稳态误差的计算

Amplitude
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
10 G G1G2 System: untitled1 s 11.67s 1 Settling Time (sec): 2.86
System: untitled4 Settling Time (sec): 2.49
System: untitled1 Final Value: 0.909 System: untitled4 Final Value: 0.5
一、稳态误差的定义和基本概念
系统的误差 e(t)的基本定义为输出量的希望值与实际值之差。
典型系统结构如图所示，其误差定义有两种形式： （1）输出端定义法：’ ) Cr (t ) C (t ) e (t 式中： C r (t ) 为系统输出量的希望值； C(t)为输出量的实际值。 （2）输入端定义法：e(t ) r (t ) b(t )
1.8 1.6 1.4 1.2 System: untitled2 Settling Time (sec): 6.81
G G1G2
10 s 1.67s 1
R(t) E(s)
N(s)
-
G1 ( s)
+ G ( s) 2
C(s)
B(s)
H (s)
System: untitled2 Final Value: 1
二、给定输入作用下系统的误差分析
这时，不考虑扰动的影响。 可以写出随动系统的误差 ： 1 1 E ( s) R( s ) R( s ) 1 G1G2 H 1 Gk
R(s)
E (s )
H
G2
G1
sR( s) ess lim e(t ) lim sE ( s) lim t s 0 s 0 1 G ( s ) k
一
从图形和公式中体会误差和稳态误差
Step Response
ess lim e(t ) lim[Cr (t ) C (t )] 0.5 0.5
t t
1
r(t)=1(t)
R(t) E(s)
0.8
N(s)
+
H(s)=2
C(s)
C(t)
B(s)
Amplitude
0.6
System: untitled1 Final Value: 0.5
s 0
当 0,1时，K a lim s (1, 2) KG0 ( s) 0 ,
s 0
当 2时，K a lim KG0 ( s) K , s 0 K 当 3时，K a lim G0 ( s ) , s 0 s K a 反映了系统跟踪抛物线输入的能力。
K G0 ( s ) s
式中： K 开环放大系数；
开环传递函数积分环节的个数；
G0 (s) 开环传递函数去掉积分和比例环节； G0 (0) 1, m1 2m2 m , n1 2n2 n
sR ( s ) sR ( s ) s v 1 R( s ) ess lim lim lim s 0 1 G ( s ) s 0 s 0 K s v K k 1 v G0 ( s ) s 系统型别 1 lim[ S R( s)] s 0 e ss 64) 开环增益有关 ess (3 与 K K lim S R (s ) 输入信号 s 0
G G1G2
1 s 11.67s 1
35
0
>> step(feedback(tf(1*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35) 5 10 15 20 25 30
Time (sec)
从图形中体会误差和稳态误差
单位斜坡函数输入时的稳态误差 1 当输入为R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim s 0 1 G ( s) lim s Gk (s) lim K G (s) Kv k s 0 0 s 0 s 1 K 式中： v lim s Gk ( s ) 称为速度误差系数；
Ⅰ型系统稳态时能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差 Ⅱ型及Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存 在位置误差
阶跃响应：零稳态误差
Linear Simulation Results 20 18 16 14 12
斜坡响应：稳态误差为常数
指令：t=0:.01:20; u=t; lsim(feedback(tf(5*[0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),u,t)
如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ 型以上的系统。习惯上，阶跃输入作用下的稳态误差称为静差
>> step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)
>> step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35) Step Response
注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念
从图形和公式中体会误差和稳态误差
2 1.8 1.6 1.4 1.2 Step Response
R(t)
E(s)
N(s)
+
H(s)=1
C(s)
C(t)=b(t)
System: untitled1 Settling Time (sec): 7.54
单位阶跃函数输入时的稳态误差
1 当输入为 R ( s ) 时（单位阶跃函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim s 0 1 G ( s) 1 lim Gk (s) 1 lim K G (s) 1 K p k s 0 0 s 0 s 式中：K p lim Gk ( s ) 称为位置误差系数； s 0 1 当 0时，K p lim KG0 ( s ) K , ess s 0 1 K K 当 1时，K p lim G0 ( s ) , ess 0 s 0 s K p 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 p 越大，ess 越 K 小。所以说 K p 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。
K=0.3
阶跃响应
0
2
4
6
8
10 Time (sec)
12
14
16
18
20
单位加速度函数输入时的稳态误差 1 当输入为R ( s ) 3 时（单位加速度函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim 2 s 0 1 G ( s) lim s Gk (s) lim K G (s) K a k s 0 0 s 0 s 2 式中： a lim s 2Gk ( s ) 称为加速度误差系数； K
R(s)
E ' (s) E (s) H (s)
E’(s) 1/H(s) N(s)
e(t)
E(s)
+
C(s)
B(s)
式中： r(t)为给定输入； 图 典型反馈系统结构图 b(t)为系统主反馈信号。 H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的）， 故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。 误差的定义
K G0 ( s ) s
K Gk ( s ) s
( i s 1) ( k s 2 2 k k s 1) (T j s 1) (Tl s 2 2 lTl s 1)
j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2
m1
m2
给定输入时的稳态误差
e 显然， ss 与输入和开环传递函数有关。 假设开环传递函数 Gk (s) 的形式如下：
K Gk ( s ) s ( i s 1) ( k s 2 2 k k s 1) (T j s 1) (Tl s 2 2 lTl s 1)
j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2 m1 m2
ess 1 ess K ess 0
0型与Ⅰ型系统稳态时不能跟踪加速度输入
Ⅱ型系统稳态时能跟踪加速度输入，但存在一个稳态位置误差 Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪加速度输入信号，不存在位 置误差
Linear Simulation Results 120
注意：两种误差定义的统一性其关键在于反馈 传递函数H(s)的确定性、可靠性、准确性。
基本公式
ess lim e (t ) lim[r (t ) b (t )]
t t
稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号 的稳态分量称为系统的稳态误差，以 ess 表示。
一
稳态误差的定义
给定输入时的稳态误差
讲授技巧及注 表达式推导、图形显示和表格总结相辅相成。 意事项
3-6 控制系统的稳态误差
系统响应的稳态分量(例如t>ts的输出分量）反映了 系统跟踪给定控制信号或希望输出信号的准确度或抑制 扰动信号的恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系 统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的 不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦 等因素有关。本书只讨论由于系统结构、参数及外作用 等因素所引起的稳态误差，即原理性误差。 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差） 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差） 给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度 跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的 稳态性能。给定输入量不变时，需要分析输出量在扰动 作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统 的稳态性能。
s 0
当 0时，K v lim sKG0 ( s ) 0 ,
s 0
当 1时，K v lim KG0 ( s ) K , s 0 K 当 2时，K v lim G0 ( s) , s 0 s 结论：
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入
ess 1 ess K ess 0
0.4
System: untitled1 Settling Time (sec): 7.37
0.2
e t Cr t C (t )
G G1G2 50 s 1.67s 1
15 Time (sec) 20 25 30非单位反馈情况：
>> step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),2),0:.01:35)
ess lim e(t ) lim[ r (t ) b(t )] 1 1
>> step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)
0 5 10 15 Time (sec) 20 25 30 35
单位反馈情况：
r t Cr (t ) t输入
ess lim e(t ) lim[ r (t ) b(t )] t (t 1/ K )
t t
Amplitude
10 8 6 4 2 0
K=5
K=1
K Td s 1 G Td 0 s 1.67s 1
B(s)
Amplitude
System: untitled2 Final Value: 1
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
r t Cr (t ) 1 t
50 G G1G2 s 1.67s 1
t t
b t C (t )
e t 1 t C (t )
第三章 线性系统的时域分析法
3-6 线性系统的稳态误差分析 项目 内容
教 学 目 的 理解稳态及稳态误差的概念，掌握其计算方法和
计算结果，进而熟悉减小或消除稳态误差的措施。
教 学 重 点 稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态
误差，即表3－5 ；减小或消除稳态误差的措施。
教学难点
广义（动态）误差的概念和广义（动态）误差系 数的计算方法，各种补偿措施。