高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试
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∴函数 在 上是减函数．∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，∴ ．
综上所述， 的取值范围为 ．
第三章 导数及其应用 知识点总结
1、函数 从 到 的平均变化率：
2、导数定义： 在点 处的导数记作 ；．
3、函数 在点 处的导数的几何意义是曲线 在点 处的切线的斜率．
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
16．解：（1） ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
即 解得 ， ．
（2）由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
12．已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，则 ＿＿．
13．点P在曲线 上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为 ，则 的取值范围是
14．已知函数 (1)若函数在 总是单调函数，则 的取值范围是. (2)若函数在 上总是单调函数，则 的取值范围.
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数 的取值范围是.
令 或1. …………………………………………………………6分
则 的变化情况如下表
极大
极小
当 有极大值 有极小值 . ………………………10分
由 的简图知，当且仅当 即 时，
函数 有三个不同零点，过点 可作三条不同切线.
所以若过点 可作曲线 的三条不同切线， 的范围是 .…………14分
19．（1） 或 递减; 递增;（2）1、当
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，∴ ．
解法2：∵ ，其定义域为 ，∴ ．
令 ，即 ，整理，得 ．
∵ ，
∴ 的两个实根 （舍去）， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
—
0
＋
极小值
依题意， ，即 ，
∵ ，∴ ．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）解：对任意的 都有 ≥ 成立等价于对任意的 都有 ≥ ．
当 ［1， ］时， ．∴函数 在 上是增函数．
17．设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点，.求(Ⅰ)求点 的坐标；(Ⅱ)求动点 的轨迹方程.
18.已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有三个不同的实根，求实数 的取值范围.
19．已知
（1）当 时，求函数的单调区间。
消去 得 .
另法：点P的轨迹方程为 其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由 ， 得a=8,b=-2
18．解（1） ………………………2分
∴曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；……4分
（2）记
（2）当 时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数 ，使 ，函数有最小值－3？
20．已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 ≥ 成立，求实数 的取值范围．
第三章《导数及其应用》单元测试题答案
一、选择题
CABAA DDCBB
∴ ．
∵ ，且 ， ．
①当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在［1， ］上是增函数，∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，∴ 不合题意．
②当1≤ ≤ 时，
若1≤ ＜ ，则 ，若 ＜ ≤ ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又1≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ．
③当 且 ［1， ］时， ，
所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．
则当 时， 的最大值为 ．
因为对于任意的 ，有 恒成立，所以 ，解得 或 ，
因此 的取值范围为 ．
17．解:(1)令 解得
当 时, ,当 时, ,当 时,
所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 ,
所以,点A、B的坐标为 .
(2)设 ， ，
，所以 ，又PQ的中点在 上，所以
递增;2、当 递增;3、当 或 递增;当 递增;当 或 递增;（3）因 由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
1、当 递增， ，解得
2、当 由单调性知： ，化简得： ，解得
不合要求；综上， 为所求。
20．（1）解法1：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
16．设函数 在 及 时取得极值．
（1）求a、b的值；（2）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围．
9．设 在 内单调递增， ，则 是 的（ ）
Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
10．函数 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）
（A） y
（B）
（C）
（D） O 1 2 3 4 x
二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数 的单调递增区间是＿＿＿＿．
（A） （B） （C） （D）
5．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
8．已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为（）A． B． C． D．
第三章《导数及其应用》单元测试题
一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）
1．函数 的导数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2．函数 的一个单调递增区间是（ ）(A) (B) (C) (D)
3．已知对任意实数 ，有 ，且 时， ，则 时（）A． B．
C． D．
4．若函数 在 内有极小值，则（）
二、11． 12．3213． 14. (1)
三、解答题
15.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 .
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜ 时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，∴ ．
综上所述， 的取值范围为 ．
第三章 导数及其应用 知识点总结
1、函数 从 到 的平均变化率：
2、导数定义： 在点 处的导数记作 ；．
3、函数 在点 处的导数的几何意义是曲线 在点 处的切线的斜率．
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
16．解：（1） ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
即 解得 ， ．
（2）由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
12．已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，则 ＿＿．
13．点P在曲线 上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为 ，则 的取值范围是
14．已知函数 (1)若函数在 总是单调函数，则 的取值范围是. (2)若函数在 上总是单调函数，则 的取值范围.
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数 的取值范围是.
令 或1. …………………………………………………………6分
则 的变化情况如下表
极大
极小
当 有极大值 有极小值 . ………………………10分
由 的简图知，当且仅当 即 时，
函数 有三个不同零点，过点 可作三条不同切线.
所以若过点 可作曲线 的三条不同切线， 的范围是 .…………14分
19．（1） 或 递减; 递增;（2）1、当
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，∴ ．
解法2：∵ ，其定义域为 ，∴ ．
令 ，即 ，整理，得 ．
∵ ，
∴ 的两个实根 （舍去）， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
—
0
＋
极小值
依题意， ，即 ，
∵ ，∴ ．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）解：对任意的 都有 ≥ 成立等价于对任意的 都有 ≥ ．
当 ［1， ］时， ．∴函数 在 上是增函数．
17．设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点，.求(Ⅰ)求点 的坐标；(Ⅱ)求动点 的轨迹方程.
18.已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有三个不同的实根，求实数 的取值范围.
19．已知
（1）当 时，求函数的单调区间。
消去 得 .
另法：点P的轨迹方程为 其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由 ， 得a=8,b=-2
18．解（1） ………………………2分
∴曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；……4分
（2）记
（2）当 时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数 ，使 ，函数有最小值－3？
20．已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 ≥ 成立，求实数 的取值范围．
第三章《导数及其应用》单元测试题答案
一、选择题
CABAA DDCBB
∴ ．
∵ ，且 ， ．
①当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在［1， ］上是增函数，∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，∴ 不合题意．
②当1≤ ≤ 时，
若1≤ ＜ ，则 ，若 ＜ ≤ ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又1≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ．
③当 且 ［1， ］时， ，
所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．
则当 时， 的最大值为 ．
因为对于任意的 ，有 恒成立，所以 ，解得 或 ，
因此 的取值范围为 ．
17．解:(1)令 解得
当 时, ,当 时, ,当 时,
所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 ,
所以,点A、B的坐标为 .
(2)设 ， ，
，所以 ，又PQ的中点在 上，所以
递增;2、当 递增;3、当 或 递增;当 递增;当 或 递增;（3）因 由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
1、当 递增， ，解得
2、当 由单调性知： ，化简得： ，解得
不合要求；综上， 为所求。
20．（1）解法1：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
16．设函数 在 及 时取得极值．
（1）求a、b的值；（2）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围．
9．设 在 内单调递增， ，则 是 的（ ）
Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
10．函数 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）
（A） y
（B）
（C）
（D） O 1 2 3 4 x
二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数 的单调递增区间是＿＿＿＿．
（A） （B） （C） （D）
5．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
8．已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为（）A． B． C． D．
第三章《导数及其应用》单元测试题
一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）
1．函数 的导数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2．函数 的一个单调递增区间是（ ）(A) (B) (C) (D)
3．已知对任意实数 ，有 ，且 时， ，则 时（）A． B．
C． D．
4．若函数 在 内有极小值，则（）
二、11． 12．3213． 14. (1)
三、解答题
15.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 .
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜ 时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。