第十二讲 图形计数
第十二讲图形计数
知识要点
1．长方形有n行m列，则共有（1＋2＋…＋m）×（1＋2＋…＋n）个长方形。
2．正方形有n行m列（n≥m），则共有m×n＋（m－1）×（n－1）＋ (1)
（n－m+1）个正方形。
典型例题
例1 图12-1中有多少个正方形？
图12-1
例2 图12-2中有多少个长方形？
图12-2
◆孩子的未来我们的一切◆
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆
例3 数一数图12-3有多少个三角形？
例4 如图12-4，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？
例4 图12-5中共有（ ）个正方形。
例5 有同样大小的立方体27个，把它们竖3个，横3个，高3个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（如图12-6）。如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话，最多可以穿透几个小立方体？
图
12-4 图
12-5
图
12-6
图12-3
随堂小测
1．数一数图12-7有多少条线段？
2．数一数图12-8有多少个角？
3．数一数图12-9和12-10各有多少个三角形？4．数一数图12-11共有多少个长方形？
5．数一数下图共有多少个正方形？图12-7 图12-8
图12-9 图12-10
图12-11
图12-12
◆孩子的未来我们的一切◆
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆
6．图12-13中共有多少个三角形？
7．图12-14共有8个点，连接任意四个点围成一个长方形。一共能围多少个长方形？
8．如图12-15，在2×2方格中，画一条直线最多可穿过3个方格，在3×3方格中，画一条直线最多可穿过5个方格。那么10×10方格中，画一条直线最多可穿过_________个方格。
9．下图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方体看不见。图12-16中共有__________个小立方体。
图
12-15
图
12-16
图12-13
图12-14
10．图12-17中的正方形被分成16个相同的小正方形，它们一共有25个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这些三有形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
图12-17 课后作业
1．数一数图12-18共有多少个正方形？
图12-18 2．数一数图12-19中有多少个三角形？
图12-19
3．图12-20中共有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？
◆孩子的未来我们的一切◆
图12-20
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆
4．图12-21中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形。一共能围成多少个梯形？
5．数一数图12-22中有多少个正方形。
6．有九张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形纸片如图12-23所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问： 如果M 位上放置标有数码“3”的纸片，一共有___________种不同的放置方法。
7．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边。可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？
图
12-21
图
12-22 图12-23
小课堂
小袋鼠周日闲着无事，取一张正方形
纸片，用剪刀将它剪成4张正方形纸片，作为
第1次操作；从剪成的4张正方形纸片中任取一
张再剪成4张正方形纸片，作为第2次操作，这时共有7张正方形纸片。从这7张正方形纸片中任取一张
用剪刀剪成4张正方形纸片，作为第3次操作……你知道
第50次操作后小袋鼠的书桌上共有多少张纸片吗？
◆孩子的未来我们的一切◆
高斯小学奥数五年级上册含答案_第12讲_几何计数
第十二讲几何计数 漫画，共一格 一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。 分割田地大概有3条横线、4条竖线左右，可适当增减。人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。 后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？
几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数．可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的．真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了． 三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧． 例题1．下列图形中各有多少个三角形？ 「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律．那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢？ 下图中有多少个三角形？ 例题2．右图中共有多少个三角形？
「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法．应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？ 练习2:．请数出这个图形中有多少个三角形． 下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法. 例题3．下列图形中，分别有多少个正方形？ 「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏． 围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？ 例题4．在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形） （1）一共有多少个长方形？ （2）包含“★”的长方形共多少个？ （3）包含“☆”的长方形共多少个？ （4）两个五角星都包含的长方形共多少个？ （5）至少包含一个五角星的长方形共多少个？ （6）两个五角星都不包含的长方形共多少个？ ★ ☆
图形计数的多种方法和总结
数线段的5种方法和拓展 例1数一数图中共有多少条线段？ 方法一：基本线段法（把图中单个的线段看作一个基本图形） 所以，图中一共有线段____4+3+2+1=10_______________条 方法二：端点法加法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点） 所以，图中一共有线段______4+3+2+1=10_____________条 方法三：端点法乘法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点） 端点数×间隔÷2=总条数 5×4÷2=10 由一个基本线段组成的线段有__4___条 由二个基本线段组成的线段有__3___条 由三个基本线段组成的线段有__2_ 由四个基本线段组成的线段有___1__条 以A为起点的线段有__4___条 以B为起点的线段有__3___条 以C为起点的线段有__2___条 以D为起点的线段有__1___条
方法四：标数法（基本线段法的简化版，可以快速得到结果） 方法五：组合法（取两个点就可以组成一条线段） 10124525=??= C 上面的五种方法都适应于所有的数线段的题，其中方法二和方法三可以延伸到握手问题，线段上端点数比较多可以用方法三，方法五可以解决不在一条直线上线段数 握手问题 1、有5个人，每两个人都需要握手一次，请问一共需要握手多少次？ 2、三年级有6个班，每两个班比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？ 3、有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？ 端点比较多 不在一条直线上 1. 平面上有12个点，任意三点都不在同一直线上，这些点可以连成多少条直线？ 1 2 4 3 A C 1 … C 2 C 102 B …… 1 2 3 4 99 100
奥数讲义全集(1-66)
第1讲图形计数 1．图中有多少个小正方体? 2．这堆木方块共有多少块?你能用几种不同的方法数出来和算出来吗? 3．这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心) 4. 用不同的方法数这两个图形各有多少个方块? 5.将8个小立方块组成“丁”字型，再将表面都涂成红色， 然后就把小立方块分开， （1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？ （2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？ （3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？
第1讲我会比一比 1、下面每题的口里能填哪些数? （1）374 ＞ 3□7 （2）374 ＜ 3□7 （3）□16 ＜ 609 （4）□28 ＞ 390 2、在（）里填上“＞”“＜”或“=”。 （1）a-3=b-7 a（）b （2）a+2=b-6 a（）b （3）a+1=b+6 a（）b （4）a-3（）a-7 3、仔细观察，不用计算，按照每张卡片上三个数相加的和从大到小排列。 4、比较a+3 、a-1 、a-7、a+5的大小，把它们按从小到大的顺序表示。 5、白猫和黑猫跑得一样快，谁先捉到老鼠? 6、杯子中有1，2，3三块石头，要使水面下降的尽量少，应该把其中哪一块拿出来？要使水面下降的尽量多，应该把其中哪一块拿出来？ 7、把两块同样大小的橡皮泥捏成不同的形状后，放在天平 的两边。天平会是下列哪种情况? 8、小鹿、小松鼠、小猴、熊猫在玩翘翘板，你能说出它们 的轻重顺序? 9、把2克糖放进3毫升的水中，把5克糖放进10毫升的水中，哪个更甜。
第1讲找方法算得快 1.计算下面各题. （1）18+26+24+32 （2）4+4+4+4+6+6 （3）94-8+8-9+9 （4）53+14+37-14 （5）61+6-12+12-7 （6）66-22-26 2. 下面的题怎样算比较简便呢？ （1）73-32-18 （2）87-15-4-1 （3）76-(32+16) （4）85-(15+23) 3. 比一比看谁算得快！ （1）10+11+13+15+16 （2）18+19+20+21+22 （3）103+102+101+99+98+97 （4）20-19+18-17+16-15+14-13+12-11 （5）36+45-16-25 （6）37-12+62-17
二年级奥数：巧数图形
二年级奥数：巧数图形 体系 所属体系板块：第三级上 能力培养：分类思考、数形结合思想 体系对接：第一级下《有趣的平面图形》 第三级下《飞速图形计数》 预热知识 一、分类法 1、打枪法 2、恰含法 3、分大小 【例】下图你能数出多少条线段？【例】下图共有多少个长方形？
【解析】分类法（打枪法）【解析】分类数（恰含法）总：4+3+2+1=10（个）总：3+2+1=6（个） 答：共10个。答：共6个。 【例】下图你能数出多少个正方形？ 【解析】分类数（大小） 1个小正方形：4个 4个小正方形：1个 总：4+1=5（个） 答：共5个。 二、巧数图形（分层数） 1、总数=每层个数相加 每层个数=上层个数+看得见 【例】下图中的小方块有几个？【解析】巧数图形（分层数）
总：1+4+5=10（个） 答：有10个。 课前思考 1、正方形如何计数呢？ 2、小方块如何计数呢？ 3、如何利用学过的乘法来进行计数？ 4、一年级秋季要求背的1-10的三角形数还记得吗？ 数数中的枚举知识点精讲知识点总结 一、数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9（共10个） 数：由数字组成的（无数个） 二、组数（最高位不为0） 1.确定几位数 2.确定从哪位开始写 注：①“比”后为目标
②“相差”：2种情况 3.确定顺序（从小到大/从大到小） 4.有无特殊要求 反序数 下降数（上升数） 例题精讲 1.根据条件组数——有序的排列（例2） 你能根据下面的要求，写出所有符合条件的两位数吗？ （1）十位上的数字比个位上的数字大2； （2）十位上的数字与个位上的数字相差2。 解析： （1）先确定要题目要求我们写的是两位数，再确定从哪一位开始写——通过比较，发现先写出“比”字后面的，再写前面的思考起来更容易，所以一般我们把“比”字后面的当做是目标。在这里也就是“个位上的数字”为目标，先写出来个位可能是几，再寻找十位上比个位上大2的数字即可组成我们需要的两位数。个位上可能是：0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9。而十位上最大是9，十位上的数字比个位上的数字大2，所以个位上 最大是7。十位上的数字比个位上的数字大2的数有8个：20、31、42、53、64、75、 86、97。 （2）区分“相差”和“比”的不同意思：看到“比”就直接知道谁大谁小，但是“相差”有
图形计数2
图形计数 知识要点： 1、图形计数：主要是指对满足一定条件的某种几何图形进行观察，把该图形中 所包含的某一种（或几种）几何图形的个数逐一地数出来，或用某一带规律的方法直接计算出来的数学问题。 2、图形计数的方法：（1）进一步掌握各种平面图形的特征，学会有条理、有次 序地数图形的方法。（2）根据图形能较熟练地对该图形中所包含的某一种（或几种）图形进行计数。（3）培养做事有条理、有秩序的号习惯。 一、课前一练 1、数一数下列图形各有几条线段 2、数一数下图共有几个角 3、数一数下图共有几个三角形 二、思维拓展 例题1.数出下面图中有多少条线段？ 分析：以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条； 以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左 端点的线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条） [小窍门]我们可以采用以线段左端点分类数的方法一次数出来。
练一练 下图共有几条线段？ 例题2.数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3， ∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB 内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是 包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1 个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 练一练：
数一数右图中总共有多少个角？ 例题3 数一数共有多少个三角形？ 分析：以AB、AC、AD、分别为三角形的一边可数出共有三角形 3+2+1=6（个） 解：以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE 3个；以AC为边的三角 形有：△ACD、△ACE 2个；以AD为边的三角形有：△ADE 1个。所以图中共有三角形3+2+1=6（个）。 【小窍门】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。 练一练： 下图共有多少个三角形？ 例题4数一数图中长方形的个数 分析：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15. BC边上分成的线段有： 3+2+1=6.
图形计数及最短路线新
最短路线 这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。 一、长方形方格标号： 【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？ 分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。 在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？ 如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？ 分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。 例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?
A B42 1 1 1 1 1 1 14 42 2 3 4 5 2 5 9 14 5 14 28 【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走， 共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条． 例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？ 分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别. 用标数法求共有多少种排队方法. 如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法. 我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 5 5P =5× 4×3×2×1＝120（种）, 同理拿 2元的小朋友有差别，共有 5 5P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）. 二、不规则图形标号： 【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？ 分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D 点：从学校到C 点有2种
二年级奥数题详细讲解
二年级奥数 基础班第一讲图形计数习题1．数一数，图4－１中共有多少条线段? 2．数一数，图中有多少个三角形? 3．图中有多少个正方形? 4．数一数，图形中有几个长方形? 5.数一数，下图中有多少个三角形？多少个正方形？ *6.数一数，下图中共有多少条线段?有多少个三角形?
*7.数一数，下图中共有多少个小于180°角? *8.数一数，下图中共有多少个三角形？ 习题答案1. 10条线段 2. 5个6个6个5个12个 3. 5个17个 4. 7个（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个） 5. 6个三角形7个正方形 6. 30条线段10个三角形 7. 30个小于180°角 8.10+3+6=19（个） 9.
提高班第一讲图形计数习题1．数一数，图4－１中共有多少条线段? *2．数一数，图4—2中共有多少条线段? 3．数一数，图中有多少个三角形? *4. *** 5．图中有多少个正方形? 6．数一数，图形中有几个长方形?
7.数一数，图中共有几个三角形?几个正方形? 8.数一数，下图中共有多少条线段?**有多少个三角形? 9.数一数，下图各图中各有多少个三角形? *10.数一数，下图中有多少个小于180°角?
习题答案 1.10条线段 2.14条线段 3.5个6个6个5个 4.12个12个 5.5个17个 6.7个（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个） 7. 6个三角形7个正方形 8. 30条线段10个三角形 9. 19个三角形 10. 30个小于180°角 基础班第二讲速算与巧算习题 1.计算：18+28+72 28+44+62+56 2.计算：100-68= 100-87= 1000-369= 500-47= 3、计算：67+98 261-197 4.计算：72-39+28 382-60+59 5.计算：99+98+97+96+95 * 9+99+999 6.计算：436-（36+57） 579-83-17 7.计算：1+2+3+4+3+2+1= 1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+6= 8.计算：5+6+7+8+9 1+4+7+10+13+16 提高班第二讲速算与巧算习题 1.计算：18+28+72 28+44+62+56-20
高思奥数一年级下册含答案第12讲 立体图形展开
第十二讲立体图形展开 前续知识点：一年级第一讲；XX模块第X讲 后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲 阿呆 阿呆 卡莉娅 阿呆卡莉娅 阿呆卡莉娅
把相应的人物换成红字标明的人物． 上一讲我们学习了立体图形计数，今天我们来学习一下正方体的展开图．首先来了解下什么是展开图吧． 例题1 桌上的物体有几个面？ 【提示】别忘了挨在桌子上的面哦！ 练习1 动动手，沿着红粗线剪开小盒子，它有几个面？
例题2 沿蓝色粗线剪开画在黑板上的立体图形，得到的平面展开图会是哪个呢？ A B 【提示】动手剪一剪！ 练习2 动手试一试，下面哪个图形是左图沿橙黄色粗线剪开的平面图？
我们学会了立体图形的展开图，下面这些图形有的能折成正方体的小盒子，而有的不能折成正方体的小盒子，你能找出这些“小特务”吗？ 例题3 下面哪个图形能折成正方体的小盒子？为什么？ 【提示】折一折！想一想！ 练习3 在能折成正方体小盒子的图形下面画“√”． A B C F E D A B C D
“一条线，不过4；凹田7，应舍弃．”这句话概括了不能折成正方体小盒子的大部分情况，大家记住了吗？ 我们继续来看看展开图中相对的面有什么特点吧． 例题4 沿虚线折起来，把折成正方体后相对的两个面用相同的符号表示． 【提示】折一折！你能发现折成正方体后，对着的面有什么特点吗？ 练习4 找对面游戏：折成正方体后，把相对的两个面用相同的符号表示． （）（）（）（）
例题5 骰子相对两个面的点子数和都为7，根据左边的正方体骰子，在右边的空白部分画出适当的点子图． 【提示】找到相对面！ 例题6 【提示】图案的方向要分清哦！ 课外阅读 正方体的平面展开图 你知道正方体的平面展开图有多少种吗？你能准确的记忆它们吗？一起来看看这个小窍门吧！ 的对面是的对面是的对面 是．根据左边的正方体，在右边的空白部分画出适当的图形．
平面图形计数教案
飞尔幼儿园停课不停学线上“微”活动设计 一、导入 1、今年的假期因为疫情而显得特别的长，我们小朋友们是不是在家里吃了很多的零食啊？其中最多的饼干吧？它们的形状你们都还认识吗，我们一起来复习一下吧。 二、题目讲解 1、第一题:【平面图形计数】 我们学过的平面的图形有三角形，正方形，长方形，梯形还有圆形，如果我们分开来数，我们聪明的小朋友们是能数得清的，那我们如果把它们重叠在一起的时候我们还能数得清吗？ 题目讲解： 下面两个图形由好多个三角形拼在一起的，我们可以先数一数它们分别是由几个三角形拼图拼在一起的呢？然后我们再数一数两个拼图一起有没有拼成一个新的三角形呢？三个拼图呢？四个拼图呢？这样我们就可以数出全部的三角形了。 家长指导建议: 幼儿的思维要逐渐的从形象思维过渡到抽象思维，但是也是有规律可以遵循的，从他们的拼图经验来引导，会更能增加他们对题目的理解性。家长可以用同样的方式来辅导幼儿数一数下面的图形中分别有几个长方形和正方形？ 第二题：【计算运用】 题目讲解： 认识完角的分类，我们来做个游戏，老师来当顾客，请小朋友来当超市店长，老师要来买2瓶牛奶，带了10元钱，一瓶牛奶的价格是3元，那么请问老师带的钱够不够付两瓶牛奶呢？
家长指导建议： 这道题其实分步来就很简单，第一步先算两瓶牛奶的价格一共是多少 元，然后再把两瓶的价格和老师带的钱作比较，看谁的大就行了。家 长在辅导孩子时切记不要急，要先理清思路，一个一个问题解决。另 外也可以换一种思路，老师先买一瓶，剩下的钱看看还够不够再买一 瓶，这也是一种思路，鼓励大家用不同的思路去解决生活中的数学问 题。 三、课后作业 1、第一题:【平面图形计数】 数一数下面的图形中分别有多少个三角形？有多少个正方形？ 2、第二题：【计算运用】 周末的时候，小蓝的妈妈带着小蓝和妹妹一起去公园玩，他们看到一 个玩套圈的游戏，妈妈买了12个套圈，妹妹投了3次，小蓝投了4 次，还剩下几个可以让妈妈投呢？ 温馨提示：小朋友平时学习时要时刻注意自己的坐姿哦，头正身直脚放平。
奥数基础
数学思维启蒙 第一讲速算与巧算 1.快速写得数 1+2= 1+2+3= 1+2+3+4= 1+2+3+4+5= 1+2+3+4+5+6= 1+2+3+4+5+6+7= 1+2+3+4+5+6+7+8= 1+2+3+4+5+6+7+8+9= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 2.计算：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1= 3.计算：5+7+9+11+13+15+17+19+21+23= 4.计算：82-47+18= 5.计算：13+34+66+87= 6.计算：159+87-59= 7.计算：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1= 8.把18个苹果分成数量各不相同的5堆，其中数量最多的一堆有多少个苹果 9.超市的货架一共有5层，最上面一层放了12瓶饮料，往下每一层都比它的上一层多3瓶，这个货架上一共有多少瓶饮料 10.有8个连续自然数的和是68，这8个数里最大的那个是多少呢 11.艾迪有红色和黄色的玻璃球，玻璃球的总数再加上红色玻璃球的数量之和是 22，玻璃球总数加上黄色玻璃球的数量之和是17，艾迪一共有多少个玻璃球 第二讲图形的折叠与剪拼 1.将下面两个图形分割成4个大小相等、形状相同的图形，则A、B、C、D中哪个图形正确图 2.请用四种不同的方法将下图的方格纸沿着格线分割成完全相同的两部分。图 3.将下列各图分别分成4个大小相等、形状相同的图形。图 4. 将下列各图分别分成3个大小相等、形状相同的图形。图 5. 将下列各图分别分成大小相等、形状完全相同的3块，并且每块包含一个小圆圈。图 6.将下图分成4个形状、大小完全相同的图形，然后再拼成一个正方形。图 7.将下图中左图正方形分割成3块，其中只有一块是正方形，并用他们拼成右图的长方形。图 8.将两张相同的正方形纸片剪成若干块，然后拼成一个打正方形，画出最后拼成的大正方形。图 9.如下图所示，把一张正方形的纸对折三次之后，再打开纸，如果我们沿着折痕剪开，能剪成多少块呢图 第三讲单数与双数 1.请将单双数分开：22，17，15,50,100,79,62,84,33,46 2。请按要求写数。 （1）写出大于20的6个连续双数
第十二讲 图形计数
第十二讲图形计数 知识要点 1．长方形有n行m列，则共有（1＋2＋…＋m）×（1＋2＋…＋n）个长方形。 2．正方形有n行m列（n≥m），则共有m×n＋（m－1）×（n－1）＋ (1) （n－m+1）个正方形。 典型例题 例1 图12-1中有多少个正方形？ 图12-1 例2 图12-2中有多少个长方形？ 图12-2 ◆孩子的未来我们的一切◆
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆ 例3 数一数图12-3有多少个三角形？ 例4 如图12-4，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？ 例4 图12-5中共有（ ）个正方形。 例5 有同样大小的立方体27个，把它们竖3个，横3个，高3个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（如图12-6）。如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话，最多可以穿透几个小立方体？ 图 12-4 图 12-5 图 12-6 图12-3
随堂小测 1．数一数图12-7有多少条线段？ 2．数一数图12-8有多少个角？ 3．数一数图12-9和12-10各有多少个三角形？4．数一数图12-11共有多少个长方形？ 5．数一数下图共有多少个正方形？图12-7 图12-8 图12-9 图12-10 图12-11 图12-12 ◆孩子的未来我们的一切◆
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆ 6．图12-13中共有多少个三角形？ 7．图12-14共有8个点，连接任意四个点围成一个长方形。一共能围多少个长方形？ 8．如图12-15，在2×2方格中，画一条直线最多可穿过3个方格，在3×3方格中，画一条直线最多可穿过5个方格。那么10×10方格中，画一条直线最多可穿过_________个方格。 9．下图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方体看不见。图12-16中共有__________个小立方体。 图 12-15 图 12-16 图12-13 图12-14
21几何计数问题-线段立体图形平面图形计数基础篇
图形认识初步 【几何计数问题】 【基础练习】 1.如图，线段的条数一共是（） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 2.如图，可以用字母表示出来的不同射线和线段（） A．3条线段，3条射线 B．6条线段，6条射线 C．6条线段，3条射线 D．3条线段，1条射线 3.过平面上三点中的每两点画直线可以画出直线（） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．不确定4.已知A、B、C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（）A．一定有三条 B．只能有一条 C．可能有三条，也可能只有一条 D．以上结论都不对 5.经过四个点中的每两个点画直线共可以画（） A．2条，4条或5条 B．1条，4条或6条 C．2条，4条或6条 D．1条，3条或6条 6.如图，共有线段（） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 7.如图所示，图中共有条线段．
8.如图所示，图中共有条线段。 9.如图，两条平行直线m，n上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连条直线（） A．20 B．36 C．34 D．22 10.如图，图中共有（）条线段． A．5 B．6 C．7 D．8 11.从济南开往青岛的列车，途中停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（）种． A．6种 B．10种 C．12种 D．14种 12.六棱拄有个顶点，个侧面． 13.如图，这个几何体的名称是；它有个面组成；它有个顶点；经过每个顶点有条边．
14.圆柱体是由个面围成，这些面相交共得条线． 15.一个圆锥形的冰淇淋有个面，其中有个平面，有个曲面． 16.围成八棱柱的面的个数是． 17.长方体中共用一个顶点的面有个． 18.长方体是一个立体图形，它有个面，条棱，个顶点 19.如图，一个正四面体共有4个面、4个顶点、条棱． 20.如果有一个直棱柱有15条棱，那么它有个面，个顶点． 21.长方体有个面；有条棱． 22.如图，图中共有个梯形． 23.如图，如果OA，OB，OC是圆的三条半径，那么图中有个扇形． 24.（2008?自贡）往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有种不同的票价（来回票价一样），需准备种车票． 25.（2007?南宁）在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有个交点，8条直线两两相交，最多有个交点．
小学奥数~平面图形计数-数三角形(二)--简单图形
数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层1+2+3+4=10（个）， 共有2层， 三角形有：10×2=20（个） 故答案为：20 数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层1+2+3+4+5=15（个）， 共有2层， 三角形有：15×2=30（个） 故答案为：30 数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层1+2+3+4+5+6=21 （个），共有2层， 三角形有：21×2=42（个） 故答案为：42 数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层1+2+3+4+5+6+7=28 （个），共有2层， 三角形有：28×2=56（个） 故答案为：56 数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层1+2+3+4+5+6+7+8=36 （个），共有2层， 三角形有：36×2=72（个） 故答案为：72 第一层有三角形：3+2+1=6 （个），共有3层，
数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层有三角形：3+2+1=6 （个），共有3层， 6×3=18（个） 故答案为：18 数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层1+2+3+4+5=15（个）， 共4层 三角形共15×4=60（个） 故答案为：60 数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层1+2+3+4+5+6=21 （个），共5层 三角形共21×5=105 （个） 故答案为：105 数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层1+2=3（个），共有2 层， 三角形有：3×2=6（个） 故答案为：6
故答案为：30 数一数，下面图形有___1___个三角形。 三角形有：1+2+1=4（个） 故答案为：4 数一数，下面图形有___1___个三角形。 3+3+1+1+1=9（个） 故答案为：9 数一数，下面图形有___1___个三角形。 第一层1+2+3+4=10（个）， 共4层 三角形共10×4=40（个） 故答案为：40 三角形共6+4+3=13（个） 故答案为：13
奥数 排列组合之分步计数原理
第12讲分步与分类 加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理． 加法原理如果做一件事，完成它有m类不同的方法，在第l类方法中有种不同的方法，在第2类方法中有以种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有+n2…+nm种不同的方法． 乘法原理如果做一件事，完成它需要个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，……，完成第步有种不同的方法，那么完成这件事共有…nm种不同的方法．A类例题 例1（1998年全国高考题）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有（） A.90种 B.180种 C.270种 D.540种 分析本题要将所有医生和护士分配到各所学校，可以分两步进行，即先分配医生，再分配护士。在分配过程中，又要分配到每一所学校。故依据乘法原理计算。 解将医生分配到3所学校，每校1人，有种方法，再分配护士，第一所学校有种方法；第二所学校有种方法，第三所学校有种方法，所以由乘法原理共有=540种方法。故应选D。说明运用乘法原理解题要注意步与步的独立性，即某一步的任何一种完成方式不会影响其它步的方法总数。 例2（1999年全国高考题）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植1垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，在不同的选垄方法共有_____种。 分析由于A、B两种作物的间隔不小于6垄，即间隔不定，因此，我们需要按分类来做。解⑪间隔8垄时，有种；⑫间隔7垄时，有2种；⑬间隔6垄时，有3种。所以共有（1+2+3）=12种选垄的方法。 说明运用加法原理解题要注意分类时不重不漏。 例3 由数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数字作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)?其中有实根的方程有多少个？ 分析一元二次方程有实根需满足，所以有实根的方程个数对应于满足的（a,b,c）个数，分类的标准是b的不同取值。 解x的系数a≠0,a有4种取法；对于每一种a的取法，b,c可以从余下的4个数字中任何两个排列，有A种方法，共可组成一元二次方程4A=48个。又要方程要有实根，必须满足Δ=b-4ac≥0。若c=0,则a,b在1，3，5，7中任取两个作排列，有A种方法；若c≠0，则b 只能取5或7时，当b=7时，a,c可在1，3，5中取1，3或1，5，排列有2种取法；当b=5时，a,c只能取1，3两次数作排列，有A种取法。综上讨论，有实根的一元二次方程共有+2+=18个。 说明分类与分步是在计数时简化列举的一种手段。 情景再现 1．（第39届美国高中数学竞赛题）一次职业保龄球赛的最后阶段，前五名选手再按下法比赛：首先由第五名与第四名赛，输者得五等奖；赢者与第三名赛，输者得四等奖；赢者与第二名赛，输者得三等奖；赢者与第一名赛，输者得二等奖，赢者得第一名。问有多少种获奖顺序？ 2．（1997年全国高考(https://www.360docs.net/doc/c819087087.html,)题）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（） A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 B类例题
五年级奥数-第12讲 几何
第12讲几何 例1：如图所示阴影部分的面积是66平方厘米，则图中正方形 的面积是平方厘米。 例2：如图所示，本行方形的长和宽分别是12厘米和9厘米， 把三角形的三条边分别平均分成三段，得到A，B，C，D，E， F这了六个点，连接AF，BC，DE，DE得到一个六边形，这 个六边形的面积。 例3：如图，三角形ABC的面积为30平方厘米，则梯形 ABCD的面积是平方厘米。 例4：如图所示正八边形ABCDEFGH的面积为32平方厘米， M，N分别为AB，CD的重点。则四边形MBNF的面积为 平方厘米 例5：如图所示，正方形ABCD的面积为54平方厘米，则阴影 部分的面积为平方厘米。 例6：比较图中两个阴影部分I和II的面积，它们的大小关系 是。 例7：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=100度，那么∠A=_________度。
例8：如图所示，长方形ABCD 的长为25，宽为15。四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图上标出，且横向的两组平行线都与BC 平行。求阴影部分的面积。 2．平面几何中的计数问题 例9：在等边三角形的三条边上分别取中点，并把分得的每一段再等分，如果继续下去，当每条边被八等分时，连接相对应的点，如图所示，可以组成_________个等边三角形。 例10：如图，有____________个正方形 例11：图12-17是一个等边三角形花园，其中每一行都均匀地栽满了花。已知图中一个小的等边三角形每条边上有15株花，这个花园共栽花_________株。 例12：如图所示，从豆豆家到学校，有4条纵路，3条横路。如果豆豆上学时只能由上向下，从左到右，那么有_________种不同的走法。 3．平面几何知识的应用 例13：如图所示，在一幅长为80厘米，宽为50厘米的矩形图画的四周镶一条宽为整数厘米的金色纸边（宽度保持不变），制成一幅面积为5400平方厘米的挂图，求金色纸边的宽度。 例14：小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，生产一批形状如图所示的风筝，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点（即有EF=FG = 21AC ，EH=FG=2 1BD ）。其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）。 若生产这批风筝需要甲布料30匹，请问，需要乙布料多少匹？
奥数
第11讲平面图形计数初步 例题1 数数下面的密码图是由哪些图形拼成的，各用了几个？ 练习1 观察下面的小汽车是什么图形组成的，并数一数。 例题2 数一数，图1中有（）条线段，图2中有（）个角。 练习2 数一数下图中有（）条线段。 例题3 下图中有多少个三角形？ 练习3 下面的图形中有多少个三角形？
例题4 下图中有多少个长方形？ 练习4 下图中有多少个长方形？ 例题5 你会数下面的图形吗？ 练习5 下图中有多少个正方形？ 例题6 数一数，下面的花朵是由多少个圆形花瓣组成的？ 练习6 数一数，下面的花朵是由多少个圆形花瓣组成的？ 第12讲有趣的立体图形
例题1 找不同，把下图中不同于其他类的立体图形圈起来。 练习1 找不同，把下图中不同于其他类的立体图形圈起来。 例题2 把上面一排立体图形剪开，可以剪成下面哪种图形的样子？动手连一连。 练习2 你知道下面的展开图是哪些图形吗？让我们来连一连吧！ 例题3 你知道下面的立体图形各有多少个面吗？请把答案填在括号里。 练习3 你知道下面的锥体们各有几个面吗？ 例题4 下面的图形可以折成一个正方体和一个长方体吗？根据折成的图形判断，每个面
上的字母跟哪些字母是相对的？ 练习4 下面的图形是正方体的平面展开图，请你分别找出他们的三组对面。 例题5 把一个正方体剪开可以得到多种不同形状的展开图，下面三个都可以折成一个正方体吗？可以的画“√”，不可以的画“×”。 练习5 下面的展开图哪些可以折成正方体？可以的画“√”，不可以的画“×”。 例题6 判断题你会做吗？正确的画“√”，错误的画“×”。 （1）正方体的六个面一定都是正方形。（） （2）圆柱和圆柱体的是不同的立体图形。（） （3）圆和球是不同的圆形。（） 练习6 判断题： （1）长方体的六个面一定都是长方形。（） （2）球和球体是不同的立体图形。（） （3）正方形和正方体是一样的图形。（） 第13讲图形规律初步 例题1