正弦交流电的表示法

图示电路
i2 = 6sin( t－300 )A 试用相量法求电流 i 。
I1m
8
.
▲ 相量图法 解： . . . ，
i = i1+ i2
Im = I1m + I2m
O
1 2
6

Im
.
Im √ = 82 + 62 = 10 A 300 = arc tan 8 6
I2m
.
i = 10sin( t + 230 ) A
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第 2章 例2.2-2
i1 = 2 2 sin t A， i2 = 2sin(t 45) A，
i3=3 2 cos(ωt+180o)A 表示成相量形式，并求和i 画出相量图。 解： 各电流相量形式为 = 20A I 1
= 2 45 A I 2
i3 = 3 2 cos(t + 180) = 3 2 sin( t 90) A
t
三角函数式
u = U m sin ( t + )
相量图
反映正弦 量的全貌 包括三个 要素。
I
.
相量表 示法
U
.
反映正弦 量两个要 素。 下页
相量式
= U e j U U
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第 2章
相量表示法的几点说明
只有正弦量才能用相量表示，非正弦量 不能用相量表示；
正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示 正弦量的复数，两者不能划等号！
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=
230
第 2章
2.2.2 相量表示法---复数式
+j +j
b
o
r

A
a
+1
o

Um
. U
+1
复 习 :
A= A= A= A=
r = a2+b2 a +jb 代数式 =arctan b a r(cos +jsin) 三角函数式 j re 指数式 r 极坐标式
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等于正弦量的有效值，辐角等于正弦量的初相位 称该复数为正弦量 u的相量式。仅用两个要素表
e
j t
---旋转因子。
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示一个正弦量
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第 2章
u =Um sin ( t + ) i = Im sin ( t + )
i1 = 8 sin ( t + 60 )
.
U = U e j = U
大小不变，相位 · α 角超前I 角 +j
. I1
I e = I e e = I e
j j

j
j( + )


. I
可见，当一个相量乘上 后， 即逆时针方向旋转 α角 。就是相 量
e
j
+1
. 比相量 I1
. 超前 α I 角。
逆时针转 了α 角
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第 2章
结论：任意一个正弦量的 相量乘以+j后，即在原相 量的基础上逆时针旋转90 ；乘以-j则顺时针旋转90 ，故称j为旋转因子。
U u =U u = u + u U = U1 + U 2 u = U 1 + U 2 u



1
2
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第 2章
只有在各个正弦量均为同一频率时， 各正弦量变换成相量进行运算才有意 义； 简单正弦电流电路的计算 ,常采用相 量图法；复杂正弦电流电路的计算多 采用复数式，同时配合相量图作定性 分析。
第 2章
如何用复数式表示正弦量
设一复数为
U me
j( t + )
由欧拉公式 令
= t +
j( t + )
e
j
= cos + jsin
，则
U me
u =Um sin ( t + )
= U m cos(t + ) + jU m sin( t + )
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当 = 90 时
. I1
+j

I
.
+1
. I2

I e
e .
j90
= cos(90 ) + jsin(90 ) = j . . . j( 90) j90
= jI = I 1
,
I e
= jI = I 2
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.
.
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第 2章
正弦量的几种表示法
Im
波形图

T
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第 2章
+j ω
ω
u
O
Um
t
O
+1

把这种仅反映正弦量大小和初相位的有向线 . . 段称为相量，其图形为相量图，符号 Um 、Im ， 在实际应用中，正弦量的大小一般采用有效值 . . 表示，其表示符号为 U 、I 。
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第 2章 i1
i i2
[例 ]
已知：i1 = 8sin( t + 600 )A

Um
A

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第 2章
正弦量的瞬时值
+j ω
ω
旋转向量在纵轴 上的投影高度。
u = U m sin ( t + )
+1
O
Um
O
Um

t
对于每一个正弦量都可以找到与其对应的 t=0：Uyo=Umsin 旋转向量。 t=t 因此对正弦量的分析 ,可以用与之对应的旋 1：Uy1=Umsin（t1+） 转向量进行。
I = I e =I
Im = Im e
j

.
j
.
j
j60
Im = I2章 i1
i i2
▲
复 数 运 算 法
I m = I 1m +
.
.
0 0 = 8 60 + 6 30 I2m
.

图示电路 已知：i1 = 8sin( t + 60 )A i2 = 6sin( t－30 )A 试用相量法求电流 i 。
[例 ]
8(cos 60 60 ) + + j sin 6(cos 30 30 ) = – j sin

= (4 +3 √3 )
+
j (4√3
–3 )
= 10e
A
j23
i = 10 sin ( t + 23 )
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第 2章
▲
复数j的几何意义 . . j . j 设 I = I e ， I1 = I e
第 2章
正弦交流电的表示法
三角函数表示法 波形图表示法 旋转矢量表示法 相量表示法
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第 2章
2.2.1 旋转矢量法
u =Um sin ( t + )
y
x 表示方法： o 在直角坐标系中取有向线段OA 有向线段OA的长度等于正弦量的幅值 为什么能表 有向线段与水平方向的夹角等于正弦 示正弦量? 量的初相角 以正弦量的 角速度逆时针方向旋转
= 3 90 A I 3
=I +I +I = 20 + 2 45 + 3 90 I 1 2 3
= 2 +1
j1 j3 = 3 j 4 = 5 53.1 A
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第 2章
U me
j( t + )
= U m cos(t + ) + jU m sin( t + )
u = U m sin( t + ) = Im[U me j( t + )] = Im[ 2U e j e j t ] = Im[ 2 U e j t ]
上式中Im符号表示取复数的虚部。 式中 U = U e j = U 是一个复数，它的模