哈工大高等结构动力学第一次课

P(t) m
解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生
EI h
水平位移。设x坐标向右（右手系）。
又设横梁（质量m）位移为x，以它为隔 离体，受力如刚1.在度图质法所点步上骤示沿：。位移正向加惯性力；
P(t)
mx
接可图由中形FFs常s11和数23..F求令）Fs发该2s可得生力2 位 等由到移 于图1y体2所h示系E需3外有之I力力位x和；惯移性法k2力（x。 实际直
l2
9.859 EI l2
0.1%
9.798 EI l2
0.7%
w2
39.48 EI l2
39.19 EI 0.73% 38.18 EI
l2
l2
3.3%
88.83 EI 83.21 EI
w3
l2
l2 6.3%
2) 广义坐标法

y(x) aii (x) i 1 n
y(x) aii (x) i 1
3) 有限元法
ai ---广义坐标
i (x) ---基函数
i (0) i (l) 0
和静力问题一样，可通过将实际结构 离散化为有限个单元的集合，将无限自由 度问题化为有限自由度来解决。
三. 自由度的确定
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）
1759年拉格朗日（J.L.Lagrange):从驻波解推得行波解
◇傅里叶（J.B.Fourier): 1811年提出函数的阶数展开理论，完成了严格的数学证明
， 欧拉和伯努利分别与1744和1751年研究了梁的横向振动
▼ 19世纪对复杂结构的动力学问题提出了许多近似算法：
◇瑞利（J.W.S.Raleigh) ： 1873年基于系统的动能和势能相互转化的能量原理，给出了求解系统基 频的近似算法
为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
y2 y1
W=2
自由度数与质点个数有关，但 没有明确的对应关系。 7)
EI
W=1
三. 自由度的确定
8) 平面上的一个刚体
y2

y1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3 10)
m EI
W=2
4)
y1
W=1
5) W=2
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第三类问题：荷载识别。
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
第1章 绪论及动力学概念
§1.1 绪 论
二、振动的类型
1.周期振动 2.非周期振动 3.瞬态振动 4 随机振动
第1章 绪论及动力学概念
§1.1 绪 论
二、振动的类型
◇动力荷载：大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力
与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
第1章 绪论及动力学概念
动荷载
确定 不确定
周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载 非周期 阶跃荷载
主要参考书
谢官模：《振动力学》，国防工业出版社，2007 邹经湘 ，《结构动力学》，哈工大出版社 1996 .R.克拉夫(王光远译）， 《结构动力学》，高等教育
出版社，2006 余旭东，《飞行器结构动力学》，西北工业大学出版
社，2011
第1章 绪论及动力学概念
六、考核方式：
1. 学过结构动力学的学生： ◇ 期末考试（笔试）占60%； ◇原考试成绩占30%； ◇完成动力学实验，提交实验报告占10%。 2 没有学过结构动力学的学生： ◇ 期末考试（笔试）占60%； ◇平时作业占30%； ◇完成动力学实验，提交实验报告占10%。
6)
y2 y1
W=2
自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。 7)
EI
W=1
三. 自由度的确定
11)
8) 平面上的一个刚体
y2

y1 W=3 12)
9)弹性地面上的平面刚体
W=1
10)
m
W=3
W=13
EI
自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
当没有耗能时，所得到的是无阻尼的方程。否则，是有阻尼情况。
用哈密顿原理时和上两方法不同，不再考虑惯性力、阻尼例和弹
性恢复力等，它们通过能量变分来得到。
由哈密顿原理推得Lagrange方程
d dt

L qk


L qk
0(k
1,2n)
L T V
4) 动力学三大定理
§1.4 建立运动方程的基本步骤
以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 确定体系的自由度——质量独立位移数； 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 根据阻尼理论确定质点所受的阻尼力； 4) 根据达朗泊尔原理在质点上假想作用有惯性力（注意：
5) 将动力外荷载、惯性力、阻尼力作为“外力”，按位 移计算公式求各质点沿自由度方向的位移，其结果应该等 于未知位移（满足协调），由此建立方程。
§1.4 建立运动方程的基本步骤
例-1 图示单自由度振动系统 设静平衡位置为坐标原点,则在静平衡位置弹簧的伸长量为
st

mg k
fe k (x st ) fd cx; fI mx
集中在某些几何点上，除这些点之外物体是 无质量的。这样就将无限自由度系统变成一 有限自由度系统。
m y(x)
广义坐标个数即 为自由度个数
m
结点位移个数即 为自由度个数
m
三. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点
y2
2)
y1 W=2
W=2
弹性支座不减少动力自由度 3)
计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1
惯性力是实际的列，平但它衡不方作程用在称质刚点度上法）；
5) 取质点为隔离体并作受力图； 6) 根据达朗泊尔原理列每一质点的瞬时动力平衡方程， 此方程就是运动（微分）方程。
§1.4 建立运动方程的基本步骤
列位移方程称柔度法
直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 确定体系的自由度——质点独立位移数； 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 根据阻尼理论确定质点所受的阻尼力； 4) 根据达朗泊尔原理在质点上假想作用有惯性力（注意： 惯性力是实际的，但它不作用在质点上）；
◇惠更斯（Ｃ．Huygens):17世纪发现了非线性现象
◇胡克（Ｒ．Hooke)1678年发表弹性定律 ◇牛顿（Ｉ．Ｎenwton)1687年发表的运动定律
奠定了结构动力学物性和物理基础
四、结构动力学的发展史
▼１８世纪线性结构动力学理论发展和成熟
◇欧拉（L.Euler): 1． 1728年建立并求解单摆在阻尼介质中振动微分方程。 ２．1739年研究了无阻尼简谐强迫振动 ,从理论上解释了共振现象。 3. 1747年对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程 并求解,发现系统振动是各阶简谐主振动的叠加.
mx cx kx F(t)
fd fe fI
mg
§1.4 建立运动方程的基本步骤
例-2 图示OA杆在平衡 位置 作微幅摆动,试建立 其振动微分方程
I0 mg sin
L 2
0
3g 0
2L
§1.4 建立运动方程的基本步骤
例-3 试建立图示结构的运动方程。
研究生学位课
高等结构 动 力 学
哈尔滨工业大学 航天学院 2012年9月
第1章 绪论及动力学概念
绪论 结构动力分析中的自由度 建立结构运动方程的一般方法 建立运动方程的基本步骤
第1章 绪论及动力学概念
§1.1 绪 论
1、高等结构动力学的研究内容 2、振动的类型 3、动力学特点及动荷载 4、结构动力学发展史 5、结构动力学的研究任务 6、考核方式
第1章 绪论及动力学概念
§1.2 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。
二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程
角度也没必要。常用简化方法有：
m
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）
Fs1 x
cx Fs2
x
h
列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的
运动方程为
mx cx kx P(t)
§1.4 建立运动方程的基本步骤
例-4试建立图示抗柔弯度刚法步度骤为： EI 简支梁的运 动方程。（不计轴1.向在质变量形上沿）位移正向加惯性力；
m P(t) l/2 l/2
2.求外力和惯性力引起的位移；
集中在某些几何点上，除这些点之外物体是 无质量的。这样就将无限自由度系统变成一 有限自由度系统。
§1.2 结构动力分析中的自由度
用集中质量法计算的固有频率
连续系统 三自由度系统 二自由度系统
一自由度系统
固有频率 精确解 近似解 误差 近似解 误差 近似解 误差
w1
9.870 EI l2
9.867 EI 0.03%
◇拉格朗日（J.L.Lagrange): 1762年建立了离散系统振动的一般理论 ，对连续系统-弦线的振
动。 ◇达朗贝尔（J.le R.d’Alembert)：
用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解。
四、结构动力学的发展史
◇伯努利（D.Bernoulli)： 用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解，
l3
因此在所示“外力”下，质量的位移为
48EI vv((PP((tt))fmd vfcI v))
◇里兹（W.Ritz)（偏大） ◇迦辽金：
◇ 邓克利： 1894年提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的实用方法（偏 小）。
◇ 斯特多拉（A.Stodola): 1904年矩阵迭代法。 ◇ 汤姆逊（W.Thomson)- 1950年提出传递矩阵法。
第1章 绪论及动力学概念
五、 结构动力学的任务
讨论结构在动力荷载作用下响应的分析的方法。寻找结构固有动力 特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用 下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
W=2
§1.3 建立结构运动方程的一般方法
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结 构运动的（微分）方程。建立运动方法很多，选择常用的 简单介绍如下： 1）直接平衡法 应用达朗泊尔原理，通过列瞬时“动平衡”方程来建立。 2) 虚功法 根据达朗泊尔原理和所假设的阻尼理论，在质量上考虑 惯性力、阻尼力的作用，则在任意瞬时质量应该处于“动 平衡”状态，因此根据虚位移原理，外力（动荷载、惯性 力、阻尼力）的总虚功应恒等于总虚变形功。也即通过列 虚功方程象1)一样来获得运动方程。由于是用虚功方程来 建立平衡条件，称虚功法。
解：图示结构只能3.令产该生位移竖等向于位体系移位，移。显然这是单自由度对称
振动。设质量竖向位移为v，向下为正。
fd
将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁上， fI
根据达朗贝尔原理和阻尼假定
l/2 l/2
f I mv fd cv
P(t)
由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移为
§1.3建立结构运动方程的一般方法
3) 利用哈密顿原理来建立运动方程——变分法 分析力学中学过哈密顿原理。通过建立系统动能、势能和耗能
（分别记作 T、EP、V），获得如下哈密顿泛函
百度文库
H
t2(T
t1

EP
V )dt
根据哈密顿原理，可由哈密顿泛函的一阶变分等于零来建立“动平
衡方程”——运动方程。
第1章 绪论及动力学概念
§1.1 绪 论
一、高等结构动力学的研究内容
结构动力学是研究结构体系的动力特性及其在动荷载作用下结构动 力响应分析原理和方法的一门技术学科。
第1章 绪论及动力学概念
§1.1 绪 论
研究内容
第一类问题：响应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第二类问题：参数（或称系统）识别
其他确定规律的动荷载 风荷载
地震荷载
其他无法确定变化规律的荷载
四、结构动力学的发展史
▼公元前6世纪 古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras):试验 测得：弦线振动的性质；
▼我国战国时期《庄子》明确记载了共振现象； ▼伽利略（G.Galileo）:对动力学进行了开创性研究，他发
现了单摆的等时性，并利用自由落体公式计算单摆的周期
振动过程是指振动位移、速度、加速度、力和应变等机械量随时间的变化历程。 对振动过程，按不同的标准有多种分类方法。
第1章 绪论及动力学概念
§1.1 绪 论
三、动力学特点及动荷载
1.受动荷载作用，方程的解不是单一的，解为随时间变化的响应； 2.惯性力影响； 3.响应幅值与动荷载过程有关，如共振现象，拍的现象等。