直线与平面垂直的性质--平面与平面垂直的性质
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大家好
1
阶
阶
段
段
一
三
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面垂直的性质 定理．(重点)
2．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质，并能运用性质定理解决 一些简单问题．(重点、难点)
()
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．
()
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂
来自百度文库
直．
()
【解析】 由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
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教材整理 2 平面与平面垂直的性质定理 阅读教材 P71“思考”以下至 P72“例 4”以上的内容，完成下列问题. 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交交线线的直线与另一个平面垂垂直直.
图 2334
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【证明】 取 CE 的中点 G，连接 FG，BG，AF. ∵F 为 CD 的中点，∴GF∥DE，且 GF＝12DE. ∵AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又∵AB＝12DE，∴GF＝AB. ∴四边形 GFAB 为平行四边形．于是 AF∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点， ∴AF⊥CD.
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(2)如图，连接 PG. ∵△PAD 是正三角形，G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知 BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G. ∴AD⊥平面 PBG. 而 PB⊂平面 PBG.∴AD⊥PB.
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1．证明或判定线面垂直的常用方法 (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若 a∥b，a⊥α，则 b⊥α(a、b 为直线，α 为平面)； (4)若 a⊥α，α∥β，则 a⊥β(a 为直线，α，β 为平面)． 2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是 在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
ABCD 是边长为 a 的菱形且∠DAB＝60°，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂 直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
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图 2-3-35
【精彩点拨】
(1)
菱形ABCD， ∠DAB＝60°
―→
△ABD为 正三角形
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∵DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD，∴DE⊥AF. 又∵CD∩DE＝D，CD⊂平面 CDE，DE⊂平面 CDE，∴AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面 CDE. ∵BG⊂平面 BCE，∴平面 BCE⊥平面 CDE.
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面面垂直性质定理的应用 如图 2-3-35 所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形
2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理， 从而完成垂直向平行的转化．
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[再练一题] 1．如图 2334，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，△ACD 为等边三角 形，AD＝DE＝2AB，F 为 CD 的中点． 求证：平面 BCE⊥平面 CDE.
―→
BG⊥AD
―面―P―A―D⊥――底―面―A―BC―D→ BG⊥平面PAD
(2)要证 AD⊥PB，只需证 AD⊥平面 PBG 即可．
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【自主解答】 (1)如图，在菱形 ABCD 中，连接 BD，由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD 为正三角形， ∵G 是 AD 的中点， ∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD， 且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD.
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【解析】 当 α⊥β，在平面 α 内垂直交线的直线才垂直于平面 β，因此， 垂直于平面 β 内的一条直线 b 的直线不一定垂直于 β，故选 C.
【答案】 C
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[小组合作型] 线面垂直性质定理的应用
如图 2-3-33 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点， N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC.
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(2)连接 ON，在△A1DC 中， A1O＝OD，A1N＝NC. ∴ON═ ∥12DC═ ∥12AB，∴ON∥AM. 又∵MN∥OA， ∴四边形 AMNO 为平行四边形，∴ON＝AM. ∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M 是 AB 的中点．
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1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相 互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点．
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图 2-3-33
【精彩点拨】 (1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证 AD1⊥平面 A1DC. (2)可证 ON＝AM，ON＝12AB.
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【自主解答】 (1)∵ADD1A1 为正方形， ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1. ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC，∴MN∥AD1.
3．掌握平行与垂直之间的转化．(易错点)
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[基础·初探] 教材整理 1 直线与平面垂直的性质定理
阅读教材 P70 的内容，完成下列问题. 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
ab⊥ ⊥αα⇒ a∥b
图形语言
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
符号语言
α⊥β aα⊂∩αβ＝l⇒a⊥β
a⊥l
图形语言
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设平面 α⊥平面 β，在平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b， 则( )
A．直线 a 必垂直于平面 β B．直线 b 必垂直于平面 α C．直线 a 不一定垂直于平面 β D．过 a 的平面与过 b 的平面垂直
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1．通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面垂直的性质 定理．(重点)
2．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质，并能运用性质定理解决 一些简单问题．(重点、难点)
()
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．
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(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂
来自百度文库
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【解析】 由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
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教材整理 2 平面与平面垂直的性质定理 阅读教材 P71“思考”以下至 P72“例 4”以上的内容，完成下列问题. 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交交线线的直线与另一个平面垂垂直直.
图 2334
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【证明】 取 CE 的中点 G，连接 FG，BG，AF. ∵F 为 CD 的中点，∴GF∥DE，且 GF＝12DE. ∵AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又∵AB＝12DE，∴GF＝AB. ∴四边形 GFAB 为平行四边形．于是 AF∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点， ∴AF⊥CD.
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(2)如图，连接 PG. ∵△PAD 是正三角形，G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知 BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G. ∴AD⊥平面 PBG. 而 PB⊂平面 PBG.∴AD⊥PB.
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1．证明或判定线面垂直的常用方法 (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若 a∥b，a⊥α，则 b⊥α(a、b 为直线，α 为平面)； (4)若 a⊥α，α∥β，则 a⊥β(a 为直线，α，β 为平面)． 2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是 在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
ABCD 是边长为 a 的菱形且∠DAB＝60°，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂 直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
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∵DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD，∴DE⊥AF. 又∵CD∩DE＝D，CD⊂平面 CDE，DE⊂平面 CDE，∴AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面 CDE. ∵BG⊂平面 BCE，∴平面 BCE⊥平面 CDE.
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面面垂直性质定理的应用 如图 2-3-35 所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形
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[再练一题] 1．如图 2334，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，△ACD 为等边三角 形，AD＝DE＝2AB，F 为 CD 的中点． 求证：平面 BCE⊥平面 CDE.
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BG⊥AD
―面―P―A―D⊥――底―面―A―BC―D→ BG⊥平面PAD
(2)要证 AD⊥PB，只需证 AD⊥平面 PBG 即可．
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【自主解答】 (1)如图，在菱形 ABCD 中，连接 BD，由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD 为正三角形， ∵G 是 AD 的中点， ∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD， 且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD.
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【答案】 C
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[小组合作型] 线面垂直性质定理的应用
如图 2-3-33 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点， N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC.
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(2)连接 ON，在△A1DC 中， A1O＝OD，A1N＝NC. ∴ON═ ∥12DC═ ∥12AB，∴ON∥AM. 又∵MN∥OA， ∴四边形 AMNO 为平行四边形，∴ON＝AM. ∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M 是 AB 的中点．
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1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相 互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点．
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图 2-3-33
【精彩点拨】 (1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证 AD1⊥平面 A1DC. (2)可证 ON＝AM，ON＝12AB.
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【自主解答】 (1)∵ADD1A1 为正方形， ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1. ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC，∴MN∥AD1.
3．掌握平行与垂直之间的转化．(易错点)
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[基础·初探] 教材整理 1 直线与平面垂直的性质定理
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符号语言
ab⊥ ⊥αα⇒ a∥b
图形语言
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
符号语言
α⊥β aα⊂∩αβ＝l⇒a⊥β
a⊥l
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设平面 α⊥平面 β，在平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b， 则( )
A．直线 a 必垂直于平面 β B．直线 b 必垂直于平面 α C．直线 a 不一定垂直于平面 β D．过 a 的平面与过 b 的平面垂直