高三数学一轮复习课件之2.12导数与函数的极值、最值课件

►考法 1 根据导函数图象判断函数的极值 【例 1】 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y ＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
第2章 函数、导数及其应用
第十二节 导数与函数的极值、最值
2
[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三 次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三 次)．
01 课前知识全通关
栏 目
02 课堂题型全突破
18
D [由题图可知，当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1 时，f′(x) ＜0；当 1＜x＜2 时，f′(x)＜0；当 x＞2 时，f′(x)＞0.由此可以得到 函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．]
19
►考法 2 根据函数的解析式求极值 【例 2】 已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)当 a＝12时，求 f(x)的极值； (2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数．
()
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小
值．
()
(4)x＝0 是函数 f(x)＝x3 的极值点．
()
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
10
2．(教材改编)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极小值点的 个数为( )
答案
8
[常用结论] 对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有极值的必 要不充分条件．
[基础自测]
9
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大．
()
(2) 对 可 导 函 数 f(x) ， f′(x0) ＝ 0 是 x0 为 极 值 点 的 充 要 条 件．
26
[规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程
27
设函数 f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)． (1)当 a＝1，且函数图象过点(0,1)时，求 f(x)的极小值． (2)若 f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求 a 的取值范围．
28
[解] f′(x)＝3ax2－4x＋1. (1)函数图象过点(0,1)时，有 f(0)＝c＝1. 当 a＝1 时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令 f′(x)＞0，解得 x＜13或 x＞ 1；令 f′(x)＜0，解得13＜x＜1. 所以函数 f(x)在－∞，13和(1，＋∞)上单调递增； 在 13，1上单调递减，极小值是 f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
39
所以 f(x)min＝f(e)＝1－e e＋kln e＝1e＋k－1， f(x)max＝f 1e＝e－k－1. 综上，k＜1e时，f(x)min＝1e＋k－1， f(x)max＝e－k－1.
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函数极值与最值的综合问题 【例 5】 已知函数 f(x)＝ax2＋ebxx＋c(a＞0)的导函数 y＝f′(x) 的两个零点为－3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为－e3，求 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
13
D [函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x－x22＝x－x2 2， 令 f′(x)＝0 得 x＝2， 又 0＜x＜2 时，f′(x)＜0， x＞2 时，f′(x)＞0. 因此 x＝2 为 f(x)的极小值点，故选 D.]
14
4．已知 a 为函数 f(x)＝x3－12x 的极小值点，则 a＝( )
A．(－∞，－2 2]
B．(－∞，－2 2)
C．(－∞，－3]
D．(－∞，－3)
(2)若函数 f(x)＝x(x－a)2 在 x＝2 处取得极小值，则 a＝________.
24
(1)C (2)2 [(1)f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝[x2＋(a＋2)x ＋a＋3]ex.
令 g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3，
答案
6
(2)函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点 的函数值都___大__，f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附近的左侧_f′_(_x)_＞__0___， 右侧_f′_(x_)_＜__0__，则点 b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
解析答案
15
5．函数 y＝2x3－2x2 在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 [y′＝6x2－4x，令 y′＝0， 得 x＝0 或 x＝23. ∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f23＝－287， f(2)＝8，∴最大值为 8.]
解析答案
16
课堂 题型全突破
17
利用导数解决函数的极值问题
29
(2)若 f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则 f(x)在(－∞，＋∞)上是 单调函数，即 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立．
①当 a＝0 时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件； ②当 a≠0 时，f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立的充要条件是 Δ＝(－ 4)2－4×3a×1≤0，即 16－12a≤0，解得 a≥43. 综上，a 的取值范围为43，＋∞.
A．1
B．2
C．3
D．4
11
A [导函数 f′(x)的图象与 x 轴的交点中，左侧图象在 x 轴下方， 右侧图象在 x 轴上方的只有一个，所以 f(x)在区间(a，b)内有一个极 小值点．]
12
3．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
A．－4
B．－2
C．4
D．2
D [由题意得 f′(x)＝3x2－12，令 f′(x)＝0 得 x＝±2，∴当 x< －2 或 x>2 时，f′(x)>0；当－2<x<2 时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞， －2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．
∴f(x)在 x＝2 处取得极小值， ∴a＝2.]
41
35
已知函数 f(x)＝1－x x＋kln x，k＜1e，求函数 f(x)在1e，e 上的最大值和最小值．
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[解] 因为 f(x)＝1－x x＋kln x， 所以 f′(x)＝－x－x21－x＋kx＝kxx－2 1. (1)若 k＝0，则 f′(x)＝－x12在1e，e上恒有 f′(x)＜0，所以 f(x) 在1e，e上单调递减． 所以 f(x)min＝f(e)＝1－e e，f(x)max＝f1e＝e－1.
导 03 真题自主验效果 航
04 课后限时集训
4
课前 知识全 通 关
5
1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点 若函数 f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点 的函数值_都__小__，f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧_f′_(x_)_＜__0__，右 侧_f′_(x_)_＞__0__，则点 a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
30
利用导数求函数的最值
【例 4】 (2019·郑州模拟)已知函数 f(x)＝(x－k)ex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值．
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[解] (1)由 f(x)＝(x－k)ex，得 f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令 f′(x)＝0，得源自文库x＝k－1.
f(x)与 f′(x)的变化情况如下：
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(2)若 k≠0，f′(x)＝kxx－2 1＝kxx－2 1k. ①若 k＜0，则在1e，e上恒有kxx－2 1k＜0， 所以 f(x)在1e，e上单调递减， 所以 f(x)min＝f(e)＝1－e e＋kln e＝1e＋k－1， f(x)max＝f1e＝e－k－1.
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②若 k＞0，由 k＜1e， 得1k＞e，则 x－1k＜0， 所以kxx－2 1k＜0， 所以 f(x)在1e，e上单调递减．
20
[解] (1)当 a＝12时，f(x)＝ln x－12x，函数的定义域为(0，＋∞)
且 f′(x)＝1x－12＝2－ 2xx，令 f′(x)＝0，得 x＝2，
于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
x (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0
－
f(x) ↗ ln 2－1 ↘
33
综上可知，当 k≤1 时，f(x)min＝－k； 当 1＜k＜2 时，f(x)min＝－ek－1； 当 k≥2 时，f(x)min＝(1－k)e.
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[规律方法] 求函数 fx在[a，b]上的最大值、最小值的步骤： 1求函数在a，b内的极值； 2求函数在区间端点的函数值 fa，fb； 3将函数 fx的极值与 fa，fb比较，其中最大的为最大值，最 小的为最小值.
故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．
21
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－xax(x＞ 0)，
当 a≤0 时，f′(x)＞0 在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当 a＞0 时，当 x∈0，1a时，f′(x)＞0，
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k
－1，＋∞)．
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(2)当 k－1≤0，即 k≤1 时，函数 f(x)在[0,1]上单调递增， 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)＝－k， 当 0＜k－1＜1，即 1＜k＜2 时， 由(1)知 f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增， 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k－1)＝－ek－1. 当 k－1≥1，即 k≥2 时，函数 f(x)在[0,1]上单调递减， 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)＝(1－k)e.
答案
7
2．函数的最值与导数的关系 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条_连__续__不__断__的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的__极__值___； ②将函数 y＝f(x)的各极值与_端__点__处__的__函__数__值___f(_a_)，__f_(_b_)_比较， 其中_最__大__的一个是最大值，_最__小___的一个是最小值．
由题意知－a＋2 2＞0， 或－a＋2 2≤0，
g0≤0
g0＜0，
即－a＋2 2＞0， 或－a＋2 2≤0， 解得 a≤－3，故选 C.
a＋3≤0
a＋3＜0，
25
(2)f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x， ∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2. 由 f′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得 a＝2 或 a＝6. 当 a＝2 时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，函数在 x＝2 处 取得极小值，符合题意；当 a＝6 时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x －6)，函数在 x＝2 处取得极大值，不符合题意，∴a＝2.]
22
当 x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0， 故函数在 x＝1a处有极大值． 综上所述，当 a≤0 时，函数在定义域上无极值点， 当 a＞0 时，函数有一个极大值点．
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►考法 3 已知函数的极值求参数
【例 3】 (1)(2019·成都模拟)若函数 f(x)＝(x2＋ax＋3)ex 在(0，
＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数 a 的取值范围是( )