2.3.1 平面向量基本定理 课件.ppt

跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
2．在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量
能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1、e2， 平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a＝ λ1e1＋λ2e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为 只含有e1、e2的代数运算．
跟踪训练
1．设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，下列向量
组：①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B，
其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解析：选 B.①A→D与A→B不共线；②D→A＝－B→C，则D→A与B→C
【解析】 ①中，设 e1＋e2＝λe1，则λ1＝＝10，， 无解． 所以 e1＋e2 与 e1 不共线，故 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底； 同理，可得②④中的两个向量不共线，可作为一组基底； ③中的两个向量共线，不可作为一组基底．
【答案】 ③ 【名师点评】 两个向量能否构成基底，主要看 两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平 面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都 可以由这组基底唯一表示．
共线；③C→A与D→C不共线；④O→D＝－O→B，则O→D与O→B共
线．由平面向量基底的概念知①③向量组可以作为平面的
基底．故选 B.
题型二 用基底表示向量 例2 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，
b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
【解】 ∵a，b 不共线，∴可设 c＝xa＋yb，则 xa＋yb＝
1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_不__共__线___ 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组__基__底__．_
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
∵|a|＝|b|＝2，∴△OAB 为等边三角形． ∴∠OAB＝∠ABC＝60°， 故 a－b 与 a 的夹角为 60°. ∵|a|＝|b|，∴▱OACB 为菱形． ∴∠COA＝12∠AOB＝30°，即 a＋b 与 a 的夹角为 30°.
【答Hale Waihona Puke Baidu】 30° 60°
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加 以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
题型三 向量的夹角 例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的
夹角是________，a－b与a的夹角是________．
【解析】 如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°， 以 OA，OB 为邻边作▱OACB，则O→C＝a＋b，B→A＝a－b， B→C＝O→A＝a.
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
①范围：向量 a 与 b 的夹角范围是[0°，180°]．
②当 θ＝0°时 a 与 b___同__向__．___ ③当 θ＝180°时 a 与 b__反__向__．__
第二章 平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
学习导航
学习目标 实例 ―了―解→ 基底的含义 ―理―解→ 两向量的夹角 ―掌―握→ 平面向量基本定理 重点难点 重点：平面向量的基本定理及其应用，两向 量的夹角及垂直． 难点：平面向量基本定理的应用．
新知初探思维启动
x(3e1－ 2e2)＋ y( －2e1 ＋ e2)＝ (3x － 2y)e1 ＋ (－ 2x＋ y)e2 ＝7e1
－ 4e2. 又 ∵ e1 ， e2
不
共
线
，
∴
3x－2y＝7， －2x＋y＝－4.
解得
x＝1， y＝－2，
∴c＝a－2b.
【名师点评】 将两个不共线的向量作为基底表示其他 向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法 则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另 一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示 向量的唯一性求解．
(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直， 记作 a⊥b.
想一想 2.零向量与任一非零向量的夹角有意义吗？ 提示：由于零向量的方向不定(或任意)，零向量与任意非零向 量的夹角没有什么实际意义． 做一做
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1； ③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ________(写出满足条件的序号)．
方法感悟
1．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示
为 同 一 平 面 内 两 个 不 共 线 向 量 e1 、 e2 的 线 性 组 合 λ1e1 ＋ λ2e2.在具体求λ1、λ2时有两种方法：一是直接利用三角形
法则、平行四边形法则及向量共线定理；二是利用待定
系数法，即利用定理中λ1、λ2的唯一性列方程组求解．