福建省泉州市2017届高三3月质量检测文数试题

．
14.已知 a 0, ,sin 2 1 则 sin
．
2
2
4
15.过点 P 3,1 , Q a,0 的光线经 x 轴反射后与圆 x2 y2 1相切，则 a 的值
为
．
16. ABC 中， D 是 BC 上的点， DA DB 2, DC 1，则 AB AC 的最大值
是
．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）
解得 b 12, a 18 .
进而求得 c
18
0.015 .
60 20
（2）由频率分布直方图可知，得分在
130,150 的频率为 0.2，
由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为
0.2，
设该校测试评定为“优秀”的学生人数为
n ，则 n 3000
所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为
∵ AF / / DE , AF 平面 ABF ， DE 平面 ABF ，∴ DE / / 平面 ABF .
又∵ DP 平面 PDE , DE 平面 PDE , PD DE D ，
∴平面 ABF / / 平面 PDE ， 又∵ PE 平面 PDE ，∴ PE / / 平面 ABF .
（2）在等腰梯形 ABCD 中，∵ ABG 600, BC 2AD 4 ，
23.选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x x 1 2x 4 ．
（1）解关于 x 的不等式 f x 9；
（2）若直线 y m 与曲线 y f x 围成一个三角形，求实数 m 的取值范围，并求所围成
的三角形面积的最大值．
一、选择题 1-5: CBCBD 二、填空题
试卷答案
6-10: AACBD
11、 12： AC
联立方程组
y kx b
x2
，消去
4y
y ，得 x 2
4kx
4b
0，
所以 x1 x2 4k , x1x2 4b .
因为线段 PQ 的中点的纵坐标为 1，
所以 y1 y2 k x1 x2 2b 4k 2 2b 2 ，即 b 1 2k 2 .
因为直线 l 与 C 交于 P, Q ，
所以 16k 2 16b 0 ，得 k 2 b 0 ， 故 k2 b k 2 1 2k 2 0, k 2 0,1 .
17.等差数列 an 中， a2 2 ，数列 bn 中， bn 2an b4 4b2 ．
（1）求数列 an ， bn 的通项公式；
（2）若 a2 b1 a1b1 a3 b2 a2b2
an 1bn anbn 2017 ，求 n 的最大值．
18.在如图所示的多面体中， DE 平面 ABCD, AF / / DE, AD / / BC, AB CD, ABC 600 ， BC 2AD 4DE 4 ．
故三棱锥 A CDE 的高为 3 .
19.解：（ 1）由频率分布直方图可知，得分在 70,90 的频率为 0.005 20 0.1 ，
再由 70,90 内的频数 6，可知抽取的学生答卷数为 60 人，
则 6 a 24 b 60 ，得 a b 30 ；
又由频率分布直方图可知，得分在
130,150 的频率为 0.2，即 b 0.2 ， 60
2.已知 z ai a R , 1 z 1 i 是实数，则 z 2 （ ）
A． 3
B． 5
C．3
D．5
3.某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量
x （吨）与生产能耗 y （吨）的下列对应
数据：
x 2468 y 3467
根据上表数据，用最小二乘法求得回归直线方程
y? b?x 1.5 .那么，据此回归模型，可预测
y x1
A．0
B． a
C. 2a 1
D． -1
6.双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴上，则该双曲线的离心率等于
） （）
A． 2
B． 3 C. 2
D．3
7. 函数 f x ln x 1 ln x 1 cos x 的图象大致是（
）
A．
B．
C.
D．
8.如图， 在正方形网格纸上， 粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸
bn 2n .
（2）
a2 b1 a1b1 a3b2 a2b2
an 1bn an bn
b1 b2
bn
2 2n 2 2n 1 2 12
a2 a1 b1 a3 a2 b2
an 1 an bn
故 a2 b1 a1b1 a3b2 a2b2
an 1bn anbn 2017 ，
可化为 2n 1 因为 f x
2 2017 ，即 2 n 1
13. 4 三、解答题
3
14.
2
5
15.
3
17.（ 1）设等差数列 an 的公差为 d .
由题意，可得 b4 2a4 , b2 2a2 ,2 a4 4 2a2 ，
整理，得 2 a4 a2 4 ，即 2 2 d 4 ，解得 d 1 ，
92
16.
2
又 a2 a1 d ，故 a1 a2 d 1 ，
所以 an a1 n 1 d n .
注：面积也可通过求弦长 PQ 和点 O 到直线 PQ 的距离建立，可参照上述类似给分 .
21.解：（ 1） f x
2x n 1 ex 1 x2 n 1 x 1 ex 1 ，
x2 1 n x n ex 1 x 1 x n ex 1，
令 f x 0 得 x1 1,x2 n .
①
当 x1 x2 ，即 n 1 时， f x
2017 年泉州市普通高中毕业班质量检查
文科数学
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 .
1.设集合 A 0,1,2 , B x | x 1 x 2 0 ，则 A B 的元素个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D ．3
600.
0.2 ，解得 n
600 ，
（3）“良好”与“优秀”的人数比例为 24： 12=2： 1， 故选取的 6 人中“良好”有 4 人，“优秀”有 2 人，
“良好”抽取 4 人，记为 a,b, c,d ， “优秀 ”抽取 2 人，记为 A, B ，
则从这 6 人中任取 2 人，所有基本事件如下：
当产量为 5 吨时生产能耗为（
）
A ． 4.625 吨
B． 4.9375 吨
C．5 吨
D ． 5.25 吨
4.已知直线 a,b ，平面 , , a , b ，则 a / / ,b / / 是 / / 的 （ ）
A ．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C. 充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
x0 5.已知实数 x, y 满足 x 2 y 0 ，则 z ax y a 0 的最小值为（
（1）在 AC 上求作点 P ，使 PE / / 平面 ABF ，请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥 A CDE 的高．
19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校
3000 名学生进行一次安全意识测试，
根据测试成绩评定“优秀” 、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的
Leabharlann Baidu
，
2
所以可求得 A 点坐标为
1 36 p2 , p .
4
4
将 A 点坐标代入 x2 2 py 得 1 36 p2 16
p 2p ，
4
解得 p 2 ，
故抛物线方程为 x2 4 y . （2）依题意，可知 l 与 x 轴不垂直，故可设 l 的方程为 y kx b ，
并设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 , M x0 ,1 , PQ 的中点 M x0 ,1 .
答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示
.
等级 不及格
及格
良好
优秀
得分 70,90 90,110 110,130 130,150
频数
6
a
24
b
（1）求 a, b, c 的值；
（2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数； （3）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选
.
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
x 3 t cos
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（ t 为参数），在以坐标原
y 1 t sin
点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为
4cos ．
（1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；
（2）当
0, 时， l 与 C 相交于 P ,Q 两点，求 PQ 的最小值．
顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（
）
.若该多面体的
A． 8
B ． 18
C. 24
D． 8 6
9.执行如图所示程序框图，若输出结果是 5，则输入的整数 p 的可能性有（
）
A．6 种
B． 7 种
C. 8 种
D．9 种
10.已知函数 f x
x2 x, x 0 ，若 a f a f a 3x, x 0
0 ，则实数 a 的取值范围为
0 得 t 0或 t
2
，
2
2
3
3
由 y 0得t
2 1,
3
0,1 ，由 y 0 得 t
2 ,0
，
3
所以 y 1 t 3 t 2 的单调增区间为 2
1, 2 , 0,1 ，单调减区间为 3
当t
2
2
2
时， y 3
；当 t 27
1时， y 1
，故
27
ymax
1，
所以 S OPQ 的最大值是 2.
2 ,0
，
3
6 人进
行强化培训；现再从这 6 人中任选 2 人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的
2 人中有 1
人为“优秀”的概率；
20.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C : x2 2 py p 0 的焦点为 F ，点 A 在 C 上．若
3
AO AF
．
2
（1）求 C 的方程；
（2）设直线 l 与 C 交于 P ,Q ，若线段 PQ 的中点的纵坐标为 1，求 OPQ 的面积的最大值．
由 y kx b ，令 x 0 得 y b 1 2k 2，
故 S OPQ
1 b x1 x2
2
1 1
2k2
2
设 t 1 2k2 ，则 t 1,1 ，
x1
2
x2
4 x1 x2
2
1 2k 2 2 1 k 2 ，
设y
22
2
1 2k 1 k
2t 1 1 3 2
t
t t，
22
令 y 1 3t 2 2t
3
2
tt
（）
A ． 1,
B． 2,
C.
, 1 1,
D． , 2 2,
11.已知函数 f x sin x
0
1,
.若对任意
x R, f 1 f x f 6 ，则（ ）
A ． f 2014 f 2017 0
B． f 2014 f 2017 0
C. f 2014 f 2017 0
D． f 2014 f 2017 0
AB, Aa, Ab, Ac, Ad, Ba, Bb, Bc, Bd, ab, ac, ad,bc, bd, cd 共 15 个，
事件 A :“所抽取的 2 人中有人为‘优秀’ ”含有 8 个基本事件，
8
所以所求概率 P A
.
15
20.（ 1）抛物线 C 的焦点 F 的坐标为 0, p . 2
3
因为 AO AF
21.函数 f x
x2
n 1 x 1 ex 1, g x
fx
x2
,n 1
R．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）当 f x 在 R 上单调递增时，证明：对任意 x1, x2 R 且
x1
g x2 ,
x2
g 2
x1
g x2 g x1 ． x2 x1
请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
n
2019 ，即 2
2019
，
2
2x 在 R 上为增函数，且 f 9
2019
512
, f 10
2
所以 n 的最大值为 9.
2048 2019
，
2
2
18.解：（ 1）取 BC 的中点 G ，连结 DG ，交 AC 于 P ，连结 PE .此时 P 为所求作的点（如
图所示） .
下面给出证明：
∵ BC 2AD ，∴ BG AD ，又 BC / / AD ，∴四边形 BGDA 是平行四边形， 故 DG / / AB 即 DP / / AB . 又 AB 平面 ABF , DP 平面 ABF ，∴ DP / / 平面 ABF ；
x 1 2 ex 1 0 ，故 f x 在
R 上单调递增，
②
当 x1 x2 ，即 n 1时，令 f x 0 ，得 n x 1，所以 f x
在 n, 1 上单调递减；
同理，可得 f x 在 , n , 1, 上单调递增 .
∴可求得梯形的高为 3 ，从而 ACD 的面积为 1 2 3 3 . 2
∵ DE 平面 ABCD ，∴ DE 是三棱锥 E ACD 的高 .
设三棱锥 A CDE 的高为 h .
由 VA CDE
1 VE ACD ，可得 3 S CDE
h
即 1 2 1 h 3 ，解得 h 3 ， 2
1 S ACD
3
DE ，
12.函数 f x ax3 a 1 x2 x 2 0 x 1 在 x 1 处取得最小值，则实数 a 的取值
范围是（
）
A． a 0
3 B． 0 a
5
3 C. a
5
第Ⅱ卷
D． a 1
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上
13.设向量 a 1,3 , b 2, x 2 ，且 a / / b ，则 x