等腰梯形的性质

19.3 等腰梯形的性质
（人教版数学八年级下册第十九章第三节）
【教学设想】
本节课主要是对等腰梯形的性质进行探索，通过对梯形、等腰梯形图形及相关性质的分析，培养学生猜测、动手实验及几何证明的能力，给学生创造自主学习、自主探索、合作交流的机会，并借此培养和锻炼学生的观察能力、思维能力、表达能力、解决问题的能力。

【教学目标分析】
1.知识技能：
了解和掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念，探寻等腰梯形的对称性，掌握并证明等腰梯形的两个重要性质。

2.数学思考：
①通过观察、猜想、实验、推理等数学活动，发现和找寻等腰梯形的对称性及性质，培养和发展学生的推理能力、动手操作能力、几何论证能力。

②培养学生化归的思想、添加辅助线的能力和证明能力。

3.解决问题：
通过对等腰梯形性质的探索过程，体验利用手持式图形计算设备充当数学认知工具的乐趣，感受平面几何图形的美，丰富学生从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力及创新意识。

4.情感态度：
在操作活动及观察、分析过程中发展学生的自主探索、勇于质疑和独立思考的习惯及相互合作的意识和品质，并从中体会到发现的快乐。

【重、难点分析】
教学重点：梯形的有关概念及等腰梯形的性质。

教学难点：添加辅助线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形问题等。

【学习者特征分析】
学生的知识技能基础：学生对梯形的概念已经有所了解和掌握，并且已经学习了轴对称知识，为接下来的学习奠定了知识和技能基础。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用《数学画板》探索验证数学结论的活动，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已
经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

【教学媒体】
多媒体投影、数码学习机、《数学画板》软件。

【教学过程】
（一）结合实际, 创设情境，引入新知：
教师活动：1、观察一组图片，在图中有你熟悉的图形吗？多媒体课件引入。

2、提出问题：梯子、跳箱、堤坝的横截面及很多建筑物中都给人以梯形的印象，什么样的图形是梯形呢？能画出一个梯形吗？让学生动手用《数学画板》画梯形，同时引入新课。

学生活动：观看幻灯片，结合数学画板课件，动手操作并思考。

（二）动手研究，合作学习，探究新知：
1、教师活动：请大家根据刚才的所画的图形，给梯形下一个定义。

（以学习小组为单位，让学生在不断的探讨中完善梯形的定义。

）
学生活动：（回答）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

2、教师活动：“一组对边平行且不等的四边形是梯形”，对吗？为什么？（让学生相互探讨、相互交流）。

（给学生讲明：要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断。

）
(结合《数学画板》中的课件)让学生直观认识梯形中的有关元素：上底、下底，腰、高。

（给出）梯形的相关定义：
梯形中平行的两边叫梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，上、下底是以平行两边的长短来区分的，而不是指两边的位置。

不平行的两边叫梯形的腰。

设计意图：通过观看幻灯片创设情境，让学生感悟到梯形在生活中的广泛应用，激发学生学习兴趣。

让学生借助数学画板作为认知工具，动手操作，自主研究，积累直观表象，为新知识的学习打好基础。

夹在两底间的垂线段叫梯形的高。

在上图中，梯形中ABCD中，AD∥BC，上底是AD，下底是BC，腰是AB、CD，线段AE是梯形ABCD的高。

特殊的梯形：
教师活动：通过上、下底的长短的变化，找出你认为的特殊的梯形？
学生活动：动手操作数学画板，通过实验找寻相关结论。

在下图中，四边形ABCD的AD∥BC，且AB＝CD。

在下图中，四边形ABCD的AD∥BC，且CD⊥BC。

请你给这两个特殊的梯形命名。

(等腰梯形和直角梯形)
3、教师活动：引导学生打开等腰梯形2.dms 文件，观察图中的等腰梯形ABCD ，猜猜看它有哪些特殊的性质？（提示：主要考察边和角，哪些量发生了变化，哪些量没有变。

）；如果连接等腰梯形的两条对角线，哪些线段相等？引导学生表达结论：①等腰梯形同一底边上的两个角相等；②等腰梯形的两条对角线相等。

学生活动：猜测对应线段关系及相关结论，动手操作数学画板，验证并表达结论。

4、师生活动：研究等腰梯形的对称性。

教师活动：1、提出作图任务：延长等腰梯形两腰得到等腰三角形（通过度量可得到此结论，证明在后面。

）。

2、通过屏幕提示作图步骤：①打开等腰梯形.dms 文件；②用画线工具作射线BA 、射线CD ，交点为E ，并度量线段BE 、CE ；③哪些三角形是轴对称图形？为什么？对称轴呢？
学生活动：动手操作数学画板，验证并表达结论。

设计意图：发挥数学画板动态演示图形变化过程的优势，扩展学生的想象力，让学生在不断
变化的图形中找出相应线段间的关系，得出结论。

让学生在学习感受到乐趣，在娱乐中学习
知识。

设计意图：通过学生自己动手实验，让学生自己找出梯形的分类，这对学生掌握梯形有很大的帮助。

教师活动：1、提出作图任务：研究等腰梯形的对称性。

2、通过屏幕提示作图步骤：①打开等腰梯形.dms 文件；②用点工具作出线段AD 、BC 的中点，中点分别为E 、F ；③用画线工具作出线段AD 的垂直平分线？得出怎样的结论？
学生活动：动手操作数学画板，验证并表达结论：等腰梯形是轴对称图形，过上、下底中点的直线是对称轴。

（三）例题讲解，拓展思维，启发思路:
1、证明：等腰梯形同一底边上的两个角相等。

（让学生通过自己的思考，探索、交流去发现它的边、角、对角线的关系，鼓励学生证明多样化。

） ⑴∠ABC=∠DCB ,∠BAD=∠CDA 。

证明：（法一）如图把腰AB 平移到DE 位置，即DE 平行AB ，所以，四边形ABED 是平行四边形，
同时△DEC 是等腰三角形。

设计意图：让学生借助数学画板作为认知工具，经历猜想、实验、验证的过程，先转化为等腰三角形，来研究对称性，然后借此来研究等腰梯形的对称性；根据学生的技术熟练程度，适当提供操作帮助；小组合作学习，所有问题都需小组成员独立思考得出结论性内容，要留出一定时间给其它学生提出质疑，并一一回答这些疑问。

设计意图：通过老师的引导，学生自己动手实验，培养学生逻辑思维能力和对图形的认知能
力。

通过对图形的仔细观察，让学生借助数学画板作为认知工具，经历猜想、实验、验证的
过程，发现等腰梯形的对称性质。

于是有：AB=DE=CD,AD=BE,
∠B=∠DEC=∠C=∠ADE
∠A=∠BED=∠CDA
所以等腰梯形同一底边上的两个角相等。

（法二）如图过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，垂足分别为E、F
∵A D∥BC
∴AE=DF
又AB=CD
Rt△AEB≌Rt△DFC
∴∠B=∠C,∠BAE=∠CDF
∠BAE+90°=∠CDF+90°
即∠BAD=∠CDA
所以等腰梯形同一底边上的两个角相等。

总结：解决梯形问题时可以平移其中一腰转化为三角形问题或平行四边形问题求解，也可以作梯形的高，构造直角三角形求解。

2、证明：等腰梯形的两条对角线相等。

证明：如图
由AB=CD,BC=BC, ∠ABC=∠DCB
可得出△ABC≌△DCB可以再推出AC=BD
3、例题：如下图，延长等腰梯形ABCD的腰BA与CD，相交于点E，求证△EBC和△EAD是等腰
三角形。

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C
∴△EBC是等腰三角形。

∵AD∥BC
∴∠1=∠B ∠2=∠C
∴∠1=∠2
∴△EAD是等腰三角形。

设计意图：通过例题讲解，启发学生思路，为后面实际问题的解决作好铺垫。

（四）变式训练，巩固新知，拓展思维：
1、梯形的上底长为8cm，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20cm，那么梯形的周长为_______ cm。

（答：36cm）
2、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=12cm，∠B=60°，求：梯形ABCD的周长。

（答：30cm）
（五）课堂小结，科学归纳：学生互相交流总结这节课的体会，重新回顾所学知识点及其在应用方面的一些技巧。

1、 学生回顾本课教学内容，并提出尚存问题；
2、学生小结，教师视具体情况给予提示：性质（从边、角、对角线、对称性等角度总结）、解题方法（化梯形问题为三角形及平行四边形问题）、梯形中辅助线的添加方法。

（六）布置作业：
（七）课外作业：
课本P121页，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，像EF 这样，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

观察EF 的位置，联想三角形的中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论。

设计意图：让学生利用《数学画板》，通过实验，直观、准确地找出其中的关系，体现手持式图形计算设备作为认知工具优越性，积累直观表象，为以后的几何学习打下扎实的基础。

设计意图：检验所学，发现问题及时反馈，促进知识目标的达成。

通过对问题的求解，形成能力。