1.2.1排列组合2015
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BEYOND 说——音乐就是我的生命 我说——**就是我的**
分类加法原理和分步乘法原理
加法原理
乘法原理
相同点
它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不同的方法
不 分类完成
方式的不同 分步完成
同 任何一类办法中的 这些方法需要分步, 任何一个方法都能 各个步骤顺次相依,
点 完成这件事
且每一步都完成了, 才能完成这件事情
ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题2：从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照 一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
全排列：Ann nn 1n 2L 3• 2•1 n!
排列数公式：A
m n
n(n 1)n 2L
n m 1
n!
n,m∈N*,并且m≤n
(n m)!
例1、计算：
（1） A136
（2） A66
（3） A84
例2、解方程： A23x 100 Ax2
某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每 队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进 行多少场比赛?
N=6+6+3=16
课堂练习 1．计算：（1）5A53 4A42 348 （2） A41 A42 A43 A44 64
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3 块土地上进行试验，有 种不同的种植方法？
A43 4 32 24
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某
为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定： 0! 1
说明：
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
2、对于 m n这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
排列:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号 表示。
4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，
最好采用“树形图”。
例1、下列问题中哪些是排列问题？
(1)10名学生中抽2名学生开会 (2)10名学生中选2名做正、副组长 (3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 (4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除 (5)以圆上的10个点为端点作弦 (6)以圆上的10个点中的某一点为起点，
解 每张票对应着2个车站的一个排列
N A122 12 11 132
某信号兵用红,绿,蓝3面旗从上到下挂在竖直 的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面,三面, 并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示 多少种不同的信号?
解 信号分三类， 第一类为3面旗组成的信号，共A33种， 第二类为2面旗组成的信号，共A32种， 第三类为1面旗组成的信号，共A31种， 由加法原理得
A124 1413 182
①有5本不同的书,从中选出3本给3名同学,每人 一本,共有多少种不同的选法?
排列数 A53 543 60
②有5种不同的书,从中选出3本给3名同学,每人 一本,共有多少种不同的选法?
分步乘法 555 125 计数原理
某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普 通客票？
排列数，记为 A43 ，已经算出 A43 43 2 24
探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列
数 An2 是多少？An3 呢？ Anm 呢？
An2 n(n 1) An3 n(n 1)(n 2)
Anm n(n 1)(n 2)L (n m 1)
第1位 第2位 第3位
第m位
……
n种 (n-1)种 (n-2)种
按照一定的顺序排成一列，不是数；
“排列数”是指从n个不同元素中，任取 m 个元素的
所有排列的个数，是一个数； 所以符号 Anm 只表示
排列数，而不表示具体的排列。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的
排列数，记为 A32 ,已经算得 A32 3 2 6
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
把上面问题中被取的对象叫做元素,可以叙述为：
问题1：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一 定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
(n-m+1)种
排列数公式（1）
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)(m, n N*,m n)
当m＝n时，Ann n(n 1)(n 2) 3 21
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n!表示。
n个不同元素的全排列公式：Ann n!
排列数公式（2）Anm
(n
n! m)!
排列：一般地，从n个不同中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列。
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问 题是否是排列问题的关键。 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全 相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
场比赛，并排定他们的出场顺序，有 种不同的方法？
A53 5 4 3 60
4．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，
最多能打出不同的信号有（ ）
A. 1种
B.3种
C.6种
D.27种
A33 3 2 1 6
作过另一个点的射线 (7)有10个车站，共需要多少种车票？ (8)有10个车站，共需要多少种不同的票价？
排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有 排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排
列数。用符号 Anm表示。
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
n “一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 m 个元素
分类加法原理和分步乘法原理
加法原理
乘法原理
相同点
它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不同的方法
不 分类完成
方式的不同 分步完成
同 任何一类办法中的 这些方法需要分步, 任何一个方法都能 各个步骤顺次相依,
点 完成这件事
且每一步都完成了, 才能完成这件事情
ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题2：从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照 一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
全排列：Ann nn 1n 2L 3• 2•1 n!
排列数公式：A
m n
n(n 1)n 2L
n m 1
n!
n,m∈N*,并且m≤n
(n m)!
例1、计算：
（1） A136
（2） A66
（3） A84
例2、解方程： A23x 100 Ax2
某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每 队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进 行多少场比赛?
N=6+6+3=16
课堂练习 1．计算：（1）5A53 4A42 348 （2） A41 A42 A43 A44 64
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3 块土地上进行试验，有 种不同的种植方法？
A43 4 32 24
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某
为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定： 0! 1
说明：
1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
2、对于 m n这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
排列:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号 表示。
4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，
最好采用“树形图”。
例1、下列问题中哪些是排列问题？
(1)10名学生中抽2名学生开会 (2)10名学生中选2名做正、副组长 (3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 (4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除 (5)以圆上的10个点为端点作弦 (6)以圆上的10个点中的某一点为起点，
解 每张票对应着2个车站的一个排列
N A122 12 11 132
某信号兵用红,绿,蓝3面旗从上到下挂在竖直 的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面,三面, 并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示 多少种不同的信号?
解 信号分三类， 第一类为3面旗组成的信号，共A33种， 第二类为2面旗组成的信号，共A32种， 第三类为1面旗组成的信号，共A31种， 由加法原理得
A124 1413 182
①有5本不同的书,从中选出3本给3名同学,每人 一本,共有多少种不同的选法?
排列数 A53 543 60
②有5种不同的书,从中选出3本给3名同学,每人 一本,共有多少种不同的选法?
分步乘法 555 125 计数原理
某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普 通客票？
排列数，记为 A43 ，已经算出 A43 43 2 24
探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列
数 An2 是多少？An3 呢？ Anm 呢？
An2 n(n 1) An3 n(n 1)(n 2)
Anm n(n 1)(n 2)L (n m 1)
第1位 第2位 第3位
第m位
……
n种 (n-1)种 (n-2)种
按照一定的顺序排成一列，不是数；
“排列数”是指从n个不同元素中，任取 m 个元素的
所有排列的个数，是一个数； 所以符号 Anm 只表示
排列数，而不表示具体的排列。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的
排列数，记为 A32 ,已经算得 A32 3 2 6
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
把上面问题中被取的对象叫做元素,可以叙述为：
问题1：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一 定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
(n-m+1)种
排列数公式（1）
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)(m, n N*,m n)
当m＝n时，Ann n(n 1)(n 2) 3 21
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n!表示。
n个不同元素的全排列公式：Ann n!
排列数公式（2）Anm
(n
n! m)!
排列：一般地，从n个不同中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列。
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问 题是否是排列问题的关键。 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全 相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
场比赛，并排定他们的出场顺序，有 种不同的方法？
A53 5 4 3 60
4．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，
最多能打出不同的信号有（ ）
A. 1种
B.3种
C.6种
D.27种
A33 3 2 1 6
作过另一个点的射线 (7)有10个车站，共需要多少种车票？ (8)有10个车站，共需要多少种不同的票价？
排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有 排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排
列数。用符号 Anm表示。
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
n “一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 m 个元素