) J ω02 R 2
R
( J + mR )
2 2
例5.
一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在 铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质 量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的 杆上，昆虫落下后立即向杆的右侧端点爬行，如图所 示。若要使杆以匀角速度转动，求昆虫沿杆爬行的速 度。(辅导P77. 题7)
例6.
解
3) 对M、m、地球系统，机械能守恒 Ep = 0 令 p、x重合 1 1 2 2 时， mgR sin θ + J ω = J ω " (5) 则： 0 2 2
m
y
P
h
θ
o
⋅
M
x
ω, α
由(3) ~ (5)得：
ω=
gh g 2 cos θ + sin θ 2 R 2R
g h + 4 3R 2
o
M
R
1 = 2R
(
) (θ = 60 )
0
mg
M mgR g = = 4) α = 2 2mR 2R J
例7.
一匀质细棒长度为l，绕垂直于棒一端的水平轴O无 摩擦地转动。当棒从水平位置自由释放后，在竖直位置 上与放在地面上的物体相撞(质量也为m) 。物体与地面 的摩擦系数为μ。相撞后，Fra Baidu bibliotek体沿地面滑行一距离s而停 止。求相撞后棒的质心离地面的最大高度h？并说明棒 在撞后左摆或右摆的条件。
f
dω 1 fr1 N 2 盘1： J1 = − fr1 ⇒ dω1 = − dt dt J1
o1
m1 g
J1r22ω10 J1r1r2 ω10 可解得： ω1 = ω2 = 2 2 J1r2 + J 2 r1 J1r22 + J 2 r12
刚体的平面平行运动
定义：刚体上各质点都在平行于一固定参考平面 的平面内运动。
1 1 2 （3）刚体的动能: E k = mv c + J cω 2 2 2
势能: Ep = mghc
三、运动学特例—圆柱体的纯滚动 ♦纯滚动：摩擦力足够大，接触点间无相对滑动。 ♦滑滚运动：摩擦力不够大，刚体既滚动又滑动。 1）纯滚动的运动学判据：
ω
• c A•
ωA
•
c
•
xc = Rθ 质心C的速度为： vc = Rω 质心C的加速度为： ac = Rα
d( J zω ) Mz = dt 使杆以匀角速度转动 dJ z Mz =ω dt
θ
O
l 4
r
dJz Mz = ω = mgrcosθ dt
1 Jz = ( ml 12
2
+ mr )
2
θ
O
l 4
dr 代入得 mgr cos θ = 2mω r dt
r
dr gcosθ g v= = = cosω t dt 2ω 2ω
解：受力分析：无竖直方向上的运动
解
ω10
N1
r1
N1 = f + m1g N2 + f = m2 g
以O1点为参考点，计算系统的外 力矩 M = (N2 − m2 g)(r1 + r2 )
f
N2
= − f (r1 + r2 ) ≠ 0
o1
f
m1 g
o2
r2
作用在系统上的外力矩不为0 ，故系统的角动量不守恒 只能用转动定律做此题