2-4到达时间的条件分布

1
PN s
1, Nt Ns PNt 1
0
PN s
1 PNt PNt 1
Ns
0
s 1 es
s
0
et s
1!
0!
t 1 et
1!
s． t
4
这个定理说明，由于 Poisson 过程具有平
稳独立增量性，从而在已知时间间隔0, t
上有一事件发生的条件下，事件发生的时
间 X1 在 0, t上是“等可能性的”，即它的 条件分布是 0, t上的均匀分布．
则 0, t 到达车站的顾客等待时间总和
为
N t
St t Si ． i 1 24
因为
E
S
t
N
t
n
E
N t
t
Si
N
t
n
i1
E
n
t
Si
N
t
n
i1
nt
n
E Si
N t
n
，
i1
25
仍记 Yi ， 1 i n为 0, t上独立同分布的随机变量，则
E
n
Si
N t
n
E
ED t 1 et t
ED 1 et ． 33
关于到达时刻，有下面有用的定理．
定理 2.4.5 设 Nt， t 0是参数为 的
Poisson 过程，Sk ， k 1为其到达时刻，则对
任意的 0, 上的可积函数 f ，有
E
f
Sn
f
t dt
．
n1
0
34
证明：
由（2.2.1）式，当 t 0 时，
t h1 h2 hn
t n et
n!
n! tn
h1h2
hn
．
13
因此，
P ti Si ti hi ， 1 i n
h1h2 hn
Nt n
n! tn
．
所以，
g y1,
y2, ,
yn
n! tn
0 y1 y2 yn ．
0 其它
14
本定理说明，在 Nt n 的条件下，
S1, S2, , Sn 的 条 件分 布 函数与
5
自然，我们要问：⑴ 这个性质是否可以推
广到 Nt n ，（ n 1）的情形？⑵ 这个性
质是否是 Poisson 过程特有的？换句话说： 本定理的逆命题是否成立？为回答⑴，先讨 论顺序统计量的性质．
6
设 Y1, Y2, , Yn 是独立同分布，非负的随机
变量，密度函数为 f y，记
Y1 Y2 Yn 为相应的顺序统计量，
s x X1 X2
X2 ，
利用全概率公式，得
s
PX1 s, X1 s x X1 X2 1 Fs x udFu，
0
sx
PX1 s x X1 X2 1 Fs x udFu，
0
18
由（2.4.3）式得
x
s
1 Fs x udFu 1 Fs x udFu
i1
i1
E n eYi
i1
t
n
e x
dx
0
t
n et 1 ，
t
31
所以有
E t Nt n ED et n et 1 t ED n 1 et ， t
因此有
E t Nt ED Nt 1 et ， t 32
因此由重期望公式，得
Et EEt Nt
ED ENt 1 et t
ti hi ti1 ， 1 i n，
12
则有
P ti Si ti hi ， 1 i n Nt n
PN ti
hi
N ti 1，
1 i
n； N t j1
PNt n
N t j
hj 0，
1
j
n
h1 eh1
h2 eh2
h e e hn n
n
PN t
n
t ENt
2
t t t2 ．
2
2
28
例 2 设一系统在 0, t内承受的冲击数Nt， t 0是参数
为 的 Poisson 流，第 i 次受冲击的损失为 Di ．设Di ， i 1独 立同分布，而且与 Nt， t 0独立，且损失随时间按负指数 衰减，即 t 0 时损失为 D ，在 t 时刻时损失为 Det ，t 0 ．设
i1 , i2 , , in
8
等式右端各事件互不相容，得
lim P y1 Y1 y1 h,
h0
y2 Y2 y2 h, , hn
yn Yn yn h
lim
P n!
y1
Yi1
y1 h,
y2 Yi2 y2 h, ,
yn Yin yn h ．
h0
hn
由此可知顺序统计量 Y1, Y2, , Yn 的联合概率密度为
损失是可加的，那么在 t 时刻的损失之和为
N t
t Die tSi ， i 1
其中 Si 为第 i 次冲击到达的时刻．试求 E t．
29
解：
先求条件期望
E t N t n E Nt DietSi N t n
i1
E n DietSi N t n
i1
n
20
定理 2.4.4 设Nt， t 0为一计数过程，X n ， n 1为相
继事件发生的时间间隔，独立同分布且 Fx PXn x，如果
EX n ， F0 0 ，而且对任意的 n 1， 0 s t ，有
PSn
s
N
t
n
s t
n
，
0
t
，
则 Nt， t 0为一 Poisson 过程．
Sn t ： N t n，
Sn t Nt n．
由此可得
PSn
t
PNt
n
jn
t j
j!
et
，
35
因此 Sn 的概率密度函数为
fSn
t
d dt
jn
t j
j!
et
jn
t j1 j 1!
et
t j
j!
et
t n1 n 1!
et
I t 0
．
36
先设 f 非负，由上式得
0
0
Hale Waihona Puke Baidusx
1 Fs x udFu，
0
所以，
s
xs
1 Fs x udFu 1 Fs x udFu．
0
x
19
化简上式，得 Fs Fx FsFx Fx s，所以 1 Fx s 1 Fs1 Fx．
令 Gx 1 Fx，则有 Gx s GsGx．
类似于定理 2.3.3 证明中的（2.3.4）式以后的证明部分， 即得结论．
PX1
s
N
t
1
s t
，
0
t
，
则 Nt， t 0为一 Poisson 过程．
16
证明：
由题意有
PX1
s
N s
x
1
s
s
x
，
PX1
x
N s
x
1
s
x
x
，
所以
PX1
s
N
s
x
1
PX1
x
N
s
x
1
s
s
x
s
s
x
1．
（2.4.3）
17
P
X1
s
N s
x 1
PX1 s, PX1
X1 s x X1
7
容易看到，对任意的 0 y1 y2 yn ，取充分小的 h 0 ，使得
0 y1 y1 h y2 y2 h y3 yn1 h yn yn h ，
则有
P y1 Y1 y1 h, y2 Y2 y2 h, , yn Yn yn h
P y1 Yi1 y1 h, y2 Yi2 y2 h, , yn Yin yn h ．
n
E Di N t n E e tSi N t n
i 1
i 1
n
ED et E eSi N t n ． i 1 30
记 Y1, Y2, , Yn 为区间 0, t 上独立同均匀分布的随机变
量，则由定理 2.4.2，有
E n eSi N t n E n eYi
10
对问题⑴，有如下有用的定理：
定理 2.4.2 设 Nt， t 0为一 Poisson 过程，则在已给
Nt n 时事件相继发生的时间 S1, S2, , Sn 的条件概率密
度为
g y1,
y2, ,
yn
n! tn
0 y1 y2 yn ．
（2.4.2）
0 其它
11
对任意的 0 t0 t1 t2 tn tn1 t ，取 h0 hn1 0 ， 及充分小的 hi ，使得
方法．
若取
f s I0, t s ets ，
则
N t
t Die tSi ISi t Die tSi Di f Si ，
i 1
i 1
i 1
39
于是
E t EDi f Si ED E f Si
i 1
i 1
ED f sds
0
ED etsds
0
ED 1 et ． 40
n
Yi
i1
i1
（定理 2.4.2）
E n Yi i1
n
EYi i 1
n t
i1 2
nt ．
2
26
故
n
E i1
t
Si Nt
n
nt
nt 2
nt 2
，
27
所以，
E
S
t
P
N
t
n
E
S
t
N
t
n
n0
PN
t
n
E
N t
t
Si
N
t
n
n0
i1
n0
PN
t
n
nt 2
t 2
n0
E
f
Sn
0
f
t
t n1 n 1!
e
t
dt
，
E
n 1
f
Sn
0
f
t
n 1
t n1 n 1!
et
dt
0
f
t dt
．
37
对一般的 f ，将已证结果用于
f m a x f , 0 及 f m i n f , 0 ，即
可知（2.4.4）对 f f f 也成立．
38
下面利用定理 2.4.5 提供上面例 2 结果的另一种求解
证明从略．
21
注：利用以上结果，验证 Poisson 过程时
不需要知道参数 ．
22
例 1 设到达火车站的顾客流遵照参数为
的 Poisson 流Nt， t 0，火车于 t 时刻离
开车站，求在时间间隔 0, t内到达车站的顾
客等待时间总和的期望值．
23
解： 设第 i 个顾客到达火车站的时刻为 Si ，
2.4 到达时间的条件分布
1
本节讨论在给定 Nt n 的条件下，S1, S2, , Sn
的条件分布、有关性质及其应用．
2
定理 2.4.1 设Nt， t 0是一 Poisson 过程，
则对 0 s t ，有
P X1 s
Nt 1 s ． t
（2.4.1）
3
P X1 s
N
t
1
PX1 s, N t PNt 1
g y1,
y2, ,
n
yn
n!
i 1
f yi
0 y1 y2 yn
．
0
其它
9
如果 Yi ， 1 i n在区间 0, t上独立同均匀分布，则其
顺序统计量 Y1, Y2, , Yn 的联合概率密度函数为
g y1,
y2, ,
yn
n! tn
0 y1 y2 yn ．
0 其它
n 个在区间 0, t 上相互独立同均匀
分布的顺序统计量的分布函数相同．
15
对于问题⑵，即逆命题，有如下的定理．
定理 2.4.3 设Nt， t 0为一计数过程，X n 为第 n 个事件
与 第 n 1 个 事 件 的 时 间 间 隔 ， X n ， n 1 独 立 同 分 布 且
Fx PX n x，如果 F0 0 ，而且对任意的 0 s t ，有