几种常见概率分布
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正整数；p是连续参数，取值为0与1之间的任何数
值。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
（ k=0,1,2,…,n） P(X = k) = P n (k) ≥0
n 二项分布的概率之和等于 1n ，即： k k n－k
∑C p q
n k =0
= (q +p) = 1
二项分布的性质
k n k P (X ≤m) = Pn (k ≤m) = C k p q n k =0 n m
μ = np σ = npq
当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，
μp = p
p 也称率的标准误。
σ p = (pq) /n
四、二项分布的概率计算及其应用条件
（一）概率计算 直接利用二项概率公式 [例6] 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批 种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的
P (X ≥m) = Pn (k ≥m) =
k =m
k k n -k C np q
P(m1 ≤ X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
k m1 k k n-k C n p q (m1 ≤m2 ) m2
三、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ 、标准差σ与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k表示时
0 .5 P( x k ) e 0 .5 k!
k
x
(k=0,1,2…)
计算结果如表4—5所示。
表4—5 细菌数的波松分布
可见细菌数的频率分布与λ=0.5的波松分布是相
当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位容积(
或面积)中细菌数的分布是适宜的。
注意，二项分布的应用条件也是波松分 布的应用条件。比如二项分布要求n 次试验是 相互独立的，这也是波松分布的要求。然而一 些具有传染性的罕见疾病的发病数，因为首例 发生之后可成为传染源，会影响到后续病例的 发生，所以不符合波松分布的应用条件。对于 在单位时间、单位面积或单位容积内，所观察 的事物由于某些原因分布不随机时，如细菌在 牛奶中成集落存在时，亦不呈波松分布。
1 F(x) = σ 2π
x
－∞
e
－
(x －μ) 2 2σ2
（二）特征
正态分布密度曲线是以χ =µ
为对称轴的单峰、对称的悬
钟形； f(x)在χ =µ 处达到极大值,极 大值为
f （μ） = 1 σ 2π
f(x)是非负数，以x轴为渐进 线；
正态分布
密度函数曲线
特征
正态分布有两个参数，即平 均数µ 和标准差σ 。µ 是位置参 数，σ 是变异度参数。 分布密度曲线与横轴所夹的 面积为1，即：
形数，共记录200窝， 畸形仔猪数的分布 情况如表4-3所示。试判断畸形仔猪数是否 服从波松分布。
表4-3 畸形仔猪数统计分布
x
样本均数和方差S2计算结果如下：
=Σfk/n
=(120×0+62×1
+15×2+2×3+1×4)/200 S2 =0.51
s2
n 1 2 (120 02 6212 15 22 2 32 1 42 102 ) / 200 200 1
表4-4 畸形仔猪数的波松分布
将实际计算得的频率与根据λ=0.51的泊松 分布计算的概率相比较 ，发现畸形仔猪的 频率分布与 λ=0.51 的 波松分布是吻合得很 好的 。这进一步说明了畸形仔猪数是服从 波松分布的。
【例4.14】 为监测饮用水的污染情况， 现检验某 社区每毫升饮用水中细菌数 ， 共得400个记录如下 ：
此外，由于泊松分布是描述小概率事件的，因
而二项分布中当p很小n很大时，可用泊松分布
第二节
泊松分布 Possion distribution
泊松分布是用来描述和分析稀有事件即小概率事件 分布规律的函数。
在生物、医学研究中，服从波松分布的随机变量是 常见的。如， 一定种群中某种患病率很低的非传染性 疾病患病数或死亡数， 种群中遗传的畸形怪胎数， 每 升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数， 单位 空间中某些野生动物或昆虫数等，都是服从波松分布的。
（二）二项分布的概率 在n重贝努利试验中，事件A发生x次的概率恰好 是（q+p）n二项展开式中的第x+1项，因此将
Pn (k) =
C
k k n－k p q , k = 0,1,2....., n n
称作二项概率公式。
二、二项分布的意义及其性质 （一）定义 设随机变量X所有可能取的值为零和正 整数：0,1,2,…,n,且有
思考：求
至少孵出3只小鸡的概率是多少？ 孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？
【例4.10】 设在家畜中感染某种疾病的概率为20
％，现有两种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后
无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有1头感染。
设各头家畜没有相互传染疾病的可能，问：应该
如何评价这两种疫苗? 假设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的 概率仍为20％，则15 头家畜中染病头数x=0的概 率为
1 (μ）＝ e σ 2π
(0, 1)
μ2 － 2
μ 1 , Φ(μ) = e σ 2π ∞
一、泊松分布的意义
（一）定义
若随机变量X(X=k)只取零和正整数值， 且其概率分布为 从参数为λ 的泊松分布，记为X～P(λ )。 （二）特征 μ =σ2=λ
λ k －λ P(X = k) = e k = 0,1,; λ > 0; e = 2.7182 则称 X 服 k!
【例4.13】 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸
如【例4.13】中已判断畸形仔猪数服从波 松分布，并已算出样本平均数=0.51。将 0.51代替公式（4-23）中的 λ得： k
0.51 P( x k ) e 0.51 k!
(k=0,1,2,…)
因为e-0.51=1.6653，所以畸形仔猪数各项的 概率为： P(x=0)=0.510／(0!×1.6653)=0.6005 P(x=1)=0.511／(1!×1.6653)=0.3063 P(x=2)=0.512／(2!×1.6653)=0.0781
（二）应用条件（三个）
n个观察单位的观察结果互相独立; 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如 阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类
资料。
已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其对 立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是 从大量观察中获得的比较稳定的数值。
要观察到这类事件，样本含量n必须很大 。在生 物、医学研究中，服从泊松分布的随机变量是常 见的。
Pn (X = k) = Pn (k) =
（其中p>0,q>0,p+q=1）,则称随机变量X服从参 数为n和p的二项分布，记为
Cn
k
pk q n－k , k = 0,1,2....., n
x ~ B(n, p)
（二）二项分布的性质 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布，由
n和p两个参数决定，参数n称为离散参数，只能取
1 6－1 P6 (1) = C1 = 6(0.85)1(0.15)5 = 0.00038728 6 (0.85) (0.15)
2 P6 (2) = C6 (0.85) 2 (0.15) 6－2 = 15(0.85) 2 (0.15) 4 = 0.00548648
3 6－3 3 3 P6 (3) = C3 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 20 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 0.04145344 6
第三节
正态分布 normal distribution
若连续性随机变量X的概率分布密度
f(x) = 1 σ 2π
(x－μ)2 － 2 2 σ e ,－∞< x < +∞ ,σ > 0
一、正态分布的定义及其特征
（一）定义
函数为：
其中，µ 为平均数，σ2 为方差，则称随机变量 χ服从正态分布,记为χ～(µ ,σ2).相应的概率分布函 数为
p( x 0)
0 0 15 C15 0.20 0.80
0.0352
同理，如果疫苗B完全无效，则15头家 畜中最多有1头感染的概率为
0 1 p( x 1) C15 0.2 0 0.815 C15 0.210.814 0.1671
由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率 为0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小 得多。因此，可以认为A疫苗是有效的，但 不能认为B疫苗也是有效的。
正态分布 密度函数曲线
(x －μ) 2 2σ2
－ 1 P （－ < x < +∞ )= e －∞ σ 2π +∞
dx = 1
特征
σ相同而μ 不同的三个正态总体
μ相同而σ不同的三个正态总体
二、标准正态分布standard normal distribution
（一）定义 称µ =0, σ 2=1的正态分布为标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数及分布函数如下：
2 2 fk ( fk ) /n
0.52
xx =0.51，S2=0.52,这两个数是相当接近的 ， 因此
可以认为畸形仔猪数服从波松分布。
λ是波松分布所依赖的唯一参数。 λ值愈小
分布愈偏倚，随着λ的增大 ，分 布趋于对称。当
λ= 20时分布接近于正态分布；当λ=50时， 可以 认 为波松分布呈正态分布。 所以在实际工作中， 当 λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理波松分 布的问题。
二、波松分布的概率计算
由(4-23)式可知，波松分布的概率计算，依 赖于参数 λ的确定，只要参数λ确定了 ，把k=0，1， 2，… 代入(4-23)式即可求得各项的概率。 但是在 大多数服从波松分布的实例中，分布参数λ往往是 未知的，只能从所观察的随机样本中计算出相应 的样本平均数作为 λ 的 估计值，将其代替(4-23) 式中的λ，计算出 k = 0，1，2，… 时的各项概率。
4 P6 (4) = C6 (0.85) 4 (0.15) 6－4 = 15(0.85) 4 (0.15) 2 = 0.17617711
5 6－5 P6 (5) = C5 = 6(0.85)5 (0.15)1 = 0.39933478 6 (0.85) (0.15)
6 6－0 P6 (6) = C6 = (0.85) 6 = 0.37714952 6 (0.85) (0.15)
试分析饮用水中细菌数的分布是否服从波松分布 。若服从，按波松分布计算每毫升水中细菌数的概 率及理论次数并将頻率分布与波松分布作直观比较 。
经计算得每毫升水中平均细菌数 x =0.500,方差S2=0.496。两者很接近， 故可
x 认为每毫升水中细菌数服从波松分布。以
=0.500代替（4-23）式中的λ，得
第一节
二项分布（Binomial distribution） 一、贝努利试验及其概率公式
（一）独立试验和贝努利试验 对于n次独立的试验，如果
每次试验结果出现且只出现对立事件 A 与 A 之一;
在Hale Waihona Puke 次试验中出现A的概率是常数p（0<p<1）,因
而出现对立事件 A的概率是1-p=q,
则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验， 简称贝努利试验。
P(x=3)=0.513／(3!×1.6653)=0.0133
P(x=4)=0.514／(4!×1.6653)=0.0017
P( x 4) 1
p( x k ) 1 0.9999 0.0001
k 0
4
把上面各项概率乘以总观察窝数(n=200)即得各 项按波松分布的理论窝数。 波松分布与相应的频 率分布列于表4-4中。
第五章
常见概率分布律
难度级：
内容提要
第一节 二项分布
第二节 泊松分布
第三节 正态分布
第四节 其他概率分布律
教学重点：
1. 正态分布、二项分布、泊松分布的概率 计算方法及应用； 2. 正态分布标准化的方法
3. 正态分布表、t值表的用法
教学要求：
掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概 率计算方法及应用
各种可能情况的概率。
这个问题属于贝努里模型(?)，其 中 服从二项分布 3，4，5，6。
n=6
，孵化 p = 0.85,q = 1 - 0.85 = 0.15 6枚种蛋孵出的小鸡数x
B(6,0x .85 ) .其中 的可能取值为 0，1，2，
其中：
0 6 6 P6 (0) = C0 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = ( 0 . 15 ) = 0.00001139 6
值。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
（ k=0,1,2,…,n） P(X = k) = P n (k) ≥0
n 二项分布的概率之和等于 1n ，即： k k n－k
∑C p q
n k =0
= (q +p) = 1
二项分布的性质
k n k P (X ≤m) = Pn (k ≤m) = C k p q n k =0 n m
μ = np σ = npq
当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，
μp = p
p 也称率的标准误。
σ p = (pq) /n
四、二项分布的概率计算及其应用条件
（一）概率计算 直接利用二项概率公式 [例6] 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批 种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的
P (X ≥m) = Pn (k ≥m) =
k =m
k k n -k C np q
P(m1 ≤ X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
k m1 k k n-k C n p q (m1 ≤m2 ) m2
三、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ 、标准差σ与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k表示时
0 .5 P( x k ) e 0 .5 k!
k
x
(k=0,1,2…)
计算结果如表4—5所示。
表4—5 细菌数的波松分布
可见细菌数的频率分布与λ=0.5的波松分布是相
当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位容积(
或面积)中细菌数的分布是适宜的。
注意，二项分布的应用条件也是波松分 布的应用条件。比如二项分布要求n 次试验是 相互独立的，这也是波松分布的要求。然而一 些具有传染性的罕见疾病的发病数，因为首例 发生之后可成为传染源，会影响到后续病例的 发生，所以不符合波松分布的应用条件。对于 在单位时间、单位面积或单位容积内，所观察 的事物由于某些原因分布不随机时，如细菌在 牛奶中成集落存在时，亦不呈波松分布。
1 F(x) = σ 2π
x
－∞
e
－
(x －μ) 2 2σ2
（二）特征
正态分布密度曲线是以χ =µ
为对称轴的单峰、对称的悬
钟形； f(x)在χ =µ 处达到极大值,极 大值为
f （μ） = 1 σ 2π
f(x)是非负数，以x轴为渐进 线；
正态分布
密度函数曲线
特征
正态分布有两个参数，即平 均数µ 和标准差σ 。µ 是位置参 数，σ 是变异度参数。 分布密度曲线与横轴所夹的 面积为1，即：
形数，共记录200窝， 畸形仔猪数的分布 情况如表4-3所示。试判断畸形仔猪数是否 服从波松分布。
表4-3 畸形仔猪数统计分布
x
样本均数和方差S2计算结果如下：
=Σfk/n
=(120×0+62×1
+15×2+2×3+1×4)/200 S2 =0.51
s2
n 1 2 (120 02 6212 15 22 2 32 1 42 102 ) / 200 200 1
表4-4 畸形仔猪数的波松分布
将实际计算得的频率与根据λ=0.51的泊松 分布计算的概率相比较 ，发现畸形仔猪的 频率分布与 λ=0.51 的 波松分布是吻合得很 好的 。这进一步说明了畸形仔猪数是服从 波松分布的。
【例4.14】 为监测饮用水的污染情况， 现检验某 社区每毫升饮用水中细菌数 ， 共得400个记录如下 ：
此外，由于泊松分布是描述小概率事件的，因
而二项分布中当p很小n很大时，可用泊松分布
第二节
泊松分布 Possion distribution
泊松分布是用来描述和分析稀有事件即小概率事件 分布规律的函数。
在生物、医学研究中，服从波松分布的随机变量是 常见的。如， 一定种群中某种患病率很低的非传染性 疾病患病数或死亡数， 种群中遗传的畸形怪胎数， 每 升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数， 单位 空间中某些野生动物或昆虫数等，都是服从波松分布的。
（二）二项分布的概率 在n重贝努利试验中，事件A发生x次的概率恰好 是（q+p）n二项展开式中的第x+1项，因此将
Pn (k) =
C
k k n－k p q , k = 0,1,2....., n n
称作二项概率公式。
二、二项分布的意义及其性质 （一）定义 设随机变量X所有可能取的值为零和正 整数：0,1,2,…,n,且有
思考：求
至少孵出3只小鸡的概率是多少？ 孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？
【例4.10】 设在家畜中感染某种疾病的概率为20
％，现有两种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后
无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有1头感染。
设各头家畜没有相互传染疾病的可能，问：应该
如何评价这两种疫苗? 假设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的 概率仍为20％，则15 头家畜中染病头数x=0的概 率为
1 (μ）＝ e σ 2π
(0, 1)
μ2 － 2
μ 1 , Φ(μ) = e σ 2π ∞
一、泊松分布的意义
（一）定义
若随机变量X(X=k)只取零和正整数值， 且其概率分布为 从参数为λ 的泊松分布，记为X～P(λ )。 （二）特征 μ =σ2=λ
λ k －λ P(X = k) = e k = 0,1,; λ > 0; e = 2.7182 则称 X 服 k!
【例4.13】 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸
如【例4.13】中已判断畸形仔猪数服从波 松分布，并已算出样本平均数=0.51。将 0.51代替公式（4-23）中的 λ得： k
0.51 P( x k ) e 0.51 k!
(k=0,1,2,…)
因为e-0.51=1.6653，所以畸形仔猪数各项的 概率为： P(x=0)=0.510／(0!×1.6653)=0.6005 P(x=1)=0.511／(1!×1.6653)=0.3063 P(x=2)=0.512／(2!×1.6653)=0.0781
（二）应用条件（三个）
n个观察单位的观察结果互相独立; 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如 阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类
资料。
已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其对 立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是 从大量观察中获得的比较稳定的数值。
要观察到这类事件，样本含量n必须很大 。在生 物、医学研究中，服从泊松分布的随机变量是常 见的。
Pn (X = k) = Pn (k) =
（其中p>0,q>0,p+q=1）,则称随机变量X服从参 数为n和p的二项分布，记为
Cn
k
pk q n－k , k = 0,1,2....., n
x ~ B(n, p)
（二）二项分布的性质 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布，由
n和p两个参数决定，参数n称为离散参数，只能取
1 6－1 P6 (1) = C1 = 6(0.85)1(0.15)5 = 0.00038728 6 (0.85) (0.15)
2 P6 (2) = C6 (0.85) 2 (0.15) 6－2 = 15(0.85) 2 (0.15) 4 = 0.00548648
3 6－3 3 3 P6 (3) = C3 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 20 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = 0.04145344 6
第三节
正态分布 normal distribution
若连续性随机变量X的概率分布密度
f(x) = 1 σ 2π
(x－μ)2 － 2 2 σ e ,－∞< x < +∞ ,σ > 0
一、正态分布的定义及其特征
（一）定义
函数为：
其中，µ 为平均数，σ2 为方差，则称随机变量 χ服从正态分布,记为χ～(µ ,σ2).相应的概率分布函 数为
p( x 0)
0 0 15 C15 0.20 0.80
0.0352
同理，如果疫苗B完全无效，则15头家 畜中最多有1头感染的概率为
0 1 p( x 1) C15 0.2 0 0.815 C15 0.210.814 0.1671
由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率 为0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小 得多。因此，可以认为A疫苗是有效的，但 不能认为B疫苗也是有效的。
正态分布 密度函数曲线
(x －μ) 2 2σ2
－ 1 P （－ < x < +∞ )= e －∞ σ 2π +∞
dx = 1
特征
σ相同而μ 不同的三个正态总体
μ相同而σ不同的三个正态总体
二、标准正态分布standard normal distribution
（一）定义 称µ =0, σ 2=1的正态分布为标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数及分布函数如下：
2 2 fk ( fk ) /n
0.52
xx =0.51，S2=0.52,这两个数是相当接近的 ， 因此
可以认为畸形仔猪数服从波松分布。
λ是波松分布所依赖的唯一参数。 λ值愈小
分布愈偏倚，随着λ的增大 ，分 布趋于对称。当
λ= 20时分布接近于正态分布；当λ=50时， 可以 认 为波松分布呈正态分布。 所以在实际工作中， 当 λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理波松分 布的问题。
二、波松分布的概率计算
由(4-23)式可知，波松分布的概率计算，依 赖于参数 λ的确定，只要参数λ确定了 ，把k=0，1， 2，… 代入(4-23)式即可求得各项的概率。 但是在 大多数服从波松分布的实例中，分布参数λ往往是 未知的，只能从所观察的随机样本中计算出相应 的样本平均数作为 λ 的 估计值，将其代替(4-23) 式中的λ，计算出 k = 0，1，2，… 时的各项概率。
4 P6 (4) = C6 (0.85) 4 (0.15) 6－4 = 15(0.85) 4 (0.15) 2 = 0.17617711
5 6－5 P6 (5) = C5 = 6(0.85)5 (0.15)1 = 0.39933478 6 (0.85) (0.15)
6 6－0 P6 (6) = C6 = (0.85) 6 = 0.37714952 6 (0.85) (0.15)
试分析饮用水中细菌数的分布是否服从波松分布 。若服从，按波松分布计算每毫升水中细菌数的概 率及理论次数并将頻率分布与波松分布作直观比较 。
经计算得每毫升水中平均细菌数 x =0.500,方差S2=0.496。两者很接近， 故可
x 认为每毫升水中细菌数服从波松分布。以
=0.500代替（4-23）式中的λ，得
第一节
二项分布（Binomial distribution） 一、贝努利试验及其概率公式
（一）独立试验和贝努利试验 对于n次独立的试验，如果
每次试验结果出现且只出现对立事件 A 与 A 之一;
在Hale Waihona Puke 次试验中出现A的概率是常数p（0<p<1）,因
而出现对立事件 A的概率是1-p=q,
则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验， 简称贝努利试验。
P(x=3)=0.513／(3!×1.6653)=0.0133
P(x=4)=0.514／(4!×1.6653)=0.0017
P( x 4) 1
p( x k ) 1 0.9999 0.0001
k 0
4
把上面各项概率乘以总观察窝数(n=200)即得各 项按波松分布的理论窝数。 波松分布与相应的频 率分布列于表4-4中。
第五章
常见概率分布律
难度级：
内容提要
第一节 二项分布
第二节 泊松分布
第三节 正态分布
第四节 其他概率分布律
教学重点：
1. 正态分布、二项分布、泊松分布的概率 计算方法及应用； 2. 正态分布标准化的方法
3. 正态分布表、t值表的用法
教学要求：
掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概 率计算方法及应用
各种可能情况的概率。
这个问题属于贝努里模型(?)，其 中 服从二项分布 3，4，5，6。
n=6
，孵化 p = 0.85,q = 1 - 0.85 = 0.15 6枚种蛋孵出的小鸡数x
B(6,0x .85 ) .其中 的可能取值为 0，1，2，
其中：
0 6 6 P6 (0) = C0 ( 0 . 85 ) ( 0 . 15 ) = ( 0 . 15 ) = 0.00001139 6