勒让德方程的级数解(1)

勒让德方程的级数解教学设计

教学目标

1、 掌握常点邻域上的级数解法； （重点）

2、 知道勒让德方程的解可表示成一个奇次幂级数和偶次幂级数的线性组合；

3、知道勒让德方程的级数解的收敛半径。

学情分析

1）学生已掌握解析函数的性质和幂级数的收敛性问题；

2）学生已知道在球坐标和柱坐标下通过分离变量法可得到l 阶勒让德方程。

教学重点

常点邻域上的级数解法

教学难点

常点邻域上的级数解法

教学方法

讲授法

教 学 过 程

（一） 新课引入

1） 方程的常点和奇点

若方程 的系数 在某点Z 0 解析，则该点称为方程的常点，若该点是 的奇点，则该点称为

方程的奇点。

2） 常点邻域上的级数解

若方程的系数 为点Z 0的邻域 中 的

解析函数，则方程在这个圆中存在唯一的解析解，常点邻域内将此唯一的解析解展开为泰勒级数

该级数的系数是待定的。

确定系数的方法：将级数解代入方程，合并同幂项，然后令合并后的各系数分别为零，得到系数间的递推关系，最后用已给的初值确定各系数，最后得到确定的级数解。 22()()0d w dw p z q z w dz dz

++=(),()p z q z ()()p z q z 或()()p z q z 或0||z z R -<00

()()k

k k w z a z z ∞==-∑

（二） 进行新课

(1) 勒让德方程的级数解

勒让德方程

或 其中：

在 x0 =0的邻域内解析, 可以用级数求解

令 代入方程（1）有 合并同幂系数，令合并后的各系数为0得一系列的方程

得到系数的递推关系：

由递推公式可见，解的泰勒级数展开式的系数可以用a0，a1表示，即有

222(1)2(1)0d y dy x x l l y dx dx --++=22222(1)011d y x dy l l y dx x dx x +-+=--22()1x p x x =--2(1)()1l l q x x +=-0()k k k y x a x ∞==∑22

1210(1)(1)2(1)0k k k k k k k k k x k k a x x ka x l l a x ∞∞∞

--===---++=∑∑∑22210(1)(1)2(1)0k k k k k k k k k k k k k k a x k k a x ka x l l a x ∞∞∞∞-====----++=∑∑∑∑

020123122423253222:21(1)0:32(2)0

:43(6)0:54(12)0:(2)(1)()0k k k x a l l a x a l l a x a l l a x a l l a x k k a l l k k a +⨯++=⨯++-=⨯++-=⨯++-=++++--=22(1)()(1)(2)(1)(2)(1)k k k k k l l k l k l a a a k k k k ++-+-++==++++0011()()()y x a y x a y x =+2402()(1)(2)()(1)(3)()12!4!

(22)(24)()(1)(2)!

k l l l l l l y x x x k l k l l l x k -+--++=+++-----+++

讨论：1）级数y0(x)和y1(x)的收敛半径。把幂级数的收敛半径的公式运

用于y0(x)和y1(x)，这里就是 ，利用递推关系：

得到

这样：级数解y0(x)和y1(x)收敛于

y0(x)仅含x 的偶次幂，为偶函数。y1(x) 仅含x 的奇次幂，为奇函数。

小结：

借助于解析函数的理论，我们讨论了勒让德方程在常点x0=0的邻域上的级数解法，其解可表示成一个奇次幂级数和偶次幂级数的线性组合，以及讨论级数收敛性问题。我们看到级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。

接下来我们将讨论：a)级数在x=±1,是否收敛；b) 退化为多项式的可能性；c) 勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题。本征值就是l(l+1)，本证函数就是勒让德多项式

作业

P194T1、3

教学反思

35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)()3!5!(21)(23)(1)(2)(4)(2)(21)!k l l l l l l y x x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=++-----++++++2

R lim k k k a a →∞+=22(1)()(1)(2)(1)(2)(1)k k k k k l l k l k l a a a k k k k ++-+-++==++++21(1)(1)(2)(1)R lim lim 11()(1)(1)(1)k k k k k k l l k l k l k k

→∞→∞++++===+-++-+1,1

x x <>而发散与