辽宁省高考数学试卷文科答案与解析

2009年辽宁省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2009•辽宁）已知集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N=（）A．{x|x＜﹣5或x＞﹣2} B．{x|﹣5＜x＜5} C．{x|﹣2＜x＜5} D．{x|x＜﹣3或x＞5} 【考点】并集及其运算．
【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
【解答】解：在数轴上画出集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，
如图：
则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣2}．
故选A．
【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常考的题型．
2．（5分）（2009•辽宁）已知复数z=1﹣2i，那么=（）
A．B．C．D．
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】复数的分母实数化，然后化简即可．
【解答】解：=
故选D．
【点评】复数代数形式的运算，是基础题．
3．（5分）（2009•辽宁）已知{a n}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A．﹣2 B．﹣C．D．2
【考点】等差数列．
【专题】计算题；方程思想．
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得
，即，
解得d=﹣，
故选B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．
4．（5分）（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）
A．B． C．4 D．12
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．
【解答】解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=．
故选：B．
【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
5．（5分）（2009•辽宁）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60°纬线长和赤道长的比值为（）
A．0.8 B．0.75 C．0.5 D．0.25
【考点】球面距离及相关计算．
【专题】计算题．
【分析】先求北纬60°纬圆半径，求出纬线长，再求赤道长，即可．
【解答】解：设地球半径为R，则北纬60°纬线圆的半径为Rcos60°=R
而圆周长之比等于半径之比，故北纬60°纬线长和赤道长的比值为0.5．
故选C．
【点评】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．
6．（5分）（2009•辽宁）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（）
A．B．C．D．
【考点】对数的运算性质．
【分析】根据3＜2+log23＜4知，符合x＜4时的解析式，故f（2+log23）=f（3+log23），又有3+log23＞4知，符合x＞4的解析式，代入即得答案．
【解答】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）
且3+log23＞4
∴f（2+log23）=f（3+log23）
=
故选A．
【点评】本题主要考查已知分段函数的解析式求函数值的问题．
7．（5分）（2009•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）
A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2
【考点】圆的标准方程．
【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．
【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；
验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；
圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．
故选B．
【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．
8．（5分）（2009•辽宁）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）
A．﹣B．C．﹣D．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题．
【分析】利用sin2θ+cos2θ=1，令原式除以sin2θ+cos2θ，从而把原式转化成关于tanθ的式子，把tanθ=2代入即可．
【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ
=
=
==．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．
9．（5分）（2009•辽宁）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【专题】计算题．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．
【解答】解：已知如图所示：
长方形面积为2，
以O为圆心，1为半径作圆，
在矩形内部的部分（半圆）面积为
因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣
故选B．
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据
P=求解．
10．（5分）（2009•辽宁）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）
A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T
【考点】设计程序框图解决实际问题．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．
【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，
因此A＞0时应累加到月收入S，
故判断框内填：A＞0
又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，
但月支出用负数表示
因此月盈利V=S+T
故处理框中应填：V=S+T
故选A＞0，V=S+T
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
11．（5分）（2009•辽宁）下列4个命题
p2：∃x∈（0，1），㏒1/2x＞㏒1/3x
㏒1/2x
㏒1/3x
其中的真命题是（）
A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4
【考点】命题的真假判断与应用；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．【专题】压轴题．
【分析】本题的考查意图是指数函数和对数函数的单调性，但作为选择题来讲，此类题采用特殊值法更好．
【解答】解：取x=，则㏒1/2x=1，㏒1/3x=log32＜1，p2正确．
当x∈（0，）时，（）x＜1，而㏒1/3x＞1．p4正确
故选D．
【点评】特殊值法是解决选择题的常用解法之一，特点是快捷、实用，不易出错相当于实践验证．
12．（5分）（2009•辽宁）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）
A．（，） B．[，）C．（，）D．[，）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】分析法；函数的性质及应用．
【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y 轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可
【解答】解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）
∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）
又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加
得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．
故选A．
【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2009•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC．已知点A（﹣2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，﹣2）．
【考点】相等向量与相反向量．
【分析】由四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，和三个点的坐标，可以先设出点的坐标，根据两条对角线交于一点，用中点坐标公式得到结果．
【解答】解：设D（x，y），
∵AC与BD中点相同
∴﹣2+8=6+x，
∴x=0
又0+6=8+y，y=﹣2
∴D=（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标．
14．（5分）（2009•辽宁）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω=．
【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【专题】数形结合．
【分析】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果．
【解答】解：∵由图象可得最小正周期4（﹣）=
T=
∴ω==．
故答案为：．
【点评】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果．
15．（5分）（2009•辽宁）若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=3．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．
【解答】解：f′（x）==．
因为f（x）在1处取极值，
所以1是f′（x）=0的根，
将x=1代入得a=3．
故答案为3
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力．
16．（5分）（2009•辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．
【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，
体积等于×2×4×3=4
故答案为：4
【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2009•辽宁）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；
（2）求a1﹣a3=3，求S n．
【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由题意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，从而．（Ⅱ）由已知可得，故a1=4，从而
．
【解答】解：（Ⅰ）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）
由于a1≠0，故2q2+q=0
又q≠0，从而
（Ⅱ）由已知可得
故a1=4
从而
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
18．（12分）（2009•辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】计算题；应用题．
【分析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．
【解答】解：在△ACD中，∠DAC=30°，
∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，
所以CD=AC=0.1．
又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，
所以BD=BA、
在△ABC中，=，
sin215°=，可得sin15°=，
即AB==，
因此，BD=≈0.33km．
故B、D的距离约为0.33km．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．
19．（12分）（2009•辽宁）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N 分别为AB，DF的中点．
（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；
（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
【考点】直线与平面所成的角；反证法与放缩法．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）（解法一）由面面垂直的性质定理，取CD的中点G，连接MG，NG，再证出∠MNG是所求的角，在△MNG中求解；
（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的数量积求解；
（2）由题意假设共面，由AB∥CD推出AB∥平面DCEF，再推出AB∥EN，由得到EN∥EF，即推出矛盾，故假设不成立；
【解答】解：（1）解法一：
取CD的中点G，连接MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG=2，NG=．
∵平面ABCD⊥平面DCED，
∴MG⊥平面DCEF，
∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．
∵MN==，∴sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值
解法二：
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，
分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．
则M（1，0，2），N（0，1，0），可得=（﹣1，1，﹣2）．
又∵=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，
∴cos（，）=•
∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos•
（2）假设直线ME与BN共面，
则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知，两正方形不共面，∴AB⊄平面DCEF．
又∵AB∥CD，∴AB∥平面DCEF．
∵面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN．
又∵AB∥CD∥EF，
∴EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．
【点评】本题考查了线面角的求法，可有面面垂直的性质定理用两种方法来求解；还考查了用反证法证明，用了线线平行与线面平行的相互转化来推出矛盾，考查了推理论证能力和逻辑思维能力．
20．（12分）（2009•辽宁）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：
甲厂
分组[29.86，
29.90）[29.90，
29.94）
[29.94，
29.98）
[29.98，
30.02）
[30.02，
30.06）
[30.06，
30.10）
[30.10，
30.14）
频数12 63 86 182 92 61 4 乙厂
分组[29.86，
29.90）[29.90，
29.94）
[29.94，
29.98）
[29.98，
30.02）
[30.02，
30.06）
[30.06，
30.10）
[30.10，
30.14）
频数29 71 85 159 76 62 18
（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
（2）由于以上统计数据填下面2×2（3）列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
甲厂乙厂合计
优质品
非优质品
合计
附：．
【考点】独立性检验的应用．
【专题】应用题；图表型．
【分析】本题考查的知识点是独立性检验的应用，（1）要求两个分厂生产的零件的优质品率，我们可以根据已知中的表格中的数据，及规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品，我们及计算出两个分厂生产的零件的优质品率；（2）按照分层抽样中，样本中的比例与总体中的比例一致，易得表中各项数据的值，然后我们可以根据列联表中的数
据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数
表，比较即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）甲厂抽查的产品中有360件优质品，
从而甲厂生产的零件的优质品率估计为；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，
从而乙厂生产的零件的优质品率估计为
（Ⅱ）
甲厂乙厂合计
优质品360 320 680
非优质品140 180 320
合计500 500 1000
≈7.35＞6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”
【点评】独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，
再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．
21．（12分）（2009•辽宁）设f（x）=e x（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x 轴平行．
（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】压轴题．
【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值，然后当f'（x）＜0时可求函数的单调递减区间，当f'（x）＞0时可求函数的单调递增区间．
（2）先确定函数f（x）在[0，1]单调增，求出最大值和最小值，故根据任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1＜2，将cosθ、sinθ代入即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x（ax2+x+1+2ax+1）．
由条件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0⇒a=﹣1．
于是f'（x）=e x（﹣x2﹣x+2）=﹣e x（x+2）（x﹣1）．
故当x∈（﹣∞，﹣2）或（1，+∞）时，f'（x）＜0；
当x∈（﹣2，1）时，f'（x）＞0．
从而f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）单调减少，在（﹣2，1）单调增加．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]单调增加，
故f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，
最小值为f（0）=1．
从而对任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1＜2．
而当时，cosθ，sinθ∈[0，1]．
从而|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0
时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
22．（12分）（2009•辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得
，再点在椭圆上，结
合直线的位置关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，
可设椭圆方程为，
解得b2=3，（舍去）
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，
代入得
设E（x E，y E），F（x F，y F），
因为点在椭圆上，
所以由韦达定理得：，，
所以，．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以﹣K代K，可得，
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为．
【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。