21二重积分

• 1.积分区域的处理：
• （1）X型区域
y1 ( x ) y y 2 ( x ) a xb
在直角坐标系中计算二重积分
• （2）Y型区域
x1 ( y ) x x 2 ( y ) c y d
在直角坐标系中计算二重积分
• （3）非简单闭区域
在直角坐标系中计算二重积分
D D
x ( x, y )d ,
2 2 2
( x y ) ( x , y ) d
在物理中的应用
• 4.平面薄片对质点的引力（略）
D
f ( x, y )d

[
c
d
x2 ( y ) x1 ( y )
f ( x , y ) d x ]d y f ( x, y )dx

d c
dy
x2 ( y ) x1 ( y )
在直角坐标系中计算二重积分
• 3.例题
在极坐标系中计算二重积分
• 1.极坐标系下的面积元的选取
在极坐标系中计算二重积分
在几何中的应用
• 例题4： 以xoy面上 x2+y 2＝ ax为底，以 为 z ＝ x2+y2顶的曲顶柱体的体积 。
在几何中的应用
• 例题5：求两个直交圆柱面围成立体的 体积。
在几何中的应用
• 2.曲面的面积
设曲面S的方程为 z＝f(x,y)，D为曲 面S在xoy平面上 的投影区域 ,则该 曲面面积为
x M M
y
,
y
M M
x
M M M
( x , y ) d ,
D
x
y ( x , y ) d ,
D
y

x ( x , y ) d
D
在物理中的应用
• 3.平面薄片的转动惯量
Ix Iy Io

D
y ( x, y )d ,
2

• 3.例题：
二重积分的换元法
• 1.定理：

D
f ( x , y ) d xd y ( x, y ) ( u .v )


Duv
f [ x ( u , v ), y ( u .v )]
dudv
二重积分的换元法
• 2.例题：
在几何中的应用
• 1.曲顶柱体的体积：
当z＝f(x,y)≥0时
• （4）中值定理：
定义和性质
• 3.对称性质： • （1）若积分区域D关于x轴对称，D1为 D在x轴以上的部分
• （2）若积分区域D关于y轴对称，D1为 D在y轴以右的部分 • （3）若积分区域D具有轮换对称性，即 将x和互换，D不变（ D关于直线 y＝ x 对称）
几何意义
• 几何意义
在直角坐标系中计算二重积分
• 2.三种情况——三个公式 （1）极点在区域D之外
r1 ( ) r r2 ( ) D :
（2）极点在区域D的边界上
0 r r2 ( ) D :
在极坐标系中计算二重积分
（3）极点在区域D内
0 r r2 ( ) D : 0 2
• 2.二重积分化为二次积分 • （1） X型区域

D
f ( x, y )d

[
a
b
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x , y ) d y ]d x f ( x, y )dy

b a
dx
y2 ( x ) y1 ( x )
在直角坐标系中计算二重积分
• （2） Y型区域

二重积分
授课计划
• • • • • • 学时：10学时（5次课） 内容： 1.二重积分的概念和性质 2.二重积分计算（直角坐标和极坐标） 3.二重积分的应用（体积，面积，物理） 4.习题课
回顾
• • • • 一元函数微积分中的定积分的引出方法 曲边梯形的面积：分割，求和，取极限 变速直线运动的距离： 非均匀直线型杆件的质量：
S
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D
1 f x f y d
2 2
在几何中的应用
• 3.平面区域的面积
d
D
表示平面上的区域 D 的面积
在物理中的应用
• 1.平面薄片的质量
( x , y ) d
D
表示以ρ(x，y)为面密 度，占平面区域 为D 的平面薄片的质量
在物理中的应用
• 2 .平面薄片的重心 ( x , y )
引例
• 1.曲顶柱体的体积
引例
• 2.平面薄片的质量
定义和性质
• 1.定义：

D
f ( x , y ) d lim
0
( n ) i 1

n
f ( i , i ) i
定义和性质
• 2.基本性质： • （1）线性运算性质： • （2）积分区域的可加性：
• （3）保号性：

D
f ( x, y )d
表示以z＝f(x,y) 为曲 顶的底面区域为D的 曲顶柱体体积
在几何中的应用
• 例题1：x+y+z＝1与三个坐标面围成立 体的体积。
在几何中的应用
• 例题2：x＝0，y＝0，x+y＝1柱体被z＝0 和x2+y2＝6－ z截得部分的体积。
在几何中的应用
• 例题3： z ＝ x2+2y2 和2x2+y2＝6－ z围 成立体的体积。