考点11 万有引力定律的应用-2020年 新高三一轮复习物理(解析版)

考点11 万有引力定律的应用
一、选择题
1．一个物体在地球表面所受的重力为G，则在距地面高度为地球半径的1倍时，所受引力为() A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设地球的质量为M，半径为R，设万有引力常量为G′，根据万有引力等于重力，则有＝G①
在距地面高度为地球半径的1倍时＝F②
由①②联立得F＝.
2．如图所示，关于物体的重力，下列说法中正确的是()
A．同一物体在地球上的任何位置所受重力都相同
B．把物体从地面移向高空中，物体所受重力减小
C．同一物体在赤道上受到的重力比两极大
D．物体所受重力的方向与所受万有引力的方向一定不相同
【答案】B
【解析】同一物体在地球上的不同位置所受重力不同，在地球上同一高度，同一物体在两极的重力大于赤道的重力．故A错误；设地球的质量为M，半径为R，物体的质量为m，离地面
的高度为h，不考虑地球自转的影响，则有mg＝G，得g＝，当把物体从地面移向高空中时，g减小，物体的质量m不变，则物体的重力G
重
＝mg也减小．故B正确；设地
球自转的角速度为ω，在赤道上，物体随地球自转需要向心力，则有mg
赤
＋mω2R＝G.而在
两极，物体不需要向心力，则有mg
极＝G，可见，赤道物体的重力mg
赤
比两极的重力mg
极
小．故C错误；在地球上赤道和两极，物体所受重力的方向与所受万有引力的方向是相同的．故D错误
3．(多选)宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上，用R表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的重力加速度，F N表示人对台秤的压力，下列说法中正确的是()
A．g′＝0
B．g′＝g0
C．F N＝0
D．F N＝m g0
【答案】BC
【解析】由关系式mg＝，得＝，故A错误，B正确；由于飞船中的人处于完全失重状态，人受到的万有引力全部用来提供其做圆周运动所需的向心力，所以对台秤没有压力，C 正确，D错误
4．(多选)有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v贴近行星表面匀速飞行，测出飞船运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得()
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法求出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
【答案】AB
【解析】由T＝可得R＝，A正确；由＝m可得M＝，C错误；由M＝πR3ρ得ρ＝，B正确；由＝mg得g＝，D错误.
5．2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础．已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G，则() A．航天器的轨道半径为
B．航天器的环绕周期为
C．月球的质量为
D．月球的密度为
【答案】BC
【解析】根据几何关系得r＝，故A错误；经过时间t，航天器与月球的中心连线扫过角度为
θ则＝，得T＝.故B正确；由万有引力充当向心力而做圆周运动，所以G＝m r，所以M＝＝＝.故C正确；人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，月球的半径等于r，则月球的体积V＝πr3＝π()3.月球的密度ρ＝＝＝.故D错误
6．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km，运行速度分别为v1和v2，那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)()
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由G ＝m ，得v＝，则＝＝＝，故选项C正确．
7．(多选)假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则()
A．根据公式v＝ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式F＝m，可知卫星所需的向心力将减少到原来的
C．根据公式F＝G，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D．根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
【答案】CD
【解析】从v＝看出，离地球越远的卫星速度越小，当半径加倍时，地球对卫星的万有引力变为原来的，即地球提供的向心力减小到原来的，速度变为原来的倍
8.若已知月球质量为m月，半径为R，引力常量为G，如果在月球上()
A．以初速度v0竖直上抛一个物体，则物体上升的最大高度为
B．以初速度v0竖直上抛一个物体，则物体落回到抛出点所用时间为
C．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，则最大运行速度为
D．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，则最小周期为2π
【答案】A
【解析】月球表面的重力加速度为g＝，以初速度v0竖直上抛一个物体，则物体上升的最大高度为h＝＝，选项A正确；以初速度v0竖直上抛一个物体，则物体落回到抛出点所用时间为t＝＝，选项B错误；发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，则最大运行速度满足＝m，解得：v＝，选项C错误；最小周期满足＝m R，解得T ＝2π，选项D错误；故选A
9.“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动.用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，则下面说法正确的是()
A．T1>T2>T3
B．T1<T2<T3
C．a1>a2>a3
D．a1<a2<a3
【答案】A
【解析】卫星沿椭圆轨道运动时，周期的平方与半长轴的立方成正比，故T1>T2>T3，A项正确，B项错误；不管沿哪一轨道运动到P点，卫星所受月球的引力都相等，由牛顿第二定律得a1＝a2＝a3，故C、D项均错误.
10.013年5月2日凌晨0时06分，我国“中星11号”通信卫星发射成功．“中星11号”是一颗地球同步卫星，它主要用于为亚太地区等区域用户提供商业通信服务．图为发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是()
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的速度小于它在轨道3上经过P点时的速度
【答案】D
【解析】同步卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G＝m，v＝，因为r1＜r3，所以v1＞v3，由ω＝得ω1＞ω3在Q点，卫星沿着圆轨道1运行与沿着椭圆轨道2运行时所受的万有引力相等，在圆轨道1上引力刚好等于向心力，即F＝.而在椭圆轨道2上卫星做离心运动，说明引力不足以提供卫星以v2速率做匀速圆周运动时所需的向心力，即F＜，所
以v2＞v1.卫星在椭圆轨道2上运行到远地点P时，根据机械能守恒可知此时的速率v2′＜v2，在P点卫星沿椭圆轨道2运行与沿着圆轨道3运行时所受的地球引力也相等，但是卫星在椭圆轨道2上做近心运动，说明F′＞m，卫星在圆轨道3上运行时引力刚好等于向心力，即F′＝m，所以v2′＜v3.由以上可知，速率从大到小排列为v2＞v1＞v3＞v2′
11.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则()
A．它们的角速度大小之比为2∶3
B．它们的线速度大小之比为3∶2
C．它们的质量之比为3∶2
D．它们的周期之比为2∶3
【答案】B
【解析】双星的角速度和周期都相同，故A、D均错；
由＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，
解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C错误．
由v＝ωr知，v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，B正确．
二、非选择题
12.由于银河系外某双黑洞系统的合并，北京时间2016年2月11日，美国国家科学基金会(NS
F)宣布人类首次直接探测到了引力波，印证了爱因斯坦的预言.其实中国重大引力波探测工程“天琴计划”也已经于2015年7月份正式启动，“天琴计划”的其中一个阶段就是需要发射三颗地球高轨卫星进行引力波探测，假设我国发射的其中一颗高轨卫星以速度v沿圆形轨道环绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，地球半径为R，引力常量为G，根据以上所给条件，试求：
(1)地球的质量M.
(2)地球的平均密度.(球体体积V＝πR3)
【答案】
(1)(2)
【解析】(1)地球卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得G＝m(R＋h)，v＝. 解得M＝
(2)ρ＝，地球体积V＝，解得ρ＝.
13．“嫦娥三号卫星”简称“嫦娥三号”，专家称“三号星”，是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的第三颗人造绕月探月卫星．若“三号星”在离月球表面距离为h的圆形轨道绕月球飞行，周期为T1.若已知地球中心和月球中心距离为地球半径R的n倍，月球半径r，月球公转周期T2，引力常量G.求：
(1)月球的质量；
(2)地球受月球的吸引力．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设“嫦娥三号”的质量为m，其绕月球做圆周运动的向心力由月球对它的吸引力提供G＝m·()2·(r＋h)，得M月＝.
(2)由题意知，地球中心到月球中心距离为nR.
2·nR.由牛顿第三定律，地月球做圆周运动的向心力等于地球对月球的吸引力，即F＝M
月
2·nR＝.
球受月球的吸引力F′＝F＝M
月·
14．如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)
【答案】(1)2π(2)1.012
【解析】(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有F＝G①
由匀速圆周运动的规律得F＝m r②
F＝M R③
由题意得L＝R＋r④
联立①②③④式得T＝2π.
(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由(1)中得出T1＝2π⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G＝m′L′⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得T2＝2π⑧
由⑥⑧式得()2＝1＋
代入题给数据得≈1.012
15．由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
(1)A星体所受合力大小F A；
(2)B星体所受合力大小F B；
(3)C星体的轨道半径R C；
(4)三星体做圆周运动的周期T.
【答案】(1)2(2)(3)a(4)π
【解析】(1)由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：
F BA＝F CA＝＝，
方向如图，则合力的大小为F A＝2F BA·cos 30°＝2.
(2)同上，B星受到的引力分别为：F AB＝，F CB＝＝，方向如图；
沿x方向：F Bx＝F AB·cos 60°＋F CB＝2
沿y方向：F By＝F AB·sin 60°＝
可得F B＝＝.
(3)通过对于B的受力分析可知，由于F AB＝，F CB＝＝，合力的方向经过BC
的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处．所以R C＝R B＝
＝a.
(4)由题可知C的受力大小与B的受力大小相同，对C星，F C＝F B＝＝m()2R C，整理得T＝π
16．据报道，人们最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍。

已知一个在地球表面质量为50 kg的人在这个行星表面的重量约为800 N，地球表面处的重力加速度为10 m/s2。

求：
(1)该行星的半径与地球的半径之比；
(2)若在该行星上距行星表面2 m高处，以10 m/s的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力)，则小球的水平射程是多大。

【答案】(1)2∶1(2)5 m
【解析】(1)在该行星表面处，有
G行＝mg行，
可得g
＝16 m/s2。

行
在忽略自转的情况下，物体所受的万有引力等于物体所受的重力，得
＝mg，
有R2＝，
故＝＝4，
所以＝2∶1。

(2)由平抛运动的规律，有
h＝g行t2，
s＝vt，
故s＝v，
代入数据解得s＝5 m
17.如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的密度；
(3)该星球的第一宇宙速度v；
(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T
【答案】(1)g＝(2)(3)(4)2π
【解析】(1)设该星球表面的重力加速度为g，根据平抛运动规律：
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
平抛位移与水平方向的夹角的正切值tanα＝
由以上三式得g＝
(2)在星球表面有：＝mg，
所以M＝，V＝πR3，
该星球的密度：ρ＝＝.
(3)由＝m，
可得v＝.
(4)绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，T＝，
T＝2πR＝2π
18.一物体在距某一行星表面某一高度处由静止开始做自由落体运动，依次通过A、B、C三点，已知AB段与BC段的距离均为0.06 m，通过AB段与BC段的时间分别为0.2 s与0.1 s．求：
(1)该星球表面重力加速度值；
(2)若该星球的半径为180 km，则环绕该行星的卫星做圆周运动的最小周期为多少
【答案】(1)2 m/s2(2)600πs
【解析】(1)设通过A点的速度为v0，行星表面的重力加速度为g，环绕该行星的卫星做圆周运动的最小周期为T，行星质量为M，卫星质量为m，行星的半径为R，由公式x＝v0t＋at2得对AB段有0.06＝0.2v0＋g×(0.2)2①
对AC段有0.12＝0.3v0＋g×(0.3)2②
由①②得g＝2 m/s2
(2)近地卫星最快，周期最小，有＝m R③
在行星表面有＝mg④
由③④得T＝2π＝600πs。