对创意平板折叠桌的最优化设计-2014年数学建模国赛B题

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：27027006

所属学校（请填写完整的全名）：宝鸡文理学院

参赛队员(打印并签名) ：

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李晓波

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期： 2014年 09 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

对创意平板折叠桌的最优化设计

摘要

本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。

对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验。另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。

对于问题二，我们以用材最少为目标函数，以稳固性好为约束条件，通过对桌腿进行力学分析和几何分析得到了使得用材最少且稳固性好的圆桌需要满足的条件是钢筋穿过最长腿的位置满足一个不等式。并且，当平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿

的长度之比为0.4186时，木板的用材最小，其对应的体积V为392330cm3。

对于问题三，为了满足客户需求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。我们考虑了“操场形”桌面和“双曲线形”桌面，得到了“操场形”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728; “曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、7.0741、7.2501。最后，给出了两种桌面的动态变化图。

关键字：曲线拟合最优化设计几何模型折叠桌桌脚边缘线

一、问题重述

问题背景

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

目标任务

建立数学模型讨论下列问题：

1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽

2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。我们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、问题分析

针对问题一，对于给定某些参数的平板，要建立模型来描述折叠桌的动态变化过程，就必须确定未知参数，如，折叠桌的各个桌腿长以及所穿钢筋所活动区域的卡槽长。根据题意，可以了解到长方形平板的宽度即为圆桌桌面的直径，因此，可以建立相应的空间直角坐标系，利用一定的数学方程通过桌面直径以及桌腿（各木条）的宽度计算出每个桌腿的长度，进而利用其长度和已知的桌高求出个木条的开槽长度。另外，折叠桌的动态变化过程可由钢筋在卡槽中的运动轨迹来描述。

针对问题二，为了达到最优的加工方案，我们可以将多目标优化做一转化，选择以用材最少为目标函数，即选择的木板所用的体积最少为目标，以稳固性好和加工方便为约束条件，利用受力和几何图形分析，将所需考虑的平板尺寸、钢筋位置、开槽长度三个设计参数用未知量表示，采用和问题一类似的数学方法计算未知量为何值时，目标函数的最小值。

针对问题三，为了满足客户对于折叠桌样式与尺寸的需求，我们可以采用与问题一与问题二中类似的分析方法，给出其算法思想，最后可以通过程序得出相应的设计参数和某些创意桌面的动态图。