高中数学柯西不等式ppt.ppt
合集下载
2017-2018学年高中数学选修4-5课件北师大版2.1柯西不等式(共28张PPT)
������2 ������ 证明由柯西不等式可得cos2 ������ + sin2 ������ 2 ������2 ������ = cos2 ������ + sin2 ������ (cos2θ+sin2θ)
第二章 几个重要的不等式
§1 柯西不等式
学
习 目 标
思
维 脉 络
1.认识简单形式的柯西不等 式的几种形式,理解它们的几 何意义. 2.会证明一般形式的柯西不 等式,并能利用柯西不等式来 解决有关问题.
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 向量形式 表 达 式 等号成立的条件 ad=bc α 与 β 共线
向量(b1,b2,… ,bn)共线时,等号成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式):
2 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有( ������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + ������3 )≥ (a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a 2,a3)与向量( b1,b2,b3)共线时等号成立.
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 |α||β|≥ |α· β|
名师点拨 1.定理1的几点说 明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(adbc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以简单形式的 柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. 2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系, 不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学 和物理中有重要作用.
第二章 几个重要的不等式
§1 柯西不等式
学
习 目 标
思
维 脉 络
1.认识简单形式的柯西不等 式的几种形式,理解它们的几 何意义. 2.会证明一般形式的柯西不 等式,并能利用柯西不等式来 解决有关问题.
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 向量形式 表 达 式 等号成立的条件 ad=bc α 与 β 共线
向量(b1,b2,… ,bn)共线时,等号成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式):
2 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有( ������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + ������3 )≥ (a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a 2,a3)与向量( b1,b2,b3)共线时等号成立.
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 |α||β|≥ |α· β|
名师点拨 1.定理1的几点说 明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(adbc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以简单形式的 柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. 2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系, 不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学 和物理中有重要作用.
江西省吉安县第三中学高中数学选修4-5课件：11简单形式的柯西不等式(共22张PPT)
二维形式的柯西不等式是向量 形式的柯西不等式的坐标表示
如果向量 和 中有零向量,则ad bc 0 ,以上不等 式取等号.如果向量 和 都不是零向 量,则当且仅当| cos | 1,即向量 和
共线时,以上不等式取等号.这时存在非零实数k , 使
k.即 a,b kc, d .故ad bc kcd kcd 0.
2．柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2 ＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc， 可以把a，b，c，d看作成等比，则ad＝bc来联想记 忆．
且仅当 ad＝bc 时，等号成立)
合作应用探究一
例1.已知3x 4y 5, 求证：x2 y2 1. 证明：由柯西不等式可知(x2 y2 )(32 42 ) (3x 4 y)2
展
所以
(x2
y2)
(3x 4 y)2 32 42
又因为
3x 4y
5
，所以
3x 4 y2
32 42
1
§1.1简单形式的柯西不等 式
吉安县三中高二数学备课组
教学目标
1.认识并理解平面上的柯西不等式 的代数和向量形式。
2.会用柯西不等式的代数形式和向 量形式证明比较简单的不等式，会 求某些函数的最值。
知识回顾：
导
1、平面向量的数量积
已知两个向量 a与 b ，它们的夹角为θ，我们把
|a||b|cosθ叫作 a 与 b 的数量积（或内积）.记作 a·b
显然，上式当且仅当 ad bc 0 时，“ = ” 号成立。
想一想：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的
条件可以写成ab＝dc吗？ 提示 不可以．bd＝0 时，柯西不等式成立，但ab＝dc不成立．
如果向量 和 中有零向量,则ad bc 0 ,以上不等 式取等号.如果向量 和 都不是零向 量,则当且仅当| cos | 1,即向量 和
共线时,以上不等式取等号.这时存在非零实数k , 使
k.即 a,b kc, d .故ad bc kcd kcd 0.
2．柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2 ＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc， 可以把a，b，c，d看作成等比，则ad＝bc来联想记 忆．
且仅当 ad＝bc 时，等号成立)
合作应用探究一
例1.已知3x 4y 5, 求证：x2 y2 1. 证明：由柯西不等式可知(x2 y2 )(32 42 ) (3x 4 y)2
展
所以
(x2
y2)
(3x 4 y)2 32 42
又因为
3x 4y
5
，所以
3x 4 y2
32 42
1
§1.1简单形式的柯西不等 式
吉安县三中高二数学备课组
教学目标
1.认识并理解平面上的柯西不等式 的代数和向量形式。
2.会用柯西不等式的代数形式和向 量形式证明比较简单的不等式，会 求某些函数的最值。
知识回顾：
导
1、平面向量的数量积
已知两个向量 a与 b ，它们的夹角为θ，我们把
|a||b|cosθ叫作 a 与 b 的数量积（或内积）.记作 a·b
显然，上式当且仅当 ad bc 0 时，“ = ” 号成立。
想一想：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的
条件可以写成ab＝dc吗？ 提示 不可以．bd＝0 时，柯西不等式成立，但ab＝dc不成立．
人教版高中数学选修第三讲--柯西不等式与排序不等式ppt课件
补充例 3：已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当
b
1 b2 时，上式取等号，
分析： 设A
C b12
a12
b22
a
2 2
bn2，an2则 ，B不等a式 1b1就是 a2AbC2 Ba2
n
bn
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn ) x
(b12 b22 bn2 ) 又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的 大小 关系 ,类 比考 虑与 下面 式子 有关 的有什 么不等关系:
设 a,b, c为, d任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
一、二维形式的柯西不等式
定 理1 (二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式) 若a, b, c, d都 是 实 数, 则 当 且 仅 当ad bc时, 等 号 成 立.
小结:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
(2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
柯西不等式pptPPT课件
第2页/共10页
柯西不等式
定理：对任意实数a,b,c,d，有
( a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2
当且仅当ad=bc时，等号成立.
特点： 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
第3页/共10页
柯西不等式的证明
问题2：
如何证明柯西不等式？
第4页/共10页
柯西不等式的向量形式
提出问题
问题1：
若 a, b, c都, d是任意实数，试比较 (a2 b2 )(c2 d 2 ) 与 ( ac bd ) 2 的大小.
( a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2
第1页/共10页
柯西简介
柯西（1789-1857 ）是法国著名的数学家、力学家。 1805年，柯西以第二名的成绩考入巴黎综合工程学校 学习。两年后转到道路桥梁工程学校学习，毕业后， 20岁的柯西成为法国港口城市瑟堡设防阵地建设项目 的工程师，同时开始了他科学研究的生涯，1816年成 为巴黎综合工程学校教授同年被任命为法国科学院院士，不久又 被任命为法兰西学院和巴黎大学理学院教授。柯西一生著述丰富， 仅次欧拉，不仅在数学方面，还在物理学和天文学等领域， 写下了大量创造性的论文。 我们高中所学导数的定义，以及微分、定积分都是柯西给出 的。柯西待人和善热情，生活有节制，而且简朴，但是缺乏常识， 只要一离开数学他的理智和洞察力，就完全丧失。柯西是一个偏 执的天主教徒，他逝世前最后对主教练下的话是“人死了，但事 业永存”。
已知、是平面上任意两个向量，则| ||| | |.
当 / /时，等号成立.
第5页/共10页
柯西不等式的简单应用
例1 已知| 3x 4y | 5,求证：x2 y2 1. 例2 对例1改用柯西不等式的向量
柯西不等式
定理：对任意实数a,b,c,d，有
( a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2
当且仅当ad=bc时，等号成立.
特点： 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
第3页/共10页
柯西不等式的证明
问题2：
如何证明柯西不等式？
第4页/共10页
柯西不等式的向量形式
提出问题
问题1：
若 a, b, c都, d是任意实数，试比较 (a2 b2 )(c2 d 2 ) 与 ( ac bd ) 2 的大小.
( a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2
第1页/共10页
柯西简介
柯西（1789-1857 ）是法国著名的数学家、力学家。 1805年，柯西以第二名的成绩考入巴黎综合工程学校 学习。两年后转到道路桥梁工程学校学习，毕业后， 20岁的柯西成为法国港口城市瑟堡设防阵地建设项目 的工程师，同时开始了他科学研究的生涯，1816年成 为巴黎综合工程学校教授同年被任命为法国科学院院士，不久又 被任命为法兰西学院和巴黎大学理学院教授。柯西一生著述丰富， 仅次欧拉，不仅在数学方面，还在物理学和天文学等领域， 写下了大量创造性的论文。 我们高中所学导数的定义，以及微分、定积分都是柯西给出 的。柯西待人和善热情，生活有节制，而且简朴，但是缺乏常识， 只要一离开数学他的理智和洞察力，就完全丧失。柯西是一个偏 执的天主教徒，他逝世前最后对主教练下的话是“人死了，但事 业永存”。
已知、是平面上任意两个向量，则| ||| | |.
当 / /时，等号成立.
第5页/共10页
柯西不等式的简单应用
例1 已知| 3x 4y | 5,求证：x2 y2 1. 例2 对例1改用柯西不等式的向量
高二数学必修1课件：柯西不等式1
第三页，编辑于星期一：一点 一分。
探究：
你能得出柯西不等式的一些变式吗？
第四页，编辑于星期一：一点 一分。
定理2：（柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量，则 ，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k时，等号成立.
第五页，编辑于星期一：一点 一分。
定理3：（二维形式的三角不等式）
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
第六页，编辑于星期一：一点 一分。
例1、已知a, b为实数，证明 (a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3 )2
第七页，编辑于星期一：一点 一分。
例2、求函数y=5 x 1 10 2x的最大值.
柯西不等式（1）
第一页，编辑于星期一：一点 一分。
问题探究：
比较(a2 b2 )(c2 d 2 ) 与(ac bd )2的大小
第二页，编辑于星期一：一点 一分。
定理1：（二维形式的柯西不等式）
若a,b, c, d都是实数，则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 当且仅当ad bc时，等号成立.
作业：
P36 1，3，4，5，6，编辑于星期一：一点 一分。
例3、设a,b R , a b 1,求证：1 1 4 ab
第九页，编辑于星期一：一点 一分。
小结：
1、柯西不等式有几种形式，它们分别
是什么？
2、当一个式子与柯西不等式的左边或 右边具有一致性时，就可以考虑利用 柯西不等式.
第十页，编辑于星期一：一点 一分。
探究：
你能得出柯西不等式的一些变式吗？
第四页，编辑于星期一：一点 一分。
定理2：（柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量，则 ，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k时，等号成立.
第五页，编辑于星期一：一点 一分。
定理3：（二维形式的三角不等式）
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
第六页，编辑于星期一：一点 一分。
例1、已知a, b为实数，证明 (a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3 )2
第七页，编辑于星期一：一点 一分。
例2、求函数y=5 x 1 10 2x的最大值.
柯西不等式（1）
第一页，编辑于星期一：一点 一分。
问题探究：
比较(a2 b2 )(c2 d 2 ) 与(ac bd )2的大小
第二页，编辑于星期一：一点 一分。
定理1：（二维形式的柯西不等式）
若a,b, c, d都是实数，则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 当且仅当ad bc时，等号成立.
作业：
P36 1，3，4，5，6，编辑于星期一：一点 一分。
例3、设a,b R , a b 1,求证：1 1 4 ab
第九页，编辑于星期一：一点 一分。
小结：
1、柯西不等式有几种形式，它们分别
是什么？
2、当一个式子与柯西不等式的左边或 右边具有一致性时，就可以考虑利用 柯西不等式.
第十页，编辑于星期一：一点 一分。
《柯西不等式》课件
感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
【北师大版】选修4-5数学：2.1《柯西不等式》ppt课件
-12-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
-13-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
-16-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
点评
当式子中有根号、平方等形式时,经常应用柯西不等式求解.
-17-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
-14-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
-15-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
【课件】一般形式的柯西不等式
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
分析：设A a12 a22 an2，B a1b1 a2b2 anbn
C b12 b22 bn2， 则不等式就是AC B2
构造二次函数
f (x) (a12 a22 an2 )x2 2(a1b1 a2b2 anbn )x
从平面向量的几何背景能得到 ，
将平面向量的坐标代入， 化简后得二维形式
的柯西不等式: (a12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )2
当 且 仅 当a1b2 a2b1时, 等 号 成 立.
类似地,从空间向量的几何背景也能得到 ,
将空间向量的坐标代入, 化简后得
通过以上证明，得知猜想成立，于是有
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式) 设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式Δ=0，以上不等
式取等号。此时有唯一实数x,使 ai x bi 0i 1,2,n
若x=0,则 b1 b2 bn 0 ,上式成立；
若x≠0,则有
1 a x bi
.
总之，当且仅当 bi 0(i 1,2,, n) 或 ai kbi (i 时1,2，,n) 等号成立。
又f
(x)
(b12 b22 bn2 ) (a1 x b1 )2 (a2 x
柯西不等式课件
2，当且仅当 b ＝0( i ＝1，2，3，…， n )或存在一个数 k ，
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2
当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即 ＝ ＝…＝ 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2
当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即 ＝ ＝…＝ 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
二维形式的柯西不等式-PPT课件
(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x22＋y1－y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1、P2、P3 的坐标 分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，根据△P1P2P3 的边长关系 有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1、P2、P3 共线，并 且点 P1、P2 在 P3 点的异侧时，等号成立．
3．设 a，b，c 为正数，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)． 证明：由柯西不等式：
a2＋b2· 12＋12≥a＋b，
Байду номын сангаас
即 2· a2＋b2≥a＋b.
同理： 2· b2＋c2≥b＋c，
2· a2＋c2≥a＋c，
将上面三个同向不等式相加得：
2
a2＋b2＋
∴ a2＋b2＋
2．已知 a1，a2，b1，b2 为正实数． 求证：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ab22)≥(a1＋a2)2. 证明：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ba22)＝[( a1b1)2＋( a2b2)2][( ba11)2 ＋( ab22)2]≥ ( a1b1· ab11＋ a2b2· ab22)2＝(a1＋a2)2.
6．求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值及此时 x 的值．
解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得 ( x－6＋ 12－x)2≤(12＋12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x －6＋12－x)＝12， 即 x－6＋ 12－x≤2 3. 故当 x－6＝ 12－x时 即 x＝9 时函数 f(x)取得最大值 2 3.
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数， 求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
2 1 2 2 2 n 1 2 n
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,...,n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5
接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.①
精选ppt
7
1111
等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d，
栏
bcda
目
链
由题设 a，b，c，d 不全相等，于是①中有严格等号不成立， 接
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．2 一般形式的柯西不等式
精选ppt
1
精选ppt
栏 目 链 接
2
不等式证明
已知 a，b，c∈R＋，求证：
栏
ba＋bc＋acab＋bc＋ac≥9.
目 链 接
分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝ ab，a2＝ bc，a3＝
ac，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而
得证．
精选ppt
3
证明：由柯西不等式知：
左边＝
ab 2＋
bc2＋
ac2×
栏
目
ba2＋
bc2＋
ac2≥
链 接
ab×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a c
2＝
(1＋1＋1)2＝9.
精选ppt
4
∴原不等式成立．
已知 a1，a2…，an 都是实数．
求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)．
栏
目
分析：与柯西不等式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结 链
接
构，因此可用柯西不等式来证明．
证明：根据柯西不等式，有
一般形式的柯西不等式 课件
一般形式的柯西不等式
1．定理1(二维形式的柯西不等式) 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋ bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．定理2(柯西不等式的向量形式)
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零
向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8.
(2)由柯西不等式知：
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2· ba2＋
bc2＋
ac2≥
a b·
ba＋
b c·
bc＋
ac· ac2＝(1＋1＋1)2＝9. 所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，要抓住柯西不 等式的结构特征，有时需将表达式适当地变形，因此必 须善于分析题目的特征，根据题设条件，利用添、拆、 分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法，找到 解决问题的突破口．
小，最小面积为3 m2.
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．函数y＝2x＋1－92xx∈0，12的最小值是(
)
A．20
B．25
C．27
D．18
解析：y＝
2 x
＋
9 1－2x
＝[2x＋(1－2x)]
2x＋1－92x
＝
[(
2x )2＋(
1－2x
)2]
2x2＋
9 2 1－2x
≥
2x·
2x＋
1－2x
答案：B
1－92x2＝(2＋3)2＝25.
当且仅当34xx＋＝43yy＝2时，即xy＝＝228655时“＝”成立． 所以x2＋y2的最小值为245. (2)根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1× 2x＋1 ＋ 1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30.
1．定理1(二维形式的柯西不等式) 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋ bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．定理2(柯西不等式的向量形式)
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零
向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8.
(2)由柯西不等式知：
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2· ba2＋
bc2＋
ac2≥
a b·
ba＋
b c·
bc＋
ac· ac2＝(1＋1＋1)2＝9. 所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，要抓住柯西不 等式的结构特征，有时需将表达式适当地变形，因此必 须善于分析题目的特征，根据题设条件，利用添、拆、 分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法，找到 解决问题的突破口．
小，最小面积为3 m2.
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．函数y＝2x＋1－92xx∈0，12的最小值是(
)
A．20
B．25
C．27
D．18
解析：y＝
2 x
＋
9 1－2x
＝[2x＋(1－2x)]
2x＋1－92x
＝
[(
2x )2＋(
1－2x
)2]
2x2＋
9 2 1－2x
≥
2x·
2x＋
1－2x
答案：B
1－92x2＝(2＋3)2＝25.
当且仅当34xx＋＝43yy＝2时，即xy＝＝228655时“＝”成立． 所以x2＋y2的最小值为245. (2)根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1× 2x＋1 ＋ 1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设计意图
例2、已知a,b, x1, x2 R＋，a b 1, 请证明：(ax1 bx2 )(bx1 ax2 ) x1x2
(留给学生足够的思考时间，鼓励学生合作 交流。一段时间后，请做出来的同学谈谈是怎 样找到解题思路的，再让未做出来的学生谈谈 思路障碍之处，其他同学进行补充，教师适时 点拨，最终体会到解题的方法。)
再和其他学生分析、评价）
本节课的升华之处。
（四）、理解深化
设计意图
练习：若a,b均为正数，则(a 1)(2b 1 )
b
2a
的最小值为 ，此时ab .
及时巩固所学知 识和方法体会
（五）、归纳小结
设计意图
问题8：通过本节课的学习，你学 到了什么？体验到什么？
1、知识总结： 柯西不等式的二维形式： (a2 b2)(c2 d 2) (ac bd )2
不等式的基本方法，以及向量的数量积的性
质
。这个性质正是柯西不等式的向量形式，
是这节课内容最佳的“知识生长点”。
三、说目标
1、知识目标： 2、能力目标：
（1）理解柯西不等式的二维形式和 向量形式； （2）能运用柯西不等式的二维形式 解决一些简单问题； （3）让学生了解柯西的主要贡献， 贯穿数学史教育。
七、评价分析
在教学过程中我始终面对全体学生，尊重学生 的个体差异。在教学中我选择了问题探究的教学方 法，，鼓励与提倡学生用多样化的策略解决问题。 对于问题的设计、教学过程的展开、练习的安排等 都尽可能地让所有学生主动参与，提出各自解决问 题的方法，并引导学生合作交流，吸取他人的经验， 从而丰富了学生的数学活动，提高他们的思维水平。 同时这节课也是我对个性化教育的初步尝试。
（二）、实施探究
设计意图
问题5：请仔细观察柯西不等式的 二维形式，想一想，它的结构有
什么特点？
（引导学生通过类比基本不等式的结构特点，
观察、分析，相互探讨，归纳出：“平方的和
的乘积不小于乘积的和的平方”的特点）
1、掌握柯西不等式的 二维形式的结构特点是 突破本节难点的关键。
2、可以培养学生的观 察、分析，归纳能力， 同时，让学生成为发 现者，可以增加学生 的成就感，提高学生 学习的积极性。有助 于学生学习情绪的进 一步高涨。
了对用柯西不等式的二维
不等式①：ad bc a c bd
（再引和导其学他生学思生不考分等式、析②交、：流评ac ，价 b然）d 后a个b 别dc 提问，
形式解题的方法的理解。
2、让学生在历练中暴露 了思维障碍之处，教师在
此适当加予点拨，就能取
（引导学生思考、交流，然后个别提问， 得很好的教学效果。这是
系得出柯西不等式的二维形式的处理方法改为先让学生证明不
等式
，通过对该不等式作进一步探究,发现了柯西
不等式的二维形式，并由此顺着学生思路层层深入地设计问题
来展开教学，使学生在探究活动中掌握了柯西不等式二维形式
的推导和应用。
二、说学情
该班学生基础比较扎实，求知欲较强，具备一定的
观察、分析、逻辑推理能力。在学习本课前已掌握证明
（当且仅当bc ad时取等号，a,b,c,d R）
a2 b2 c2 d 2 ac bd
柯西不等式的向量形式：
r
r
r
r
（当且仅当r // r时取等号）
2、思想方法总结：
让学生在归纳小结的过 程中将所学的知识条理 化、系统化。而注重数学 方法的提炼，可帮助学 生逐渐把经验内化成能 力。
不等式②：ac bd a d bc
（引导学生思考、交流，然后个别提问， 再和其他学生分析、评价）
1、让学生在反思中加深 了对用柯西不等式的二维 形式解题的方法的理解。
2、学生在反思中暴露的 问题真实体现了学生的思 维障碍，教师在此稍加点 拨，就能取得很好的教学 效果。
（一）、创设情境
设计意图
已知r、r是两个非零向量，
1、让学生在解决问题 的过程中体会用柯西不等 式的二维形式解决问题的 方法。
2、培养数学能力是数学 教学的根本点，也是形成 良好认知结构的核心成分 这样设计既突出了教学重 点又化解了教学难点，还 使学生的思维得到了锻炼
（四）、理解深化
设计意图
问进问题行例题6证1：7和明：例，不 不 矛等 等 盾2但都式 式 吗证可((？aa明22它以过们bb用22程之 ))((柯cd有间22西有何dc不22什区)) 等么别((aa区式cd？别bb？dc))22与 1、让学生在反思中加深
（要注意每种方法的特点、适用范围、及 最佳的“知识生长点”，是
解题格式）
学生思维的 “最近发展区”
（一）、创设情境
设计意图
已知r、r是两个非零向量，
师求：证前：面r 我r们学r习 r了哪几种证明不等式的
方问法题1？：当满足什么条件时，不等式
(比取较等法号？、分析法、综合法、反证法、放缩法)
数学界造成了极大的影响。1816年 （27岁）成为巴黎 综合工科学校教授，并当选为 法国科学院 院士.柯西对高等数学的大量贡献包 用数学家成才的故事， 括分：方无程穷，级行数列的式敛，散概性率，和实数变理和方复程变等函方数面论的研,微究．鼓服提励困高学难学生的生要决学习有心数敢和学于勇克气， 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定 的能动性。 义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的
1、附板书设计
( x12 y12 )(x22 y22 ) ( x1 x2 y1 y2 )2 x12 y12 x22 y22 x1 x2 y1 y2 (当 且 仅 当x1 y2－x2 y1＝0时 取 等 号)
不等式①： ad bc a c bd
不等式②： ac bd a d bc
（三）、初步运用
例1、已知a, b为任意实数，请证明
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3 )2
设计意图
(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影
出来，让学生比较、分析、评价)
1、通过比较各种证明 方法，凸显柯西不等 式在解题中的优越性。
（三）、初步运用
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”
x12 y12 x22 y22 x1x2 y1 y2
(当且仅当x1 y2－x2 y1＝0时取等号)
（二）、实施探究
设计意图
柯西（Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857 ）是法国数学家、力学 家。1811及1812年向法国科学院 提交了 两篇关于多面体的论文，在
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能
师问：题2在：运取消用已这知些中方的法“非解零题”时，需不要等式注意哪些
方还面成？立吗？ （问要题注3：意设每r＝种（方x1, y法1）,的r＝（特x点2, y2）、,则适上述用不范等式围、及
解题格的式坐）标表示为 _______________
激发学生的探究欲望。
实施探究
创设情境
（一）、创设情境
设计意图
师：前面我们学习了哪几种证明不等式的
方法？
(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法)
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能
激发学生的探究欲望。
师：在运用这些方法解题时需要注意哪些
方面？
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的
向量形式，是这节课内容
柯西不等式（一）
柯西不等式（一）
说教材 说学情 说目标 说教法 说学法 说教学过程
一、说教材
（一）、教材的地位和作用：
柯西不等式是人教A版选修4－5不 等式选讲中第三讲的内容，是学生继平 均值不等式后学习的又一个经典不等式， 它在教材中起着承前启后的作用：一方 面可以巩固学生对不等式的基本证明方 法的掌握，另一方面又为后面学习三角 不等式、排序不等式打下了基础。运用 柯西不等式可以解决中学数学中一些比 较典型的数学问题，例如：证明不等式、 求最值等。
认识事物的过程实质就是“观察－发现、猜想－ 论证－应用－再发现－再论证－再应用…”的过程
（六）、设置悬念
问题9：柯西不等式的三维、四维、
n维的形式是怎样的？如何推导？
问题10：还有没有其他方法来证明
柯西不等式的二维形式？
作业：第37页 第4、8题
设计意图
这是本节课的一个升华 之处。以问题的形式引 出柯西不等式的三维、n 维形式的推导，为下节课 作好了铺垫。既使学生掌 握基础知识，又使学有余 力的学生有所提高。
（一）、创设情境
已知r、r是两个非零向量，
求证：r
r
r
r
问题1：当满足什么条件时，不等式
取等号？
问题2：取消已知中的“非零”，不等式 还成立吗？
问题 3： 设r＝（x1
,
r y1）, ＝（x2
,
y2）,则上述不等式
的坐标表示为 _______________
x12 y12 x22 y22 x1x2 y1 y2
通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法， 培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。
四、说教法
因为学生学习数学的过程实际上是学生完善数学认知结构 的过程，教师的职责就是引导学生形成良好的数学认知结构， “教是为了不教”就是这一思想的反映，而探究式学习的本质 就是学生的自主建构，所以我在柯西不等式的发现、证明以及 例题的讲解中均采用问题探究式教学法：通过精心设置问题链， 使教学过程活动化，促使学生积极主动地参与教学活动。在整 个教学过程中我鼓励学生互相讨论，合作交流。另外我采用了 多媒体进行教学，既提高了教学效率，使得课堂各个环节紧凑， 学生思维连贯顺畅；又为师生、生生之间的交流提供了广阔的 平台。