第十二章 影响线

第十二章 影响线

第一节 影响线的概念

桥梁上行驶的火车、汽车，活动的人群，吊车梁上行驶的吊车等等，这类作用位置经常变动的荷载称为移动荷载。常见的移动荷载有：间距保持不变的几个集中力（称为行列荷载）和均布荷载。

由于移动荷载的作用位置是变化的，使得结构的支座反力、截面内力、应力、变形等等也是变化的如图12-1所示。因此，在移动荷载作用下，我们不仅要了解结构不同部位处量值的变化规律，还要了解结构同一点处的量值随荷载位置变化而变化的规律，以便找出可能发生的最大内力是多少，发生的位置在哪里，此时荷载位置又怎样，从而保证结构的安全设计和施工。

工程结构中所遇到的荷载通常都是由一系列间距不变的竖向荷载组成的。由于其类型很多，不可能对它们逐一加以研究。为了使问题简化，可从各类移动荷载中抽象出一个共同具有的最基本、最简单的单位集中荷载F =1，首先研究这个单位集中荷载F=1在结构上移动时对某一量值的影响，然后再利用叠加原理确定各类移动荷载对该量值的影响。为了更直观地描述上述问题，可把某量值随荷载F =1的位置移动而变化的规律(即函数关系)用图形表示出来，如图12-2所示。

由此可得影响线的定义如下：当一个指向不变的单位集中荷载(通常其方向是竖直向下的)沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称为该量值的影

响线。绘制影响线时，用水平轴表示荷载的作用位置，纵轴表示结构某一指定位

(b)(a)1

4

424

3

10

图12-2

置某一量值的大小，正量值画在水平轴的上方，负量值画在水平轴的下方。

若某量值的影响线绘出后，即可借助于叠加原理及函数极值的概念，将该量

值在实际移动荷载作用下的最大值求出。下面首先讨论影响线的绘制。

第二节 用静力法作简支梁的影响线

绘制影响线有两种方法，即静力法和机动法。静力法是以移动荷载的作用位置x 为变量，然后根据平衡条件求出所求量值与荷载位置x 之间的函数关系式，即影响线方程。再由方程作出图形即为影响线，本节主要讨论静力法做影响线。 12.2.1 支座反力的影响线

图12-3a 所示的简支梁，作用有单位移动荷载10=F 。取A 点为坐标原点，以x 表示荷载作用点的横坐标，下面分析A 支座反力F Ay 随移动荷载作用点坐标x 的变化而变化的规律，亦即根据静力平衡条件建立A 支座的反力F Ay 关于移动荷载作用点坐标x 的函数式，假设支座反力向上为正。

当 0 ≤ x ≤ l 时，根据平衡条件ΣM B = 0，得： 00=-⋅+⋅-)(x l F l F Ay （12-1）

解得：

l

x l F Ay -= （12-2） 上式表示F Ay 关于荷载位置坐标x 的变化规律，是一个直线函数关系，由此可图12-3

以作出F AX 的影响线，如图12-3b 所示。

从中可以看出，荷载作用在A 点时，即：（x = 0）时， 1=Ay F 。

荷载作用在B 点时，即：（l x =）时， 0=Ay F 。

显然，当（0=x ）时，F Ay 达到最大，所以，A 点是F Ay 的荷载最不利位置。在荷载移动过程中，F Ay 的值在0和1之间变动。

B 支座的反力F By 的影响线也可由静力平衡条件得到。

当 0 ≤ x ≤ l 时，根据平衡条件ΣM A = 0，得：

00=⋅-⋅x F l F By （12-3）

解得：

l

x F By = （12-4） 上式表示F By 关于荷载位置坐标x 的变化规律，也是一个直线函数关系，由此可以作出F By 的影响线，如图12-3c 所示。从中可以看出：

荷载作用在A 点时，即：（x = 0）时， 0=By F 。

荷载作用在B 点时，即：（l x =）时， 1=By F 。

显然，当（l x =）时，F By 达到最大值，所以，B 点是F By 的荷载最不利位置。在荷载移动过程中，F By 的值在0和1之间变动。

12.2.2 弯矩、剪力影响线

下面讨论简支梁在移动荷载作用下，C 截面内力的影响线。在研究内力影响线时，剪力正负号规定和弯矩正负号规定仍然和以前相同。

如图12-4a 所示梁，前已求得两支座反力的影响线为：

l x

l F Ay -= （12-5）

l

x F By = （12-6） 先讨论C 截面的弯矩影响线。当单位力F 在梁上移动时，C 截面弯矩也随之变化，根据截面法可以得知，当F 在AC 段上移动时，即当a x ≤≤0时，有：

l

bx b F M By c =⋅= （12-7） 当F 在CB 段上移动时，即当l x a ≤≤时，有：

l

x l a a F M Ay c -=⋅= （12-8） c M 的影响线在AC 段和CB 段上都为斜直线，其图像如图12-4b 所示。

下面讨论C 截面的剪力影响线。当单位力F 在梁上移动时，C 截面弯矩也随之变化，根据截面法可以得知，当F 在AC 段上移动时，即当a x ≤≤0时，有：

l

x F F By Qc -=-= （12-9） 当F 在CB 段上移动时，即当l x a ≤≤时，

图12-4

l

x l F F Ay Qc -== （12-10） Qc F 的影响线在AC 段和CB 段上都为斜直线，其图像如图12-4c 所示。

12.2.3影响线与内力图的比较

影响线与内力图是截然不同的，初学者容易将两者混淆。尽管两者均表示某种函数关系的图形，但各自的自变量和因变量是不同的。现以简支梁弯矩影响线

和弯矩图为例作比较如下：

图12-5a 表示简支梁的弯矩M C 影响线，图12-5b 表示荷载F 作用在C 点时的弯矩图。两图形状相似，但各纵距代表的含义却截然不同。例如D 点的纵距，在M C 影响线中y D 代表F=1移动至D 点时引起的截面C 的弯矩的大小。而弯矩图中y D 代表固定荷载F 作用在C 点时产生的截面D 的弯矩值M D 。其他内力图与内力影响线的区别也与上相同。

例12-1 作图12-6a 所示外伸梁支座反力的影响线。

图12-6 (a)(b)

图c Fab

l 图12-5