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第四部分中考专题突破

专题一整体思想

1.(2011 年江苏盐城 ) 已知 a－ b＝1，则代数式2a－ 2b－ 3 的值是 ( A )

A ．－ 1 B． 1 C．－ 5D． 5

2． (2011 年浙江杭州 )当 x＝－ 7 时，代数式 (2x＋ 5)(x＋ 1)－ (x－ 3)(x＋ 1)的值为－ 6.

3． (2011 年山东威海 )分解因式： 16－ 8(x－ y)＋ (x－ y)2＝ (x－ y－ 4)2.

4． (2010 年湖北鄂州 )已知α、β是方程 x2－ 4x－ 3＝ 0 的两个实数根，则(α－ 3)(β－ 3)＝－ 6.

5． (2011 年山东潍坊 )分解因式： a3＋ a2－ a－ 1＝ (a＋ 1)2( a－ 1)．

6． (2010 年江苏镇江 )分解因式： a2－ 3a＝ a(a－ 3)；化简： (x＋ 1)2－x2＝ 2x＋ 1.

7．若买铅笔 4 支，日记本 3 本，圆珠笔 2 支共需 10 元，若买铅笔9 支，日记本7 本，圆珠笔5 支共需 25 元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一共需 5 元．

解析：设铅笔每支 x 元，日记本 y 元，圆珠笔 z 元，有：

4x＋ 3y＋ 2z＝10 ①9x＋ 7y＋ 5z＝25 ，

②

②－①得： 5x＋ 4y＋ 3z＝ 15③，

③－①得： x＋ y＋ z＝ 5.

8．如图 X － 1－ 2，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点O，其直径CD、 EF 均和 x 轴垂直，以点 O 为顶点的两条抛物线分别经过点C、 E 和点 D、 F ，则图中阴影部分的面积是

π

2

.

图X － 1－ 2

9． (2010 年重庆 )含有同种果蔬汁但浓度不同的A、B 两种饮料， A 种饮料重40 千克， B 种饮料重 60 千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的

部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料

解析： 设 A 果蔬的浓度为 x ，B 果蔬的浓度为 y ，且倒出部分的重量为 a ，有：

40－a x ＋ ay ＝ 60－ a y ＋ ax ，

40 60

3(40－a)x ＋ 3ay ＝ 2(60－a) y ＋ 2ax ， 120x － 3ax ＋ 3ay ＝ 120y － 2ay ＋ 2ax ， 120x － 120y ＝ 5ax － 5ay ， 120(x － y)＝ 5a(x － y)， 解得： a ＝ 24.

10． (2011 年江苏宿迁 )已知实数 a 、 b 满足 ab ＝ 1， a ＋ b ＝2，求代数式 a 2b ＋ ab 2 的值．

解：原式＝ ab(a ＋ b)＝ 1× 2＝ 2.

11． (2010 年福建南安 )已知 y ＋2x ＝ 1，求代数式 (y ＋ 1)2－ (y 2－ 4x)的值．

解：原式＝ y 2＋ 2y ＋ 1－ y 2＋ 4x ＝2y ＋ 4x ＋ 1 ＝2(y ＋ 2x)＋ 1 ＝2× 1＋ 1＝ 3.

x － 1 2

x － 1

－2＝ 0.

12． (2010 年江苏苏州 )解方程： x 2

－ x 解：方法一：去分母，得

(x － 1)2－ x(x － 1)－ 2x 2＝ 0.

化简，得 2x 2＋ x －1＝ 0，

1

解得 x 1＝－ 1， x 2＝ 2.

1

经检验， x 1＝－ 1， x 2＝ 是原方程的解．

方法二： 令 x －x 1

＝ t ，则原方程可化为 t 2－ t － 2＝ 0，

解得 t 1＝ 2， t 2 ＝－ 1.

x － 1

当 t ＝ 2 时，

x ＝ 2，解得 x ＝－ 1.

当 t ＝－ 1 时，

x － 1＝－ 1，解得 x ＝1

.

x 2

1

经检验， x ＝－ 1， x ＝ 是原方程的解．

13． (2011 年四川南充 )关于 x 的一元二次方程

x 2＋ 2x ＋ k ＋1＝ 0 的实数解是 x 1 和 x 2.

(1)求 k 的取值范围；

(2)如果 x 1＋x 2 － x 1x 2＜－ 1 且 k 为整数，求 k 的值． 解： (1) ∵方程有实数根， ∴Δ＝22 －4(k ＋ 1)≥ 0， 解得： k ≤ 0，

∴k 的取值范围是 k ≤ 0.

(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋ x 2＝－ 2， x 1x 2＝ k ＋ 1， x 1＋ x 2－ x 1x 2＝－ 2－ (k ＋1)，

又由 (1) 知 k≤ 0，

∴－ 2＜ k≤0，

又∵ k 为整数，∴ k 的值为－ 1 和 0.

14．阅读材料，解答问题．

为了解方程 (x2－ 1)2－ 5(x2－ 1)＋ 4＝ 0.我们可以将x2－ 1 视为一个整体，然后设x2－ 1＝y，则原方程可化为 y2－ 5y＋ 4＝ 0① .解得 y1＝ 1，y2＝ 4.当 y＝ 1 时， x2－ 1＝1，x2＝ 2，x＝± 2；当 y＝ 4

时，x2－ 1＝ 4，x2＝5，∴ x＝± 5.∴ x1＝ 2， x2＝－ 2， x3＝ 5， x4＝－ 5.

解答问题：

(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体思想

的数学思想；

(2)用上述方法解方程：x4－ x2－ 6＝ 0.

解： (2)设 x2＝ y，

则原方程化为：y2－ y－ 6＝ 0.

解得： y1＝ 3， y2＝－ 2.

当y＝ 3 时， x2＝3，解得 x＝± 3；

当y＝－ 2 时， x2＝－ 2，无解．

∴x1＝3， x2＝－ 3.