判定两条直线平行的三种常用方法

判定两条直线平行的三种常用方法
在初一，已经学习了用平行线的判定公理证明两条直线互相平行，到了初二，又学习了平行四边形的性质定理和平行线分线段成比例定理，因此到目前，判定两条直线平行共有以下方法： 方法一：用平行线的判定公理判定
例1. 如图1所示，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，AE=CF ，求证：BE//DF 。

图1
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴=∴∠=∠=∴≅∴∠=∠∴∠=∠∴AB CD AB CD BAE DCF AE CF
ABE CDF SAS AEB CFD BEC DFA BE DF
，//()// ∆∆
例2. 如图2所示，在四边形ABCD 中，∠=∠=B D 90°，AE 、CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，求证：AE//FC 。

图2
证明：由四边形内角和定理得 ∠+∠=BAD DCB 180° 由角平分线定理得：
121
2
901290139023∠+∠=∠+∠=∠+∠=∴∠=∠∴BAD DCB AE FC
°即°
°
//
方法二：用平行四边形对边平行的性质判定
例3. 如图3所示，∠=∠===A D AB DE AF CD BC EF ，，，，求证：BC//FE 。

图3
证明： AB DE A D AF CD =∠=∠=，，， ∴≅∆∆ABF DEC
∴==BF CE BC EF
又
∴四边形BCEF 是平行四边形 ∴BC//FE
例4. 如图4所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别是AO 、CO 的中点，求证：DM/BN 。

图4
证明：连结MB 、DN
∵O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点 ∴OA=OC ，OB=OD
又M 、N 分别是AO 、CO 的中点 ∴OM=ON
∴四边形DMBN 是平行四边形 ∴DM//BN 。

方法三：用定理“如果一条直线截三角线的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角
形的第三边”判定。

例5. 如图5所示，△ABC 中，EF//CD ，AD AF AB 2
=·，求证：ED//CB 。

图5
证明：由，得EF CD AD AF AC
AE //=
由·，得
AD AF AB AD AF AB
AD
2
==
∴
=∴=∴AC AE AB
AD EC AE DB
AD ED CB
//
例6. 如图6所示，在△ABC 中，AD 是中线，P 是AD 上一点，CP 、BP 的延长线分别交AB 、AC 于点E 、F ，求证：EF//BC 。

图6
证明：延长线PD 到G ，使DG=PD 。

∵AD 是中线
∴四边形BGCP 是平行四边形
∴∴==EP BG PF GC AE EB AP PG AF FC AP PG
////，，
AE EB AF FC EF BC
=
∴//
特别指出，这三种判定两直线平行的方法就是整个初中几何中判定两直线平行的常用方法，到了初三，只要通过把与圆有关的线段转化为以上的条件即可。