转移矩阵及其基本性质

通过以上的方程推导和解释我已经给出了转移矩阵的方程形式和其具有的特有性质。那 么下面我们来对转移矩阵作进一步的了解和认识。
三、对转移矩阵的进一步深化
现在我们根据上述的概念，来作一个代换，若设 x 为 解为 cos kx 和 1 sinkx ，则可到一个新的矩阵方程为
Ey
x
，而我们选取的两个特
k
2 x 和1x 、 2 x 的线性组合，由此我们可以得出在区间（0，h）界面上，场的分布
及其导数形式为
0 C1 0 C2 h C11h C2 2 h
（2.3）
h C11h C2 2 h
现在我要用上面的（2.3）式来处理方程（2.1）和（2.2），首先先将（2.3）式中的 C1 和 C2
转移矩阵及其基本性质
周林 摘要：利用矩阵技术描述光在多层薄膜中的传播是一种简单易行的方法。这种方法不仅 物理意义清晰、计算方便，而且具有给出解析式的潜力。本文先介绍平板波导的波动方程以 此为基础通过简单的三层平板波导来建立转移矩阵，从而导出转移矩阵的八个基本性质，在 现在科学界中转移矩阵及其基本性质被广泛应用。 关键词：波动方程 TM 波 TE 波 转移矩阵 矩阵方程 基本性质 模式本征方程
Ey
Ey
h h
coskh k sinkh
1kcsoisnkkhh
Ey Ey
0 0
（3.1）
式中 2×2 矩阵
M TE h
c osk h
ks in k h
k1c ossinkhkh
（3.2）
其中（3.2）式是对应于平板波导导波层的转移矩阵，它使导波层的两端 x 0 和 x h 界面
对应 TM 波的转移矩阵为
coskh
M TM h
n12 k
sinkh
k n12
sinkh
coskh
我们也可以把 TE 波和 TM 波对应导波层的转移矩阵写成统一的形式，则有
（3.4）
coskh
M h
f k
sinkh
k f
sinkh
coskh
（3.5）
式中
1 TE 波 f n12 TM 波
现在把(4.3）式代入(4.2）式，并利用转移矩阵的单位模性质，可得
2 m11 m22 1 0
由（4.4）式可以看出，转移矩阵的两个本征值 1 和 2 互为倒数，即有
1 2 1
一般情况下，两个本征值可以分别写成
1 eikh 2 eikh
（4.4） （4.5）
式中 k 和 h 的物理意义由具体的结构确定。再根据（4.4）式显然有
磁场以相应速度 沿波导的纵向（ z 向）传播，这个沿 z 方向传播的行波，就是通常所
说的导波光。
麦克斯韦方程的复振幅形式即
Er i0H r H r i 0n2E(r)
（1.4）
将（1.3）式代入（1.4）式中，并利用（1.1）式可得
Ey H x
E y x
iH z
iH x
H z x
可令：
0 y
（1.1）
设 h 为波导层的厚度，则折射率的分布
n3 0 x
nx n1 h x 0
（1.2）
n2 x h
在此条件下，平板波导的麦克斯韦方程解与坐标 y 无关，并可以写成
Ex, z,t Exexpiz t H x, z,t H xexpiz t （1.3）
式中， 为电磁场沿 z 方向的传播常数。可看出（1.3）式表明，波导中的横向（ x 向）电
iE
y
H y Ex
H y x
iEz
iH x
Ez x
iH
y
（1.5） （1.6）
由上述六个式子，可以看出麦克斯韦方程分解为两组独立的方程，其中一组方程含有电磁场
分量 Ey 、 H x 和 H z ；而另一组方程含有电磁场分量 H y 、 Ex 和 Ez 。前者称为 TE 波，即电
场垂直于波的传播方向的模式；后者称为 TM 波，即磁场垂直于波的传播方向的模式。
消除后，我们可以得到场分布及其导数的转移关系
h h
M
h
0 0
（2.4）
式中
M
(h)
1h 1h
2 h
2 (h)
（2.5）
则称（二.5）式为区间（0，h）的转移矩阵，而它仅与区间内的折射率分布以及模式本征值 有关，而与区间外的折射率分布无关。这是转移矩阵的一个特性，这个性质和好解释，因为 我们只在（0，h）的区间内去讨论转移矩阵和退出转移矩阵，所用的是区间内的场分布，所 以转移矩阵仅与选取的区间的折射率分布以及模式本征值有关，而与区间外的折射率分布无 关。
于对称波导是非对称波导的极限情况，所以在此我们讨论非对称波导。
设衬底和覆盖层都是延伸到无穷远的，且波导层的宽度远大于它的宽度。在此假设条件
下，我们可以认为在平板波导中的光场只在 x 轴方向受到限制，并设平板波导的几何结构和
折射率分布沿 y 方向不变，即折射率分布为 nx ，相应的膜场也只是坐标 x 的函数，于是
而在研究导波光学中转移矩阵是不可或缺的，在导波光学中，利用转移矩阵方法研究多 类波导特性已经取得了许多的创造性成果，其内容覆盖了多层薄膜导波、渐变折射率波导、 周期性波导、多量子阱波导、泄漏波导、金属覆盖波导以及金属与介质界面上的表面等离子 波。由此可见，转移矩阵在导波光学中的作用是巨大的。
二是在数学和物理学的研究中，转移矩阵也是不能缺少的，利用转移矩阵的定义和转移 矩阵的八个基本的性质解决了许多数学和物理学的问题。
哈尔滨师范大学
学年论文
题目 学生 指导教师 年级 专业 系别 学院
转移矩阵及其基本性质 周林 张强 讲师 2008 级 物理学 物理系 物理与电子工程学院
哈尔滨师范大学
2011 年 2 月
论文提要
一是随着光通信、光信息处理和光传感等技术的迅速发展，研究光在薄膜波导中调制、 耦合、传输、放大、色散和非线性相互作用等现象的波导光学日益受到有关研究人员的重视。 而波导光学领域内的研究的研究成果对一系列薄膜光电子器件的发展也起到了重大作用。
射率为 n2 的薄膜厚度为 h2 ， n0 和 n3 分别为覆盖层和衬底的折射率。
nx
n1 n2 n3
n0
o
h1
h1 h2
x
图3
如果设 M h1 和 M h2 分别是这两层薄膜对应的转移矩阵，则由（2.4）式可得
h1 h1
M
h1
0 0
（4.7）
h1 h2 h1 h2
M
h2
h1 h1
（4.8）
所以可得
h1 h2 h1 h2
M
h1
h2
0 0
（4.9）
式中
M h1 h2 M h2 M h1
（4.10）
• 注意:（4.10）式中的 M h2 和 M h1 不满足乘法交换律，即不能交换位置。
以上的结果也可以作一个推广，把它推广到厚度为 h1 ， h2 ，…， hN 的 N 2 层平板波
（4.17）
这里把0 、1 、2 和3 四个基本矩阵称为泡利矩阵。
一个双层膜所对应的矩阵应该是两个（4.12）式表示的矩阵的乘积，由（4.14）和（4.16）， 可以把这个乘积写成
M 2 M1 a0 0 a11 a2 2 a3 3
（4.18）
式中， a0 、 a1 、 a2 和 a3 是泡利矩阵的系数。
一、平板导波的波动方程
在研究转移矩阵前我们要先知道平板导波的波动方程因为在下面的转移矩阵的推导中 会用到这个方程，还可以通过推导波导方程更好的理解转移矩阵的推导过程，还有它们之间 的联系和转移矩阵在导波光学中的重要作用。
假设有一个非对称平板波导的结构如图 1 所示，它是由三层材料组成的，中间一层是折
导的情况，设这些薄膜对应的转移矩阵分别是 M h1 ， M h2 ，…， M hN ，则有
M h1 h2 hN M hN M hN1M h2 M h1 （4.11）
同样（四.11）式中的 MhN ，…， M h2 ， M h1 的位置不能交换。
④：任意多层膜
一个任意的多层膜等效为一个双层膜，但一般来说，不能等效为一个单层膜。 这个等效定理可以用薄膜理论中的泡利（Pauli）矩阵加以证明。在此我以 TE 波为例， 考察单层膜对应的转移矩阵（3.2）式，该矩阵可以表示
在式（1.5）中，把第一式和第二式带入第三式中，消去 H x 和 H z ，可得到 Ey 所遵循
的方程为
2Ey
x2
k02n2j 2
Ey
0
（1.7）
同理再对（1.6）进行同样的步骤，即把第一式和第二式代入第三式，消去 Ex 和 Ez ，可得 到 H y 所遵循的方程为
2H y x 2
k02
coskh
1 2
m11
m12
1 2
trM
h
（4.6）
式中 tr 表示矩阵的迹。同时（4.6）是一个非常重要的性质，它在周期性波导和多量子阱波
导中获得了很广泛的应用，也使其波导的研究和理解是更加容易。
③：四层平板波导(双层膜)
如图 3 所示的四层平板波导的折射率分布，其中，折射率为 n1 的薄膜厚度为 h1 ，而折
上的电磁场矢量建立起来个一定的矩阵关系。下面我要利用这种传递关系——方程（3.1）， 来完全确定光导波的传播特性。
我们上述类似的步骤可以得到 TM 波满足的矩阵方程
H y
1
n22
h
H
y
h
coskh
k n12
sinkh
n12 sink
k
coskh
h
H y
1
n32
0
H y 0
（3.3）
由于存在关系式（4.15）以及
我在这里就用通用的薄膜光学类似理论来引入转移矩阵的概念。在此假设有一个厚度
为 h 的三层介质平板波导的折射率分别为 n1 、 n2 、 n3 如图 2 所示
nx
n1
n2
n3
o
h
x
图2
以 TE 波为例，光波导满足的标量波动方程为
2
2
k02
n
2 j
2
0
j 1,2,3
（2.1）
式中， x 为 TE 波任一电磁场分量的场分布。选取方程（1）的两个特解1x 和 2 x ，
使之满足边界条件
10 2 0 1
10 2 0 0
波动方程（1）的一般解应是1x 和 2 x 两特解的线性叠加，即
C11 C2 2
（2.2）
而我们通过电动力学的学习可知在区间（0，h）界面上，场的分布是在界面的最低处即 0
处 x 为零同时 x也为 0。如上式（2）我们知道在 h 处的 x 和 x分别为1x 、
M
cos kh 0
1 k2 2k
sin kh1
1 k2 2k
sin kh 2
（4.12）
式中
0
1 0
0 1
1
0 1
1 0
2
0 1
1
0
（4.13）
可见
2 0
12
2 2
0
（4.14）
在此我们引入一个新的矩阵
显然可以看出
3
1 0
0 1
（4.15）
并满足关系
2 3
0
（4.16）
1 2 21 3
射率为 n1 导波层，它的淀基在折射率为 n2 的衬底上，导波层上面是折射率为 n3 的覆盖层（也
称包层）。
x
z
n3
h n1
o
y n2
图1
为了构成真正的光波导，所以 n1 必须大于 n2 和 n3 ，为了不失一般性，可以假设 n1 n2 n3 。如果 n1 n2 ，则称波导是对称的；当 n2 n3 时，则称波导是非对称的。由
（3.6）
四、转移矩阵的基本性质
利用转移矩阵可以分析较为复杂的光波导，我们必须讨论一下转移矩阵的一些基本性 质。为了讨论的方便，2×2 转移矩阵可记为
M
m11 m21
m12
m22
①：在无吸收介质中,转移矩阵是一个实系数的单位模矩阵
由（3.2）式和（3.4）式可见，在无吸收介质中，转移矩阵是一个实系数的单位模矩阵， 即有
det M m11
m21
m12 m22
m11m22 m12m21 1
式中， det 表示行列式。可以证明，单位模的物理意义是能量守恒。
②：转移矩阵的本征值又由久期方程决定
转移矩阵的本征值 由久期方程
M E ຫໍສະໝຸດ Baidu0
决定，式中 E 为单位矩阵，即
1 0
E 0 1
（4.1）
(4.2) (4.3）
n
2 j
2
Hy
0
（1.8）
式中的 k0 00 2 / 是光在真空中的波数（传播常数）， 为真空中光的波长； j 1,2,3 。
式（17）和（1.8）分别称为 TE 波和 TM 波的标量亥姆霍兹（Helmholtz）方程，或称为 波动方程。
由上述我们给出了 TE 波和 TM 波的定义和解释，还有 TE 波和 TM 波的波动方程。在转移 矩阵的推导中会再次用到。
二、转移矩阵理论的建立
在现在的数学和物理学界建立矩阵技术是运用描述光在分层薄膜中的传播是一种简单 易行的方法来确定的。
利用 M .玻恩和 E 。沃耳夫利用特性矩阵求解光通过多层介质膜时的透射率和反射率 问题的理论，并根据介质光波导的特点，选取了合适的波动方程的特解，构造出一种与特性 矩阵不同的转移矩阵。