第七讲回归分析

xi2 ( pi2 )
1
2
2.01
4
2
4
2.98
16
3
5
3.50
25
4
8
5.02
64
5
9
5.07
81
5
28
i 1
18.58
190
1 5
5 i1
5.6
3.716
yi2 (Ti2 )
4.04 8.88 12.25 25.20 25.70
76.07
xi yi ( piTi )
4.02 11.92 17.50 40.16 45.63
y=f(x)(近似的表达式）来大体描述这两个变量y、x间变化的相关规 律。这个函数y=f(x)即是y对x的回归方程。
• 2、利用建立的回归方程式，对客观过程进行分析、预测 和控制。
• 回归分析在试验的数据处理、寻找经验公式、因素分析等 方面有着广泛的用途。
2
（三）回归方程的建立
•
求解回归方程的过程，又称为曲线拟合。
序号 x
y
x2
y2 x y
1
0.05 0.020 0.0025 0.00040 0.0010
2
0.10 0.046 0.010 0.00212 0.0046
3
0.20 0.100 0.040 0.0100 0.0200
4
0.30 0.120 0.090 0.0144 0.0360
5
0.40 0.140 0.160 0.0195 0.0560
数，为使
Q
值达到极小，根据极值原理，只要将上式对
a，b
求偏导数
Q a
,
Q b
，
并令其等于零，即可求得 a，b 之值，这就是最小二乘法原理。
以此求出 a、b 值，并建立方程 y=a+bx，其中 b 为回归系数，a 为截距。
a y bx b Lxy
Lxx
（截距）
①
（斜率）
②
6
（一）一元线性回归的计算步骤
1） 将实验数据列入一元回归计算表
序号 xi
yi
x i2
y
2 i
xi yi
n
xi i 1
平均
/ n xi
n
yi
i 1
yi
n
xi2
i 1
/
n
yi2
i 1
/
n
xi yi
i 1
xi yi / n
式中
x
1 n
n i 1
xi,
y
1 n
n i 1
yi源自文库
Lxx
n i1
xi2
1( n n i1
xi )2
• 确定性关系与相关关系间没有严格界限，它们彼此相互区别又相 互联系，在一定条件下可相互转化。
• 回归分析是研究变量间相关关系的数学方法。
1
（二）回归分析的主要内容
• 1、以观测数据为依据，建立反映变量间相关关系的定量 表达式（回归方程）， 并确定关系式的可信度。
• 回归方程——根据两个变量x,y的n对实验数据 （x1,y1),(x2,y2)……(xn,yn),通过回归分析建立一个确定的函数
6
0.50 0.180 0.250 0.0324 0.0900
x ＝ y ＝ x2 y2 xy
1.55 0.606 0.5525 0.0789 0.208
10
Lxy
xy
1 n
x
•
y
0.208
1 6
1.55
0.606
0.0514
Lxx
x2 1( n
第三节 数据处理 回归分析
（regression analysis)
• 一、概述
• （一）变量中的两种关系
1、确定性关系 即函数关系，指可以唯一地由一个量来确定另一个量。如 V=IR
2、相关关系 指两个或两个以上的变量间，当一个量唯一地确定以后，另一 个量并不唯一确定，但它又不是毫无规律地任意取值，而是按一 定的概率分布取各种可能值。如身高与体重的关系
Lxy
n i1
xi yi
1( n n i1
n
xi )(
i1
yi )
Lyy
n i1
yi2
1( n n i1
yi )2
2）根据公式计算 a、b，得一元线性回归方程 y a bx 。
b Lxy
a y bx
7
Lxx
（二）一元线性回归分析举例
例 1：为研究某合成物的转化率 T 与实验中的压 强 P 的关系，得到如下试验数据。试利用最小二 乘法确定转化率与压强的经验公式。
即采用某一函数的图线去逼近所有的观测数据，
但不是通过所有的点，而是要求拟合误差达到
最小，从而建立一个确定的函数关系。
•
步骤：
① 作散点图。
② 根据专业知识及经验，判断图线的类型。
③ 确定函数的形式。
④ 确定所选函数形式中的系数。最常见的确 定系数的方法是最小二乘法。
3
（四）几种主要回归分析类型
• 1、一元回归分析（研究一个因素与试 验指标间相关关系的回归分析）
5
所谓最小二乘法，就是要求实验所测得的 n 个数据的绝对误差的平方和达 到最小，即选择适当的 a 与 b 值，使
n
n
Q ( yi yi )2 [ yi (a bxi )]2 最小值
i1
i 1
其中 xi , yi 是已知试验值，故 n 个数据的绝对误差的平方和 Q 为 a 与 b 的函
119.23
Lxx
n i 1
xi2
1 n
n
(
i 1
xi )2
190
1 282 5
33.2
Lxy
n i 1
xi yi
1( n n i1
n
xi )(
i 1
yi )
119.23 1 2818.58 15.182 5
b Lxy 15.182 0.4573, a y bx 3.716 0.4573 5.6 1.155 Lxx 33.2
• 2、多元回归分析（研究几个因素与试 验指标间相关关系的回归分析）
• 无论是一元回归分析还是多元回归分析，
都可以分为线性回归和非线性回归两种
形式。
4
二、一元线性回归
一元线性回归就是工程上和科研中常遇到的配直 线的问题，即两个变量 x 和 y 存在一定的线性相关关 系，通过实验取得数据后，用最小二乘法求出系数 a 和 b，并建立起回归方程 yˆi a bxi 。
T ~ P关系式为：1.155 0.4573p
9
例 2：已知某污水测定结果如下表，试求 a 和 b。
污染物浓度 x 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
（mg/l）
吸光度 y
0.020 0.046 0.100 0.120 0.140 0.180
解：将实验数据列入一元回归计算表，并计算。
P/atm 2
4
5
8
9
T/% 2.01 2.98 3.50 5.02 5.07
解：依题意，试验次数 n=5，T～P 为一元线性 关系。为计算方便，将 T～P 关系表示为 y=a+bx， 其中 x 表示压强 p，y 表示转化率 T。
8
根据最小二乘法原理，列计算表如下：
i
xi ( pi )
yi (Ti )