拓扑学-聊城大学精品课程!
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17
拓扑学的近代发展
• • • • 点集拓扑学 代数拓扑学 微分拓扑学 几何拓扑学
• 思考题：设C代表平面上的圆周，“点A位于圆周的内部” 这一性质是否在“弹性变形”下保持不变？
18
朴 素 集 合 论
19
集合的基本概念
单 点 集 集 族
集 , {1} 单 单点 点 集 {a} {a} , {1} 集 集族 族
21
集合的基本运算
De Morgan 律
A (B C) (A B) (AC)
A (B C) (A B) (AC)
{a} , {1}
A = { { 1} ,{1,2}, }
} } AA = {= {1 ,{1,2}, {}{ 1} ,{1,2},
幂 幂集： 集： X的所有子集构成的集族， X的所有子集构成的集族， 幂 集： X的所有子集构成的集族， 记为 P P( X( )X ) 记为
P ( X ) { ,{ a },{ b },{ a , b } P a },{ b },{ a }} P ((X X)) { { ,{ ,{ a },{ b },{ a,,b b }}
12
对七桥问题的反思
七桥问题是一个几何问题，然而，它却是 一个以前欧氏几何学里没有研究过的几何 问题。在以前的几何学里，不论怎样移动 图形，它的大小和形状都是不变的；而欧 拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点， 桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交 点的准确方位、面积、体积等概念，都变 得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么 类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的 结论。 很清楚，图中什么都可以变，唯独点 线之间的相关位置，或相互连结的情况不 能变。
聊城大学数学科学学院
点集拓扑学
山东省精品课程
( X Y Z)
2008
( X Y Z)
1
拓扑学导论
●
拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何
不同的几何学分支
●
研究对象：一般的几何图形（拓扑空间）
Baidu Nhomakorabea
●
中心任务：研究几何图形的一类性质即所
谓的拓扑性质，但这类性质与我们在欧氏 几何中研究的长度、角度、面积等不同。
4
一笔画问题
平面上由曲线段构成的一个图 形能不能一笔画成，使得在每条线 段上不重复？ 例如：日 ，中 可以一笔画出 田 ，目 不能一笔画出
5
日 字的变形
田 字的变形
6
欧拉的结论
欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现， 凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个 特点：每当你用笔画一条线进入中间的一 个点时，你还必须画一条线离开这个点。 否则，整个图形就不可能用一笔画出。也 就是说，单独考察图中的任何一个点（除 起点和终点外），它都应该与偶数条线相 连；如果起点与终点重合，那么，连这个 点也应该与偶数条线相连。
15
拓扑学的中心任务
• 欧氏几何研究图形在正交变换下的不 变性和不变量。 • 拓扑学研究更一般的图形在“弹性变 形” 下的不变性和不变量（例子）。 • “弹性变形”的特点：可复原，把相 近的点变成相近的点（连续）
16
基本概念的严格数学描述
• • • • • • • 一般图形：集合 变形：映射 弹性变形：可逆映射或一一映射 相近：邻域，开集 相近变相近：连续 图形全等：同胚 不变性：连通性，可数性，分离性等
2
平面欧氏几何的研究对象与内容
●研究对象：直线和圆构成的图形 ●研究内容：长度、角度、面积、全等； 两图形全等即经过平移、旋转、对称两 图形重合；而长度、角度、面积经过上 述正交变换保持不变。 ●结论：欧氏几何研究图形在正交变换 下的不变性和不变量。
3
与拓扑性质相关的几个例子
一笔画问题 哥尼斯堡七桥问题 四色问题
13
四 色 问 题
14
以上几个问题显示出几何图形的一类 新的几何性质。这类性质与几何图形的大 小、形状以及所含线段的曲直等等都无关， 他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们 的特点是：在“弹性变形” 下保持不变， 研究这类新问题的几何学，欧拉称之为 “位置几何学”，人们通俗地把它叫做 “橡皮几何学”。后来，这门数学分支被 正式命名为“拓扑学”
7
一笔画问题的特点
该问题与线段的长短曲直、交点的准 确方位、面积、体积无关。重要的是 图形中点线之间的相关位置，或相互 连结的情况不能变。
8
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布 勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大 海。河心有一个小岛。河水把城市分成了４块，于是，人 们建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。 一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什 么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问 题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且 每座桥都只通过一次？ 这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的 智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称 的大学教授们，也感到一筹莫展。"七桥问题"难住了哥尼 斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七桥问题"而出了名。
9
七 桥 问 题
10
欧拉的解法
哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧 拉的兴趣。他知道，如果沿着所有可 能的路线都走一次的话，一共要走 5040次。就算是一天走一次，也需要 13年多的时间。实际上，欧拉只用了 几天的时间就解决了七桥问题。
11
欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小 岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、 形状均与问题本身无关。因此，不妨把 它们看作是4个点。7座桥是7条必须经过 的路线，它们的长短、曲直，也与问题 本身无关。因此，不妨任意画7条线来表 示它们。就这样，欧拉将七桥问题抽象 成了一个“一笔画”问题，从而否定了 问题的答案。
20
X { a , b } X { {a a,,b b} } X
记为 P ( X )
集合的基本运算
幂 等 律
A A A , A A A
交 换律
A B B A , A B B A
分 配 律
( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A B) C ( A C ) ( B C )
拓扑学的近代发展
• • • • 点集拓扑学 代数拓扑学 微分拓扑学 几何拓扑学
• 思考题：设C代表平面上的圆周，“点A位于圆周的内部” 这一性质是否在“弹性变形”下保持不变？
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朴 素 集 合 论
19
集合的基本概念
单 点 集 集 族
集 , {1} 单 单点 点 集 {a} {a} , {1} 集 集族 族
21
集合的基本运算
De Morgan 律
A (B C) (A B) (AC)
A (B C) (A B) (AC)
{a} , {1}
A = { { 1} ,{1,2}, }
} } AA = {= {1 ,{1,2}, {}{ 1} ,{1,2},
幂 幂集： 集： X的所有子集构成的集族， X的所有子集构成的集族， 幂 集： X的所有子集构成的集族， 记为 P P( X( )X ) 记为
P ( X ) { ,{ a },{ b },{ a , b } P a },{ b },{ a }} P ((X X)) { { ,{ ,{ a },{ b },{ a,,b b }}
12
对七桥问题的反思
七桥问题是一个几何问题，然而，它却是 一个以前欧氏几何学里没有研究过的几何 问题。在以前的几何学里，不论怎样移动 图形，它的大小和形状都是不变的；而欧 拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点， 桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交 点的准确方位、面积、体积等概念，都变 得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么 类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的 结论。 很清楚，图中什么都可以变，唯独点 线之间的相关位置，或相互连结的情况不 能变。
聊城大学数学科学学院
点集拓扑学
山东省精品课程
( X Y Z)
2008
( X Y Z)
1
拓扑学导论
●
拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何
不同的几何学分支
●
研究对象：一般的几何图形（拓扑空间）
Baidu Nhomakorabea
●
中心任务：研究几何图形的一类性质即所
谓的拓扑性质，但这类性质与我们在欧氏 几何中研究的长度、角度、面积等不同。
4
一笔画问题
平面上由曲线段构成的一个图 形能不能一笔画成，使得在每条线 段上不重复？ 例如：日 ，中 可以一笔画出 田 ，目 不能一笔画出
5
日 字的变形
田 字的变形
6
欧拉的结论
欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现， 凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个 特点：每当你用笔画一条线进入中间的一 个点时，你还必须画一条线离开这个点。 否则，整个图形就不可能用一笔画出。也 就是说，单独考察图中的任何一个点（除 起点和终点外），它都应该与偶数条线相 连；如果起点与终点重合，那么，连这个 点也应该与偶数条线相连。
15
拓扑学的中心任务
• 欧氏几何研究图形在正交变换下的不 变性和不变量。 • 拓扑学研究更一般的图形在“弹性变 形” 下的不变性和不变量（例子）。 • “弹性变形”的特点：可复原，把相 近的点变成相近的点（连续）
16
基本概念的严格数学描述
• • • • • • • 一般图形：集合 变形：映射 弹性变形：可逆映射或一一映射 相近：邻域，开集 相近变相近：连续 图形全等：同胚 不变性：连通性，可数性，分离性等
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平面欧氏几何的研究对象与内容
●研究对象：直线和圆构成的图形 ●研究内容：长度、角度、面积、全等； 两图形全等即经过平移、旋转、对称两 图形重合；而长度、角度、面积经过上 述正交变换保持不变。 ●结论：欧氏几何研究图形在正交变换 下的不变性和不变量。
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与拓扑性质相关的几个例子
一笔画问题 哥尼斯堡七桥问题 四色问题
13
四 色 问 题
14
以上几个问题显示出几何图形的一类 新的几何性质。这类性质与几何图形的大 小、形状以及所含线段的曲直等等都无关， 他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们 的特点是：在“弹性变形” 下保持不变， 研究这类新问题的几何学，欧拉称之为 “位置几何学”，人们通俗地把它叫做 “橡皮几何学”。后来，这门数学分支被 正式命名为“拓扑学”
7
一笔画问题的特点
该问题与线段的长短曲直、交点的准 确方位、面积、体积无关。重要的是 图形中点线之间的相关位置，或相互 连结的情况不能变。
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布 勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大 海。河心有一个小岛。河水把城市分成了４块，于是，人 们建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。 一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什 么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问 题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且 每座桥都只通过一次？ 这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的 智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称 的大学教授们，也感到一筹莫展。"七桥问题"难住了哥尼 斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七桥问题"而出了名。
9
七 桥 问 题
10
欧拉的解法
哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧 拉的兴趣。他知道，如果沿着所有可 能的路线都走一次的话，一共要走 5040次。就算是一天走一次，也需要 13年多的时间。实际上，欧拉只用了 几天的时间就解决了七桥问题。
11
欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小 岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、 形状均与问题本身无关。因此，不妨把 它们看作是4个点。7座桥是7条必须经过 的路线，它们的长短、曲直，也与问题 本身无关。因此，不妨任意画7条线来表 示它们。就这样，欧拉将七桥问题抽象 成了一个“一笔画”问题，从而否定了 问题的答案。
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X { a , b } X { {a a,,b b} } X
记为 P ( X )
集合的基本运算
幂 等 律
A A A , A A A
交 换律
A B B A , A B B A
分 配 律
( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A B) C ( A C ) ( B C )