控制系统的数学模型

ia(t) Ra ua(t)
La n ea(t) M
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第2章 控制系统的数学模型
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解：电枢回路电压平衡方程
dia (t ) u a (t ) ia (t ) Ra La ea (t ) at
u a ——电动机电枢电压（V）； i a ——电动机电枢电流（A）； Ra ——电枢绕组的电阻； La ——电枢绕组的电感（H）； ea ——电枢绕组的感应电动势（V）； 电动势平衡方程 ea (t ) Ce (t )
i(t ) C
duo (t ) dt
i(t) ui(t)
R
L C
duo (t ) d 2 u o (t ) RC LC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
uo(t)
(4) 整理后得电路微分方程为：
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
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〖例2.2〗如图所 示为质量－弹簧 －阻尼系统，试 列写以位移y为 输出量，以作用 力F为输入量的 微分方程。
F f
k
m
y
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解：根据牛顿定律有
F ma
k
合源自文库为
F F F
Ff
其中弹性阻力
Fk ky
自动控制原理教程
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主要内容
控制系统数学模型的概念 控制系统的微分方程 控制系统的结构图和信号流图表示及如何利用它 们推导整个系统的传递函数
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2.1 控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
——电动机电枢回路的电磁时间常数（s）； ——电动机的机电时间常数（s）；
Ra dTL d 2 (t ) d (t ) 1 TaTm Tm (t ) u a (t ) (TL Ta ) 2 dt Ce Ce C m dt dt
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2.1.3．线性定常微分方程的求解 利用拉普拉斯变换法求解微分方程的一般步 骤如下。 对微分方程进行拉氏变换； 求输出响应的拉氏变换表达式； 对输出响应拉氏变换函数求拉氏反变换。
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〖例2.4〗 如图所示电路，已知：
R 1, C 1F , uo (0) 0.1V , ui (t ) 1(t )
建立系统数学模型的方法
实验法 解析法
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系统的数学模型
图 模 型： 动态结构图 数学模型： 微分方程 信号流程图 传递函数 频率特性
模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研 究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分 析研究系统的内部结构情况，取其图模型比较直观； 若两者皆有，则取其图模型比较合理。
代入参数整理，得 sU o (s) 0.1 U o (s) U i (s) 又
1 U i (s) s
所以输出响应函数的拉氏变换式
U o ( s)
求 uo (t )
i(t) R
解：（1） 列电路微分方程
ui(t)
C
uo(t)
duo (t ) RC u o (t ) u i (t ) dt
（2） 对微分方程进行拉氏变换
RCsU o (s) RCuo (0) U o (s) U i (s)
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Te ——电动机轴上产生的电磁转矩（N·m）；
整理得 设 有
La J a d 2 (t ) Ra J a d (t ) Ra La dTL Ce (t ) u a (t ) ( TL ) 2 Cm Cm dt Cm Cm dt dt
Ta
Tm
La Ra
Ra J a Ce C m
——电动机的电枢旋转角速度；
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Ce ——电动机的电动势系数；
电磁转矩平衡方程
d (t ) Te TL J a dt
Te Cm ia (t )
TL ——负载转矩（N·m）； J a ——转动部分折算到电动机轴上的总转动惯量； C m ——电动机的转矩系数；
dy Ff f dt
粘滞阻力
有
dy d2y F ky f m 2 dt dt
经整理得质量－弹簧－阻尼系统微分方程为
d2y dy m 2 f ky F dt dt
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〖例2.3〗如图所示为直流电动机系统， 试以电枢电压为输入量，以电机角速度 为输出量，列出系统微分方程。
2.3 控制系统的动态结构图
2.4 信号流图 2.5 系统数学模型在MATLAB中的表示 小结
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2.1 控制系统的微分方程
微分方程是控制系统最基本的数学模型，一 个控制系统由若干具有不同功能的环节组成，首 先要根据各个环节所服从的运动规律，列写每个 环节的微分方程，然后从得到的微分方程组中消 去中间变量，就可得到控制系统总的输入和输出 关系的微分方程。
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2.1.1编写系统微分方程的步骤
明确输入量与输出量。输人量是外加到系统的变， 输出量是要研究的系统变量；
从系统输入端开始，按信号传递顺序，依次写 出系统各环节的微分方程； 消去中间变量，写出只含输入量、输出量关系 的微分方程； 把微分方程整理成标准形式。即输出量在方程 左边，输入量在方程右边，并按照变量导数的 降阶次序排列。
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〖例2.1〗如图所示为RLC串联电路，试列写电路的微 分方程。
u o (t ) 为输出量 ui (t ) 为输入量， 解：(1) 确定输入输出量： (2) 列微分方程：
di (t ) Ri (t ) L u o (t ) u i (t ) dt (3) 消去中间变量 i (t ) ：