第三章布朗运动2

过程3：布朗桥
Btbr =W (t)-tW (1) t [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t [0,1]} 为从0到0的布朗桥 均值函数 mBbr (t)=E[W (t)-tW (1)]=0, t [0,1] 相关函数 RBbr (s,t)=min{s,t}-st, s,t [0,1]
4 均方积分
1. 均方积分的定义
设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程，f(t,u)是[a,b]
×U上的普通函数，对区间[a,b] 任一划分
a t0 t1 L tn b 记tk tk tk1（, k 1, 2,L , n)
令

max
1k n
tk
任取tk [tk1, tk ]（, k
m B
,
2
(t)=t
R, >0
相关函数
R B
,
2
(s,t
)=
2
st
+
2
min
(s,t
)
性质 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12.任淑红
证明 (, 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
1, 2,L
, n）作和式
n
f (tk, u) X (tk)tk H ,
k 1
如果以下均方极限存在
n
l.i.m
0
k 1
f
(tk,u) X (tk)tk
且此极限不依懒于对[a,b]的分法及 tk 的取法,则称 { f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上均方可积.
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
的时间指标 0=t0 <t1<L <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
k
tk
tk -1
k=1,L ,n
则 k ~N ((tk -tk -1), 2 (tk -tk -1))
(Bt1 , 2 ,L ,Btn , 2 )=(1,L ,n ) Mnn
Fn

s


1 n
Nn

s

称Fn(s)为经验分布函数。
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
P
lim
n
Fn

s


s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P

lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
2
RBge (s,t)=Ees+W (s)et+W (t) =Ee(s+t)+ (W (s)+W (t)) =e Ee (s+t) (W (s)+W (t))
=e Ee (s+t) [W (s)+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e பைடு நூலகம்e E (s+t ) 2W (s) [W (t )-W (s)]
该均方极限值Y(u)称为
{ f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上的均方积分.
记为
b
a f (t,u) X (t)dt,
b
Y (u) a f (t,u)X (t)dt,
即
u U
结论 设二阶矩过程{X(t),t∈T}均方可导.则
(1)导数过程{X (t),t T}的均值函数等于原过程 {X (t),t T} 均值函数的导数，即 mX (t) mX (t),t T;
因为 s
RW
(s,
t)

2, s t
0, s t
令：u(s

t)

1, s 0, s

t t
则有
s
RW
(s, t )


2u(s

t)
再引进Drica 函数： (s t) u(s t)
t
于是有
2 ts
RW
(s,
t)


2
(s
态分布。
0 s t 1
covn s,n t E n sn t nE Fn s sFn t t

1 n
E

Nn

s
Nn
t


ntE

Fn

s

nsE
Fn
t


nst
1 E[E n
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
2 t
0
= 2t , t 0

过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
0
2
均值函数
mBou (t)=E[e-tW( (t)）]=0, t 0
相关函数
RBou (s,t)=min{ (s), (t)}e-(s+t), s,t 0
Z
(t
)

W x,
(t
), t Tx t Tx
则{Z (t),t 0}是击中x后被吸收停留在x状态的布朗运动.
Z (t)是混合型随机变量.
本章作业 1. 2. 3. 6. 8.
举例
1.写出(μ，σ2)布朗运动的均值向量和协方差矩阵。
2.计算标准布朗运动的二维分布函数及其密度函数。 3.写出W(1)+W(2)+W(3)+W(4)的分布
相关函数 RX (s,t) 关于t的偏导数，即
RXX (s,t) t RX (s,t), s,t T;
(4) 导数过程 {X (t),t T} 的 相关函数RX(s,t) 等于原过程 {X (t),t T} 的 相关函数 RX (s,t)
的二阶混合偏导数，即
2
2
RX (s,t) st RX (s,t) ts RX (s,t), s,t T.
=e
(t
+s
)e2
2s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t

0
过程5：反射布朗运动
Btre = W (t) t 0
均值函数
2t
mBre (t)=E[ W (t) ]=
, t 0

mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
补充： 随机变量序列或随机过程 均方极限 均方连续 均方可导 均方可积
1．均方极限的定义
定义 设 X , X n H , n 1, 2,L 如果
lim E
n
Xn
X
2
0
则称{Xn,n=1,2,…}均方收敛于X,
或称 X 为{Xn,n=1,2,…}的均方极限，记为
l.i.m
n
Xn
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程
例 设常数 a,b R, 定义从a到b的布朗桥：
Bab t
=a+(b-a)t
+Btbr
t [0,1]
证明 ： (1)
B0ab =a,
B a b 1
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程,且
mab (t)=a+(b-a)t t [0,1]
Cab (s,t)=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t))
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 W 1(t),W 2 (t),L ,W n (t) 是 d SBM，则称
W=(W 1(t),L ,W d (t))
是 d 维标准布朗运动.
个相互独立的
过程2：(, 2 ) 布朗运动
Bt, 2 =t+W (t), t 0
均值函数
3 均方导数
1. 均方导数的定义
设{X (t),t T}是二阶矩过程， t0 T ,若均方极限
l.i.m X (t0 t) X (t0 )
t 0
t
存在,则称此极限为{X (t),t T}在t0点的均方导数.
记为
X (t0 ) 或
dX (t) dt . tt0
这时称{X (t),t T}在t0处均方可导．
= min{s,t}-st
t [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
n
Nn s I Xi s i 1
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，

X
2 均方连续
1. 均方连续定义
设{X(t), t∈T}是二阶矩过程, t0∈T, 若
l.i.m
t t0
X
(t)

X
(t0 )
则称{X(t), t ∈T}在t0处均方连续
若对任意的t∈T, {X(t), t∈T}在t处均方连续,则称 {X(t), t∈T}在T上均方连续. 或称 {X(t), t∈T}是均方连续的.
七.布朗运动的导数过程
定义 设{W (t),t 0}是参数为 2的Wiener过程. 如果存在实随机过程以 2 (s t) 为其相关函数，
则称该过程为Wiener 过程 {W (t),t 0} 的导数过 程．记为{W (t),t 0}. 从而
RW (s,t) 2 (s t), s,t 0. 称参数为 2的Wiener过程 {W (t),t 0}的导数过程 {W(t),t 0} 为参数为 2 的白噪声过程或白噪声.
1
1 ( x ) B1 ( x )T
f (x)
n
1 e2
(2 ) 2 B 2
（3）Y=XC(Cnm ),服从m维正态分布N(C,CTBC)
(2) 导数过程{X (t),t T} 和原过程{X (t),t T}的
互相关函数 RXX (s,t) 等于原过程 {X (t),t T}的
相关函数RX (s,t) 关于s的偏导数，即
RX
X
(s,
t
)

s
RX
(s,
t
),
s,
t
T
;
(3)原过程{X (t),t T} 和导数过程{X (t),t T} 的 互相关函数 RXX (s,t) 等于原过程 {X (t),t T} 的

t)
同理
2 st
RW
(s, t )


2
(s

t)
八.布朗运动的积分过程
令
S(t)
t
W (u)du,
称S (t )为积分布朗运动.
0
积分布朗运动是正态过程
E(s) 0
当0 s t
CS
(s, t )

s 2
(t

s2 3
)
九：在某点被吸收的布朗运动
设Tx为布朗运动W (t)首次击中x的时刻，x 0.令
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst

1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst

1 n
E[ N n
t

s t
Nn
t
]

nst

1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
所以当n→∞时，
n (s),0 s 1
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=et + -
1
- x2 -2t x
e 2t dx
2 t
=et + -
1 -(x-t )2 (t )2
e e dx 2t
2t
2 t
=exp{(+ 2 )t}, t 0
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e

(t
+s
)e2
2
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
n
x,
lim P
n
n
s
x

1
2 s 1 s
e du x
u2 2 s (1 s )

所以 n s,0 s 1 的极限过程是一正态过程。 可以证明 n s,n t 的联合分布趋于二维正