2016考研数学复习之幂级数

2016考研数学复习之幂级数

来源：文都教育

级数部分在考研数学当中应用比较广的是第二部分-幂级数。幂级数和前面讲过的泰勒公式一样，看似复杂，其实就是很简单的运算问题。根据以往考研真题来看，每年几乎都会出关于幂级数的题目，所以这一部分在本章中是重点。下面，文都数学老师将幂级数这一部分的知识点总结如下。

幂级数 1．概念和性质

定义1：形如

()

n

n

n a x x ∞

=-∑的函数项级数，称为0x x -的幂级数，其中n a 为常数．当

00x =时，00

()n

n n n n n a x x a x ∞∞

==-=∑∑，称为x 的幂级数．

定义2：设任意幂级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑在(,)a b 内收敛，在(,)a b 外发散（,x a x b ==发

散与否不考虑），则称2

b a

R -=

为其收敛半径．有三种类型：（1）0R =时，收敛域仅为一点；（2）R =+∞时，收敛域为(,)-∞+∞；（3）R =某一定常数时，收敛域为一有限区间．

（四则运算性质）设幂级数1

()n

n n f x a x

∞

==

∑和1

()n

n n g x b x

∞

==

∑，收敛半径分别为12,R R ，

12min{,}R R R =，则(,)x R R ∀∈-有：

（1）

1

1

1

()()()n

n

n n

n

n

n n n n a x b x a

b x f x g x ∞

∞

∞

===±=±=±∑∑∑，且在(,)R R -内绝对收敛；

（2）01101

1

(

)()()()()n n

n n

n

n n n n n n a x b x

a b a b a b x f x g x ∞∞

∞

-====++

+=∑∑∑；

（3）设00b ≠，则在0x =的足够小的领域内

010101()()n n n n n n a a x a x f x c c x c x g x b b x b x ++

++=

=++

++

++

++

，利用多项式除法得系数．

2．收敛半径和收敛域

设有幂级数

n

n n a x ∞

=∑，

1

lim |

|n n n

a a ρ+→∞

=或

n ρ=，则

0,1,0,0

R A ρρρρ=+∞⎧⎪

==<<+∞⎨⎪

+∞=⎩．

收敛域的求法：（1）先求收敛半径R ，确定收敛区间为(,)R R -；（2）代入x R =±，

验证

,()

n n

n

n

n n a R a R ∞∞

==-∑∑的收敛性．

注：幂级数隔项时，需将通项看做一个整体，利用正项级数的比值判别法或根值判别法求收敛域，例如幂级数

20

n

n n a x

∞

=∑和

21

n n n a x

∞

+=∑．

3．函数的幂级数展开

泰勒级数：设()f x 在0x x =的某一领域内具有任意阶导数，级数

()()00000000

()

()()()'()()+()!

!

n n n n n f x f x x x f x f x x x x x n n ∞

=-=+-+-+

∑

称为

()f x 在0x x =的泰勒级数．当00x =时，级数()0

(0)!

n n

n f x n ∞

=∑

为麦克劳林级数． 定理：设()f x 在0x x =的某一领域内具有任意阶导数，则泰勒级数

()000

()

()!

n n n f x x x n ∞

=-∑

收敛于()f x 的充要条件是lim ()0n n R x →∞=，其中

(1)1000[()]

()()(1)!

n n n f x x x R x x x n θ+++-=-+，其中01θ<<．

常用函数的展开式：

（1）

20

1

11n

n n x x x x x ∞

==+++++

=-∑，11x -<<．

（2）

20

1

1(1)(1)1n n

n n n x x x x x ∞

==-+++-+

=--∑，11x -<<．

（3）2

012!

!!

n n

x

n x x x e x n n ∞

==+++++=∑，x -∞<<+∞． （4）3

21

21

sin (1)(1)3!(21)!

(21)!n n n n

n x x x x x n n ++∞

==-++-+

=-++∑，x -∞<<+∞．

（5）2

220

cos 1(1)(1)2!

(2)!

(2)!n

n

n n

n x x x x n n ∞

==-++-+

=-∑，x -∞<<+∞．

（6）23

1

1

1

ln(1)(1)

(1)

23

n

n

n n n x x x x x x n

n

∞

--=+=-

+++-+=-∑，11x -<≤． （7）2

(1)(1)

(1)(1)12!

!

a

n

a a a a a n x ax x x n ---++=++

++

+

，11x -<<，

注：端点1,1x x =-=是否收敛随a 而定，但该式在(1,1)-内总有意义． 4．和函数

设幂级数

n

n n a x

∞

=∑的收敛半径为R ，则在(,)R R -内有：

（1）

n

n n a x

∞

=∑的和函数()f x 是连续的；

（2）

n

n n a x

∞

=∑可逐项求导，且

10

1

'()()'()',(,)n

n

n n n n n n n f x a x a x na x x R R ∞∞∞

-======∈-∑∑∑；

（3）

n

n n a x

∞

=∑可逐项积分，且