2012年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（56分）：
1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．
2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．
＞﹣
（﹣，
，
3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．
sin2x
≤sin2x
≤﹣﹣
的值域是
故答案为：
4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．
=
5．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．
（﹣）r
3
6．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积
分别记为V 1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．
由题意可得，正方体的体积为公比的等比
是以为首项，以
（
故答案为：
7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．
8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积
为．
所以圆锥的体积为：
故答案为：
9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=﹣1．
10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，
若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．
故答案为：
11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中
两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．
有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18
表示个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是
故答案为：
12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，
若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5]．
（==
）
）
13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，
5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．
S=dx+
××+10×
﹣
．
故答案为：．
14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是
．
EB=，EF=
×=故答案为：
二、选择题（20分）：
2
的方程组
i
i bi+c=0
222
CosC=
cosC=
17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的
=（，=（+
18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个
的周期
=sin的周期
sin sin单调递减
三、解答题（共5小题，满分74分）
19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
PD=2
各点的坐标，从而
=2，利用空间向量数量积的公式，得到与夹角
所成的角的大小为；
AEF=
所成的角的大小为
，
PD==2．
×DC=2
，，=，，，
与夹角为=，
所成的角的大小为．
PC=
PC=2
EF=BC=AF=PB=
AEF=所成的角的大小为．
20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．
=lg＜＜
，得：
21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
的横坐标，代入抛物线方程
|AP|=
vt=，整理得
=7t=，代入抛物线方程
|AP|=，得救援船速度的大小为
OAP=，故救援船速度的方向为北偏东弧vt=，整理得
，当且仅当
22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
的距离为．
，利用，求出，
d=
左顶点（﹣
±
x x+
，解得
与已知圆相切，故
，由
，
|OM|=的距离为．
＞
y=
，
．
，
=
．
23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，
则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；
（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．中取中与垂直的元素必）取=）根据
==等价于
B={
可得=
（
）选取=中与
）取=，满足
==，满足
=时，显然有满足
，所以有=，使得，从而
，并设，由此可得
，不可能
==等价于
B={|s
＜
对以下三角形数阵：＜＜
＜＜＜…＜
＞＞＞，所以=
）。