一阶线性非齐次方程解法推倒

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程

方程

dy dx

P x y Q x +=

()()

1

叫做一阶线性微分方程（因为它对于未知函数及其导数均为一次的）.

如果

Q x()≡0,则方程称为齐次的；

如果

Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先,我们讨论1式所对应的齐次方程

dy dx

P x y

+=

()0

2

的通解问题。

分离变量得dy

y

P x dx =-()

两边积分得ln()ln y P x dx c

=-+

⎰

或

y c e P x dx

=⋅-⎰()

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换

y u e P x dx

=⋅-⎰()

两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()

⋅=-⎰

两边求导得dy

dx

u e uP x e

P x dx P x dx ='-

-⎰-⎰

()()

()

代入方程1得

'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()

u c Q x e dx

P x dx =+⎰⎰()() 于是得到非齐次线性方程1的通解

[]y e c Q x e dx

P x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()

将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()

不难发现：

第一项是对应的齐次线性方程２的通解;

第二项是非齐次线性方程１的一个特解。

由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构.

【例1】求方程

dy dx y x x -+=+21

132()

的通解。 解：]23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ⎰⎰++⋅⎰=+-+--

]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+⎰⋅++⋅=

=+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212

=+⋅++()[()]x c x 12121

2

由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

二、贝努利方程

方程

dy dx

P x y Q x y n

n

+⋅=⋅≠

()()(,)

01

叫做贝努利方程。

当n=0时,它是一阶线性非齐次微分方程

dy dx

P x y Q x +⋅=

()()

当

n=1时,它是一阶线性齐次微分方程

dy dx

P x Q x y

+-⋅= [()()]0

当

n≠01,时,它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程．

具体解法如下：

dy dx

P x y Q x y y

dy

dx

P x y Q x

n n n

+⋅=⋅⇒⋅+⋅=

--()()()()

1

1

1

1

1

-

⋅+⋅=

-

-

n

d y

dx

P x y Q x

n

n

()

()()

d y

dx

n P x y n Q x

n

n

()

()()()()

1

1

11

-

-

+-⋅=-

令y z

n

1-=

,方程化为关于z的一阶线性非齐次微分方程dz

dx

n P x z n Q x

+-⋅=-

()()()()

11

【例2】求贝努利dy

dx

y

x

a x y

+=(ln)2

的通解。

解 :

11

2

y

dy

dx xy

a x

⋅+=⋅ln

,

-+⋅=⋅

-

-

d y

dx x

y a x

()

()ln

1

1

1

d y

dx x

y a x

()

()ln

-

-

-⋅=-

1

1

1

]

ln

[

1

1

1dx

e

x

a

c

e

y dx x

dx

x⎰⎰⋅

-

+

⋅

⎰

=-

-

-

-

=⋅-⋅⋅-

⎰

e c a x e dx

x x

ln ln

[ln]

=⋅-⋅⎰

x c a

x

x

dx

[

ln

]

=⋅-

x c

a

x

[(ln)]

2

2