2012年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（56分）：

1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．

2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．

＞﹣

（﹣，

，

3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．

sin2x

≤sin2x

≤﹣﹣

的值域是

故答案为：

4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．

=

5．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．

（﹣）r

3

6．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积

分别记为V 1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．

由题意可得，正方体的体积为公比的等比

是以为首项，以

（

故答案为：

7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．

8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积

为．

所以圆锥的体积为：

故答案为：

9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=﹣1．

10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，

若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．

故答案为：

11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中

两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．

有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18

表示个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是

故答案为：

12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，

若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5]．

（==

）

）

13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，

5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．

S=dx+

××+10×

﹣

．

故答案为：．

14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是

．

EB=，EF=

×=故答案为：

二、选择题（20分）：

2

的方程组

i

i bi+c=0

222

CosC=

cosC=

17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的

=（，=（+

18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个

的周期

=sin的周期

sin sin单调递减

三、解答题（共5小题，满分74分）

19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：

（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

PD=2

各点的坐标，从而

=2，利用空间向量数量积的公式，得到与夹角

所成的角的大小为；

AEF=

所成的角的大小为

，

PD==2．

×DC=2

，，=，，，

与夹角为=，

所成的角的大小为．

PC=

PC=2

EF=BC=AF=PB=

AEF=所成的角的大小为．

20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）

（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

=lg＜＜

，得：

21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：

①失事船的移动路径可视为抛物线；

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；

③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t

（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

的横坐标，代入抛物线方程

|AP|=

vt=，整理得

=7t=，代入抛物线方程

|AP|=，得救援船速度的大小为

OAP=，故救援船速度的方向为北偏东弧vt=，整理得