1.2.2 基本初等函数的导数及导数的运算法则(2)

1.2.2 初等函数的导数及导数的运算法则 (2)

一、教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数.

二、教学重点： 掌握复合函数导数的求法

教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导.

三、教学过程：

（一）复习引入

1. 几种常见函数的导数公式

(C )'＝0 (C 为常数)． (x n )'＝nx n －

1 (n ∈Q)． ( sin x )'＝cos x ． ( cos x )'＝－sin x ．

2．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '．

3．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '． (Cu )'＝Cu ' ． 4．商的导数 ).0(2≠'-'='⎪⎭

⎫ ⎝⎛v v v u v u v u

（二）讲授新课

1．复合函数： 如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ． 像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．

练习：指出下列函数是怎样复合而成的．

.)

12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-

=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数 一般地，设函数u ＝ϕ(x )在点x 处有导数u'x ＝ϕ'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (ϕ(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ．

或写作 f 'x (ϕ(x ))＝f '(u ) ϕ'(x )．

复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．

例1 求y ＝(3x －2)2的导数．

解：y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12． 法1

函数y ＝(3x －2)2又可以看成由y ＝u 2 ，u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量． 由于y'u ＝2u ，u'x ＝3，

因而 y'x ＝y'u ·u'x ＝2u ·3＝2u ·3＝2(3x －2)·3＝18x －12．

法2 y'x ＝y'u ·u'x

例2 求y ＝(2x ＋1)5的导数．

解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，

则 y'x ＝y'u ·u'x ＝(u 5)'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4． 练习：求函数x

y 311-=的导数. 例4..3114的导数求⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=x y 解：.)31(31144

--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，则

y'x ＝y'u ·u'x ＝(u －4)'u ·(1－3x )'x ＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝.)31(125x - 例5. .1)32(22的导数求函数x

x y +-= 例6．求)132ln(2++=x x y 的导数．

解： )132(132122'++⋅++='x x x x y .1

32342+++=x x x 例7． 求21lg x y -=的导数．

解法1：)1(1lg 22'-⋅-='x x e y )1(1lg 22x x x e --⋅-=.1

lg 2-=x e x 解法2：21lg x y -=),1lg(2

12x -= )1(1lg 2122'-⋅-⋅=

'x x e y .1

lg 2-=x e x （三）课堂小结

复合函数的导数：f 'x (ϕ(x))＝f '(u) ϕ'(x)．（四）课后作业