现代结构分析方法第二章 晶体结构及晶体学

对称性
对称操作： 使图形保持不变（完全复原）的操作； 在对称操作中始终保持不变的轴、平面、或点称 为对称元素。 单胞内的原子位置由对称性操作联系。 对称操作分点对称和平移两种。 单胞位置由平移对称性联系。
点阵与晶体结构
阵点（几何点代替结构单元）和点阵（阵点的分 布总体）
注意与晶体结构（=点阵+结构单元）的区别。
j
⎥ ⎥
⎢⎣k ⎥⎦
Rr
i'
γ γ
i
坐标系的旋转 j'
选k轴与n次轴平行
⎡i⎤
j
r
=
(x
y
z
)
⎢ ⎢
j ⎥⎥
⎢⎣k ⎥⎦
Rr
i'
γ
⎡ i'⎤
⎡i⎤
⎢ ⎢
j '⎥⎥
=
M
R
⋅
⎢ ⎢
j
⎥ ⎥
⎢⎣ k '⎥⎦
⎢⎣ k ⎥⎦
γ
i
j'
j
⎡ i' ⎤ ⎡ cosγ sin γ 0⎤⎡ i ⎤
⎢ ⎢
j'⎥⎥
=
⎢⎢−
c
α-Fe, bcc
α-Fe
a
b
1, the basic unit: one Fe atom
2, regard the unit as a point
3, the geometry of the points =
Body centered cubic lattice
点阵与晶体结构：例子
Cl Cs
Steps to reach lattice 1, determine the basic unit 2, regard the unit as a point 3, the geometry of the points = lattice
镜面操作时，与镜面垂直的坐标变负
B
A
kj E Ci
D
矩阵表达：⎢⎡ ⎢
− −
x⎤
y
⎥ ⎥
=
Qm
⎡−
⋅
⎢ ⎢
−
x⎤
y
⎥ ⎥
=
⎡1
⎢ ⎢
0
0 1
0 ⎤ ⎡− x⎤
0
⎥ ⎥
⋅
⎢ ⎢
−
y
⎥ ⎥
⎢⎣ − z ⎥⎦
⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 − 1⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦
Qm反映了镜面操作的实质！
轴次
轴次：1, 2, 3, 4, 6 晶体的周期性限制了可能的对称操作。
矩阵表达： ⎡ − x ⎤
⎡ x⎤ ⎡−1
⎢ ⎢
−
y
⎥ ⎥
=
Q2
⋅
⎢ ⎢
y
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣ z ⎥⎦
⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0
B
A
kj E Ci
D
0 0⎤ ⎡x⎤
−1
0
⎥ ⎥
⋅
⎢ ⎢
y
⎥ ⎥
0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦
Q2反映了2次轴操作的实质！
n次轴
数学表达
选k轴与n次轴平行 A (x, y, z) ÆB (X, Y, Z)
点阵与晶体结构：例子
c
γ-Fe, fcc
b a
Cu3Au, simple cubic
点阵与晶体结构：例子
c
γ-Fe, fcc
b a
CuAu, tetragonal
非晶结构 与晶体结 构比较
从原子排列方式 看，固体物质分 晶态（长程有 序）和非晶态(短 程有序)两种。
基本单元的 排列特点
基本单元构成 几何格点Æ点阵
点阵与晶体结构
阵点（几何点代替结构单元）和点阵（阵点的分 布总体）
注意与晶体结构（=点阵+结构单元）的区别。
点阵与晶体结构：例子
Steps to reach lattice 1, determine the basic unit 2, regard the unit as a point 3, the geometry of the points = lattice
Inversion axis
Additional kinds of symmetry are obtained by B combining inversion with each rotation axis.
These inversion axes consist of a rotation,
E
Center of symmetry
In three-dimensions there are additional kinds of symmetry which do not arise in two dimensions. The simplest is inversion symmetry.
t’ B
t α
At
t’ = m t = t + 2t Sin (α-90) B’ = t – 2t Cos α
t A’
-1 ≤ Cos α = (1-m)/2 ≤ 1
m = -1, 0, 1, 2, 3 360 60 90 120 180
2次轴
数学表达
选k轴与2次轴平行 A (x, y, z) ÆB (-x, -y, z)
•微观组织：纳米～微米～毫米 •晶粒、组织 形态（例如珠光体）宏观缺 陷（空隙、裂缝） •物理冶金（金属学）
•宏观结构：>毫米 •零件、构件 •力学
第二章 晶体结构及晶体学
一、 晶体结构概论 固体无机物质分晶态和非晶态两种。 晶态：长程有序，主要是周期有序，还有准周期、无 公度调制 例子：铁、金刚石、水晶
矩阵表达：
j'
⎡i⎤
⎡ i' ⎤
R= (X Y Z )
⎢ ⎢
j
⎥ ⎥
= (x y z )
⎢ ⎢
j'⎥⎥
⎢⎣k ⎥⎦
⎢⎣k '⎥⎦
⎡i⎤
=
(x
y
z)
M
⎢ R⎢
j ⎥⎥
⎢⎣k ⎥⎦
⎡X ⎤
⎡x⎤
⎢ ⎢
Y
⎥ ⎥
=
M
t R
⎢ ⎢
y⎥⎥
⎢⎣ Z ⎥⎦
⎢⎣ z ⎥⎦
j
B RA γr
i
⎡i⎤
j
r
=
(x
y
z
)
⎢ ⎢
晶体结构例子
γ-Fe α-Fe
第二章 晶体结构及晶体学
一、 晶体结构概论 固体无机物质分晶态和非晶态两种。 非晶态：短程有序，长程无序
例子：玻璃 塑料
非晶结构 与晶体结 构比较
一、 晶体结构概论
（1） 基本概念： 晶体学所描述的对象：原子排列方式（简化；理 想；几何）=》周期。
晶体结构＝结构单元（单胞）＋单胞周期平移
A centre of symmetry is denoted by 1.
⎡− x⎤
⎡x⎤ ⎡−1 0 0 ⎤ ⎡ x⎤
⎢ ⎢
−
y
⎥ ⎥
=
Q inv
⋅
⎢ ⎢
y
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
−1
0
⎥ ⎥
⋅
⎢ ⎢
y
⎥ ⎥
⎢⎣ − z ⎥⎦
⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 − 1⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦
A structure possesses a centre of symmetry if it remains unchanged when every small element of the structure with coordinates (x,y,z) is reflected through the centre of symmetry at (0,0,0) to (-x,-y,-z). An operation of point inversion is to reflect each point (x,y,z) to (-x,-y,-z).
k
j’
⎢ ⎢
j'⎥⎥
=
⎢⎢−
sin
γ
cosγ
0⎥⎥
⎢ ⎢
j
⎥ ⎥
⎢⎣k'⎥⎦ ⎢⎣ 0
0 1⎥⎦⎢⎣k ⎥⎦
x,y,z
-y,x,z
⎡i'⎤ ⎡ 0 1 0⎤ ⎡i ⎤
axis results, with each face inverted. The
shorthand symbol to denote these axes is,2 ,3 ,4
and 6 . A centre of symmetry is denoted by 1 .
⎡x⎤
⎡x⎤ ⎡−1 0 0⎤ ⎡−1 0 0 ⎤ ⎡x⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎡x⎤
sin
γ
cosγ
0⎥⎥⎢⎢ j⎥⎥
⎢⎣k'⎥⎦ ⎢⎣ 0
0 1⎥⎦⎢⎣k⎥⎦
i'
γ
i
⎡X ⎤
⎡x⎤
⎡X ⎤ ⎡cosγ − sin γ 0⎤⎡ x⎤
⎢ ⎢
Y
⎥ ⎥
=
M
t R
⎢ ⎢
y
⎥ ⎥
Æ
⎢ ⎢
Y
⎥ ⎥
=
⎢⎢sin
γ
cosγ
0⎥⎥⎢⎢ y⎥⎥
⎢⎣ Z ⎥⎦
⎢⎣ z ⎥⎦
⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0 1⎥⎦⎢⎣ z ⎥⎦
Wavelength Dispersive Analysis of X-rays (Electron Microprobe)波谱/电子探针 Auger spectroscopy俄歇谱仪
free e
Kα2特征X射线
Auger e
Valence L3
L2
L1 e
K
K激发态
发射K光子 （重元素） 平均自由程μm
followed by point inversion.
A
kj
Ci
2
AÆF
The operation of say an inversion tetrad is a
D
F
rotation of 90°, followed by inversion through a
centre. A four fold pattern of faces around the
转轴实例
转轴符号
转轴实例
m
m
m
转轴实例
4次轴
4 m
m
4
Snowflakes
对称性不变！
How about 5 fold symmetry?
It exists but only in aperiodic systems.
二维准晶模 型：Penrose 拼图
5-fold: 非晶体学旋转
长程有序，但不是 周期性质
⎢ ⎢
y
⎥ ⎥
=Qt 2
⋅Qt inv
⋅
⎢⎢y⎥⎥
=
⎢ ⎢
0
−1 0⎥⎥⋅⎢⎢ 0
−1
0 ⎥⎥⋅⎢⎢y⎥⎥ =⎢⎢0 1
0 ⎥⎥⋅⎢⎢y⎥⎥
=m
⎢⎣−z⎥⎦
⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦
Inversion axis
⎡y⎤
⎡x⎤ ⎡0 −1 0⎤ ⎡−1 0 0 ⎤ ⎡x⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡x⎤
c
a
b zx y
zx y
3次轴＋3个镜面
单元内的 原子的排 列特点
2次轴＋2镜面
原子之间由 对称性联系
对称性(包括周期 平移)在空间分布 晶体学就是对 称性科学!
镜面对称
镜面对称
6次轴＋6个镜面 3次轴＋3个镜面
3次轴＋3个镜面
原子之间由 对称性联系
3次轴
人类社会中的对称性
Sumerian culture (2700BC)：
发射俄歇电子 （轻元素） 平均自由程Å, 表面几层原子
微结构决定了材料的性能
结构和组分Æ物理、化学、力学性能 Æ使役性能
结构的多层性：决定了材料性能的复杂性
物质结构的多层次性
•亚原子层次：<0.1纳米 •原子种类、化学健、电子结构、电负性 •固体物理、固体化学
•原子排列： ～1纳米 •相、对称性、单胞、点阵、缺陷（位 错、晶界等） •晶体学
CsCl, simple cubic
CsCl 1, the basic unit: one Cs atom + one Cl 2, regard the unit Cs + Cl as a point 3, the geometry of the points = simple cubic lattice
⎢⎢−
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x⎥⎥
=
Qt 4
⋅Qt inv
⋅
⎢⎢y⎥⎥
=
⎢⎢1
0
0⎥⎥
⋅
⎢ ⎢
0
−1
0
⎥ ⎥
⋅
⎢⎢y⎥⎥
=
⎢⎢−1
0
0 ⎥⎥⋅⎢⎢y⎥⎥
⎢⎣− z⎥⎦
⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦
⎡ i' ⎤ ⎡ cosγ sin γ 0⎤⎡ i ⎤
晶体结构＝结构单元（单胞）＋单胞周期平移
石墨
C60
金刚石
NaCl
BaTiO3
一、 晶体学基础
（1） 基本概念：
晶体学所描述的对象：原子排列方式（简化；理
想；几何）=》周期。
对称性
晶体结构＝结构单元（单胞）＋单胞周期平移
(2)点对称（宏观对称）操作
种类：
2
B
A
镜面（对称面）m：B-D
EC
旋转对称轴 n：A-B (2)
Mirror reflection
2－fold rotation 180°
King Entemena 银花瓶
人类社会中的对称性
秩序!
活泼
自然界中的对称性
对称性的优美
对称 Æ静止、约束、秩序、规律、死亡 不对称Æ运动、松弛、任意、偶然、生命
一、 晶体学基础
（1） 基本概念： 晶体学所描述的对象：原子排列方式（简化；理 想；几何）=》周期。
现代结构分析方法教学大纲 (07－08年度第一学期)
第二讲
别忘记作业!
复习
SEM
一、微观结构分析基 EDAX 本原理
载能粒子与物质相互作用 电子与物质相互作用 分析方法的种类及功能
TEM
第一章微观结构分析基本原理
Energy Dispersive Analysis of X-rays (EDAX)能谱
对称中心 1：A-D
D
旋转反演对称轴 n ：n+1,2+m
单晶外形常常呈现出点对称性
(2)点对称（宏观对称）操作
镜面：B － D关系 等同于2＋1
2
B
A
EC
D
(2)点对称（宏观对称）操作
镜面操作的数学表达
选k轴与镜面垂直 A (x, y, z) ÆB (-x, -y, z)Æ D (-x, -y, -z)