数学分析14.2函数的幂级数展开

第十四章 幂级数 2 函数的幂级数展开
一、泰勒级数
概念：若函数f 在点x 0的某邻域上存在直至n+1阶的连续导数，则
去除泰勒公式的拉格朗日型余项R n (x)=
1n 01)(n )x x (1)!(n )
ξ(f ++-+后所得级数： n
00
n 0(n))x -(x n!)(x f ∑∞
==f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+2!)(x f 0''(x-x 0)2+…+ n!)(x f 0(n)(x-x 0)n +… 称为函数f 在x 0处的泰勒级数.
例1：证明：函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ，
00x ，e 2
x
1- 在x=0处的泰勒级数收敛，但不收
敛于函数本身.
证：∵在x=0处，f (n)(0)=0, n=1,2,…，∴f 在x=0处的泰勒级数为 0+0·x+
2!0
·x+…+n!
0·x+…，它在(-∞,+∞)上收敛，且其和函数S(x)=0， 显见，对于一切x ≠0，f(x)≠S(x)，得证！
定理14.11：设f 在点x 0具有任意阶导数，那么f 在区间(x 0-r,x 0+r)上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式|x-x 0|<r 的x ，有∞
n lim →R n (x)=0，其中R n (x)是f 在x 0处的泰勒公式余项.
注：若f 在点x 0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f 在点x 0的这一邻域上可以展开成泰勒级数，并称等式：
f(x)=f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+2!
)(x f 0''(x-x 0)2
+…+ n!)(x f 0(n)(x-x 0)n +…右边为f 在x 0处
的泰勒展开式，或称幂级数展开式，其具有唯一性. 当x 0=0时，
n 0
n (n)x n!(0)f ∑∞
==f(0)+f ’(0)x+2!(0)f ''x 2
+…+ n!(0)f (n)x n +…称为f 的麦克劳林级数.
积分型余项：R n (x)=
n
x 01)(n )t x ((t)f n!
1-⎰+dt ； 拉格朗日型余项：R n (x)=
1n 01)(n )x x (1)!
(n )
ξ(f ++-+, ξ在0和x 之间； 柯西余项：R n (x)=1n n 1)(n x )θ1)(θx (f n!
1
++-, 0≤θ≤1.
二、初等函数的幂级数展开式
例2：证明k 次多项式函数f(x)=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c k x k 的展开式是它本身. 证：∵f (n)(0)=⎩⎨
⎧>≤k n ，
0k
n ，c !n n ，总有∞n lim →R n (x)=0，
∴f(x)=f(0)+f ’(0)x+2!
(0)f ''x 2
+…+ k!(0)f (k)x k =c 0+c 1x+c 2x 2+…+c k x k ，
即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.
例3：求函数f(x)=e x 的展开式.
解：∵f (n)
(x)=e x
，f (n)
(0)=1 (n=1,2,…). ∴R n (x)=
1n θx
x 1)!
(n e ++, 0≤θ≤1. 又对任意实数x ，|R n (x)|≤
1
n θx x 1)!
(n e ++→0 (n →∞)，∴∞n lim →R n (x)=0. ∴e x
=1+x+2!1x 2+…+n!1x n
+…=∑∞
=0n n n!
x ，|x|<+∞.
例4：求sinx 和cosx 的展开式. 解：∵(sinx)(n)=sin(x+
2
n π
), (n=1,2,…)；又(sin0) (2k)=0, (sin0)(2k-1)=(-1)k+1. ∴|R n (x)|=1)!
(n x 2π1)(n ξsin 1
n +⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+++≤1)!(n x 1n ++→0 (n →∞)，∴∞n lim →R n (x)=0.
∴sinx=x-3!1x 3 +5!1x 5
+…+1)!(2n x (-1)12n n +++…=∑∞
=++0
n 12n n 1)!(2n x (-1)，|x|<+∞.
逐项求导得：cosx=1-2!1x 2+4!1x 4
+…+(2n)!x (-1)2n n +…=∑∞
=0
n 2n n (2n)!x (-1)，|x|<+∞.
例5：求下列函数的展开式：(1)f(x)=ln(1+x)；(2)f(x)=lnx 在x=1处. 解：(1)∵f (n)(x)=n
1
-n x )1(1)!-(n )1(+-，f (n)(0)=(-1)n-1
(n-1)!, (n=1,2,…). 对f 的麦克劳林级数x-21
x 2 +31x 3 +…+(-1)n-1n
1x n +…求收敛半径
R=n
(-1)1)(n (-1)lim n 1-n ∞n +→=1，又当x=1时，收敛；当x=-1时，发散， ∴该级数的收敛域是(-1,1]. 当0≤x ≤1时，
|R n (x)|=1
n 1n n x ξ)(11)!(n n!)1(++++- =1
n n ξ1x 1n )1(+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-≤
1
n 1
+→0 (n →∞)， 当-1<x<0时，|R n (x)|=1n n 1
n n x θ)(1θx)(1n!n!)1(++++-=n
1
n θx 1θ1θx 1x ⎪⎭⎫
⎝⎛+-++, 0≤θ≤1.
∵0≤θx 1θ
1+-≤1, ∴|R n (x)|≤θx
1x 1n ++≤x 1x 1
n -+→0 (n →∞). ∴∞n lim →R n (x)=0.
从而ln(1+x)=x-21x 2 +31x 3 +…+(-1)n-1n 1x n
+…=∑∞
=1
n n 1-n n x (-1), x ∈(-1,1].
(2)设1+t=x ，则lnx=ln(1+t), t ∈(-1,1]. ∵ln(1+t) =∑∞
=1
n n
1-n n t (-1), t ∈(-1,1].
∴lnx 在x=1处的展开式为：lnx =∑∞
=1
n n
1-n n )1-(x (-1), x ∈(0,2].
例6：讨论二项式函数f(x)=(1+x)a 的展开式.
解：当a 为正整数时，二项式展开式为f(x)=0a C +1a C x+2a C x 2+…+a a C x a
； 当a 不等于正整数时，f (n)(x)=a(a-1)…(a-n+1)(1+x)a-n , n=1,2,… f (n)(0)=a(a-1)…(a-n+1), n=1,2,…对f(x)的麦克劳林级数 1+ax+2!1)-a(a x 2+…+n!
1)+n -(a …1)-a(a x n
+…求收敛半径 R=n)
-(a …1)-a(a n!1)
+n -(a …1)-a(a 1)!(n lim
∞n +→=1，又当x=±1时，若a ≤-1, 发散；
若-1<a<0, x=1收敛, x=-1发散；若a>0, 收敛. ∴收敛域不确定.
又当|x|<1时，R n (x)=1-a n
1n )θx 1(θx 1θ1x n!n)-(a 1)-a(a +⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⋯+, 0≤θ≤1.
由级数∑
∞
=+⋯0
n 1
n x n!n)-(a 1)-a(a 在(-1,1)收敛，知1n ∞n x n!n)-(a 1)-a(a lim
+→⋯=0. 又0≤θx 1θ1+-≤1, ∴0<1
-a n
)θx 1(θx 1θ1+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-≤(1+θx)a-1<(1+|x|)a-1≤2a-1.
∴∞n lim →R n (x) =1-a n
1n ∞n )θx 1(θx 1θ1x n!n)-(a 1)-a(a lim +⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⋯+→=0. 从而有 (1+x)a
=1+ax+2!
1)x -a(a 2+…+n!1)x +n -(a …1)-a(a n +…
=1+∑∞
=1
n n
n!1)x +n -(a …1)-a(a , |x|<1.
注：当a=-1时，x 11+=1-x+x 2+…+(-1)n x n
+…=∑∞
=-0
n n n x )1(, |x|<1.
当a=-2
1
时，
x
11+=1-21x+
4
231⋅⋅x 2
+…+(-1)n !)!n 2(!!1)-(2n x n +…
=1+∑∞
=1n n n
x !)!n 2(!!1)-(2n (-1)=∑∞=++0n n n x 1)(2n !)!n 2(!
!1)(2n (-1), x ∈(-1,1].
例7：求下列函数的展开式： (1)
2x 11
+；(2)2x
11-；(3)arctanx ；(4)arcsinx. 解：(1)记t=x 2
, ∵t 11+=∑∞=-0n n n t )1(, |t|<1. ∴2
x 11+=∑∞
=-0
n 2n
n x )1(, |x|<1. (2)记t=-x 2
, ∵t
11+=∑∞
=++0
n n n
t 1)
(2n !)!n 2(!
!1)(2n (-1), t ∈(-1,1].
∴
2
x 11-=∑
∞
=++0n 2n x 1)
(2n !)!n 2(!
!1)(2n , |x|<1.
(3)对(1)逐项求积：arctanx=∑∞
=++-0
n 1
2n n
12n x )1(, |x|<1.
(4)对(2)逐项求积：arcsinx=∑∞
=+++0n 2
1
2n )
1n 2(!)!n 2(x !!1)(2n , |x|≤1.
例8：求下列函数在x=0处的幂级数展开式： (1)f(x)=(1-x)ln(1-x)；(2)f(x)=ln
x
1x
1-+. 解：(1)记t=1-x ∈(0,2), ∵lnt 在t=1处的幂级数展开式为：
lnt=∑∞
=1
n n
1-n n )1-(t (-1), t ∈(0,2]. ∴ln(1-x) 在x=0处的幂级数展开式为：
ln(1-x)=∑∞
=-1n n
n
x , x ∈[-1,1).
∴(1-x)ln(1-x)=∑∞=+1n 1n n x -∑∞=1n n n x =∑∞=2n n 1-n x -∑∞=2n n n x -x =-x+∑∞
=2
n n
1)-n(n x , x ∈[-1,1).
(2)∵ln(1+x)=∑∞
=1
n n 1
-n n x (-1)
, x ∈(-1,1]；ln(1-x)=∑∞
=-1n n
n
x , x ∈[-1,1). ∴ln
x
1x
1-+在x=0处的幂级数展开式为： ln x 1x 1-+=ln(1+x)-ln(1-x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1)+∑∞=1n n n x =2∑∞
=1n 1-2n 1
-2n x , x ∈(-1,1).
例9：计算ln2的近似值，精确到0.0001.
解：由ln x 1x 1-+=2∑∞=1n 1-2n 1-2n x , x ∈(-1,1). 当x=31时，ln2=21-2n 1n 3
1
1-2n 1⋅∑
∞
=.又 0<R n =2⎪⎭⎫
⎝⎛⋯+⋅++⋅+++32n 12n 3132n 13112n 1<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯+++++4212n 313
111)(2n 32
=
2
1
2n 31111)
(2n 32
-⋅++=
1)(2n 3411-2n +⋅. 当n=4时，0<R n <7
3
941
⋅⋅<0.0001. ∴ln2≈21-2n 4
1n 3
11-2n 1⋅∑==2⎪⎭⎫
⎝⎛⋅+⋅+⋅+75331713151313131≈0.6931.
例10：用间接方法求非初等函数F(x)=⎰x
0t -2
e dt 的幂级数展开式.
解：记x=-t 2, 由e x
=∑∞
=0n n n!x ，|x|<+∞，得2
-t e =∑∞
=-0
n n 2n n!t )1(，|t|<+∞. 又
R=1
n n ∞n a a lim +→=n!)1(1)!(n )1(lim 1n n ∞n +→-+-=+∞，∴∑∞
=-0n n
2n n!t )1(在(-∞,+∞)内闭一致收敛. ∴⎰x
0t -2
e dt=∑⎰∞
=-0
n x
n 2n n!t )1(dt=∑∞
=++-0
n 1
n 2n 1)(2n n!x )1(, |x|<+∞.
习题
1、设函数f 在区间(a,b)上的各阶导数一致有界，即存在M>0，对一切x ∈(a,b)，有|f (n)(x)|≤M, n=1,2,…. 证明：对任意x,x 0∈(a,b)有
f(x)=∑∞
=-0
n n 00)n ()x x (!n )x (f , (f(0)(x)
=f(x), 0!=1). 证：对任意x,x 0∈(a,b)，
∵|R n (x)|=1n 01)(n )x -(x 1)!(n ) (ξf +++≤1n a)-(b 1)!(n M
++→0 (n →∞)，
由定理14.11可知：f(x)=∑∞
=-0
n n 00)n ()x x (!n )
x (f .
2、利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间：
(1)2
x e ；(2)x 1x 10-；(3)x
21x -；(4)sin 2
x ；(5)x -1e x ；
(6)22x -x 1x +；(7)⎰x 0t sint dt ；(8)(1+x)e -x
；(9)ln(x+2x 1+). 解：(1)记t=x 2, 由e t
=∑∞
=0n n n!t ，|t|<+∞，得2
x e =∑∞
=0n n 2n!
x ，|x|<+∞.
(2)∵x 11-=∑∞=0
n n
x , |x|<1. ∴x 1x 10-=∑∞
=+0n 10n x , |x|<1.
(3)记t=-2x ，由
t
11+=∑∞
=++0
n n n
t 1)
(2n !)!n 2(!
!1)(2n (-1), t ∈(-1,1].得
x 211
-=∑
∞
=+⋅+0n n n x 1)(2n !)!n 2(2!!1)(2n =∑∞=++0n n x 1)
(2n !n !!1)(2n , x ∈[-21,21
). ∴
x
21x -=∑
∞
=+++0n 1
n x 1)
(2n !n !!1)(2n , x ∈[-21,21).
(4)sin 2
x=2cos2x
-1；由cost=∑∞
=0
n 2n n (2n)!t (-1), |t|<+∞，得
cos2x=∑∞
=-0
n n
2n
)!(2n (2x ))1(, |x|<+∞.
∴sin 2
x=21-∑∞=-0
n n 2n )!(2n (2x ))1(21=∑∞
=+-1n n 21-n 21n x )!(2n 2)1(, |x|<+∞. (5)∵e x
=∑∞
=0n n !
n x , |x|<+∞；x 11
-=∑∞
=0n n x , |x|<1.
∴x -1e x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=0n n !n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=0n n x =∑∑∞==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n n 0k x !k 1, |x|<1. (6)2
2x -x 1x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x 211x 1131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑∑∞=∞=0n n n 0n n (2x)(-1)x 31 =n n 0n ]x (-2)[131-∑∞=, |x|<2
1
. (7)由sint=∑∞
=++-0n 1n 2n )!1(2n t )1(，|t|<+∞，得t sint =∑∞=+-0n n 2n )!
1(2n t )1(，|t|<+∞.
∴⎰x
t sint
dt=⎰∑∞=+-x 00n n 2n )!1(2n t )1(dt=∑⎰∞=+-0n x 0n 2n )!1(2n t )1(dt=∑∞=+++-0
n 1n 2n )!11)(2n (2n x )1(，|x|<+∞.
(8)由e t
=∑∞
=0n n !n t ，|t|<+∞，得e -x
=∑∞
=0
n n n !n x (-1)，|x|<+∞，
∴(1+x)e -x
=∑∞
=0n n n !n x (-1)+∑∞=+0n 1n n !n x (-1)=1+∑∞
=++1
n 1
n n !1)(n nx (-1)，|x|<+∞.
(9)[ln(x+2
x 1+)]’=
2
x 11+，由
t
11+=1+∑∞
=1
n n
n
x !
)!n 2(!!1)-(2n (-1), t ∈(-1,1]，得 2
x 11+=1+∑∞
=1n 2n
n
x !
)!n 2(!!1)-(2n (-1), |x|≤1. ∴ln(x+2
x 1+)=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=x
1n 2n n t !)!n 2(!!1)-(2n (-1)1dt =x+∑⎰∞=1n x 02n n x !)!n 2(!!1)-(2n (-1)
=x+∑∞
=++1
n 1
2n n
x )1n 2(!)!n 2(!!1)-(2n (-1)=∑∞
=+++0n 12n 2
n
x )1n 2(!)!n 2(!!1)(2n (-1),|x|≤1.
3、求下列函数在x=1处的泰勒展开式. (1)f(x)=3+2x-4x 2+7x 3；(2)f(x)=x
1.
解：(1)f(1)=8；f ’(1)=15；f ”(1)=34；f ”’(1)=42；f (n)(1)=0 (n ≥4). ∴在x=1处，f(x)=8+15(x-1)+17(x-1)2+7(x-1)3, |x|<+∞.
(2)f(x)=x 1
=1)-x (11+=∑∞
=0
n n n 1)-(x (-1) , |x-1|<1.
4、求下列函数的麦克劳林级数展开式： (1)
)
x 1)(x 1(x 2
--；(2)xarctanx-ln 2
x 1+. 解：(1)令
)x 1)(x 1(x 2--=x )1()x 1(x 2+-=x 1A -+2
x )1(B -+x
1C
+， 可得A=-4
1，B=21
，C=-4
1. ∴
)x 1)(x 1(x 2--=-x 1141-⋅+2
x )1(121-⋅-x
11
41+⋅ =-∑∞=0
n n x 41-∑∞=0n n
n x (-1)41+∑∞=+0n n 1)x (n 21=∑∞=+
0n n n ]x 2(-1)-1[n 21, |x|<1. (2)arctanx=∑∞
=++-0n 1
2n n
12n x )1(=∑∞
=--1n 12n 1-n 1n 2x (-1), |x|<1.
ln 2
x 1+=2
1ln(1+x 2)=∑∞=1n 2n
1-n n x (-1)21, |x|≤1. ∴xarctanx-ln 2
x 1+=∑∞
=-1n 2n 1-n 1n 2x (-1)-∑∞=1
n 2n 1-n 2n x (-1)=∑∞
=-1n 2n 1-n 1)n 2n(2x (-1), |x|<1.
5、试将f(x)=lnx 按
1
x 1
x +-的幂展开成幂级数.
证：∵ln x 1x
1-+=2∑∞
=++0
n 12n 12n x , |x|<1.
∴lnx=x
1x 11x 1x
11+--
+-+
=212n 0n x 1x 112n 1+∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛+-+∑, |x|<1.。