单自由度体系地震作用计算原理

应采用时程分析法计算的建筑结构
• 质量和刚度沿竖向分布特别不规则的建筑 • 甲类高层建筑结构 下表所列的乙、丙类高层建筑结构 设防烈度、场地类别 、建筑高度范围 (m) 7度和8度Ⅰ、Ⅱ类场地 ＞100 8度Ⅲ、Ⅳ类场地 ＞80 9度 ＞60
水平地震作用取值；可取多条时程曲线计算结果的平均值与 （振型分解）反应谱法计算结果的较大值
并注意到物体振动的一般规律为：加速度最大时，速度最小（），则由 上式近似可得：
F | kx(t ) |max | m 2 x(t ) |max
m | g ( )e (t ) sin (t )d |max mSa x
0 t
x x 其中： S a (t ) g
根据达朗贝尔原理
FI (t ) Fd (t ) Fe (t ) 0
m(t ) cx(t ) kx(t ) m (t ) x x
g

k m
两边同除 以m
可把方程右边的函数看做动荷载
(t ) 2x(t ) 2 x(t ) g (t ) x x

t
---Duhamel积分
P( ) (t ) y (t ) e sin D (t )d 0 m D
t
方程的通解
• 通解与特解之和，即为常微分方程的通解。 • 结构体系自由振动反应，一般可不考虑，而 仅取强迫振动反应作为单自由度体系水平地震位 移反应。
x(t )
计算简图及结构自由度
• 与静力计算一样，在动力计算中也需要选取一个 合理的计算简图。体系自由度是指为了确定运动 过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立几 何参数的数目。 • 体系简化方法有：集中质量法，广义坐标法，有 限元法。 • 结构动力计算简图通常是一个具有若干个集中质 量的竖向悬臂杆（葫芦串）(集中质量)模型。根 据集中质量的数量多少，结构可分为单质点体系 和多质点体系
ห้องสมุดไป่ตู้
迪拜哈利法塔
高层建筑
烟囱
集中质量
多层建筑及其计算简图
烟囱及其计算简图
等高单层厂房及其计算简图
单自由度体系
定义： 单质点体系：将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无 质量的弹性直杆支承于地面上的体系； 单向振动体系：当一个单质点体系只作单向振动时，形成一 个单自由度体系。 分类： 线性单自由度体系：主要表现为线性阻尼和线性刚度，动力 学微分方程中除出现响应函数及其一阶和二阶导数的一次项（第一阶 段，结构在多遇地震下的弹性验算） 非线性单自由度体系：主要表现为非线性阻尼和非线性刚度， 力学微分方程中除出现响应函数及其一阶和二阶导数的一次项外,还 出现它们的高次项时,方程称为非线性的（第二阶段，结构大变形在 罕遇地震下的弹塑性验算）。 意义； 单自由度体系的动力分析虽然比较简单，但是非常重要。这 是因为:第一很多实际的动力问题常可按单自由度体系进行计算，或 进行初步的估算。第二，单自由度体系的动力分析是多自由度体系动 力分析的基础.只有牢固地打好这个基础，才能顺利地学习后面的内 容。
2.反应谱理论---反应谱法
1940年，美国皮奥特提出。 地震作用
F kG
按静力计算方法计算结构的地震效应
目前，世界上普遍采用的方法。
结构动力计算方法


达朗贝尔：在任一时刻t，质点在主动惯性 力、阻尼力及弹性恢复力三者作用下保持 动力平衡 虚功原理：用于复杂从自由度的动力计算 变微分：
地震作用下线弹性单自由度体系的运动方程
• 为了研究单质点弹性体系的水平地震反应，根据结构的 计算简图并进行受力分析，从而建立体系在水平地震作 用下的运动方程（动力平衡方程）
FI (t ) m[g (t ) (t )] x x
Fd (t ) cx(t )
Fe (t ) kx(t )
单自由度体系地震反应

线性单自由度体系在任意加速度作用下 反应的数值计算
非线性单自由度体系在任意加速度作用 下反应的数值计算

地震
地震作用 • 地震时由于地面运动使原来处于静止的建筑受到动力作用，产生 强迫振动。我们将地震时由地面运动加速度振动在结构上产生的 惯性力称为结构的地震作用（earthquake action）。在建筑抗震 设计中，通常采用最大惯性力作为地震作用。根据地震引起建筑 物主要的振动方向，地震作用分为水平地震作用和竖向地震作用。 结构地震反应 • 结构地震反应是指地震时地面振动使建筑结构产生的内力、变形、 位移及结构运动速度、加速度等的统称。可分类称为地震内力反 应、地震位移反应、地震加速度反应等。结构地震反应是一种动 力反应，其大小与地面运动加速度、结构自身特性等有关，一般 根据结构动力学理论进行求解。结构地震反应又称地震作用效应。
结构抗震理论的发展
1.静力理论阶段---静力法
m
mg (t ) x
1920年，日本森房吉提出假设建筑物为绝对刚体 G F mg max g max Gk x x 地震作用 g g (t ) x g max x k ---地震系数 g 将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应未考虑结构自身的动力特性等

| g (t ) |max x g

由于地震的随机性， 每次的地震记录也不一 样，地震反应谱也不同。 所以，不能用某一次的 地震反应谱作为设计地 震反应谱。因此，为满 足一般建筑的抗震设计 要求，应根据大量强震 记录计算出每条记录的 反应谱曲线，并按形状 因素进行分类，然后通 过统计分析，求出最有 代表性的平均曲线称为 标准反应谱曲线，以此 作为设计反应谱曲线。
1


t
0
g ( )e (t ) sin (t )d x
单自由度体系水平地震作用的计算及反应谱法
水平地震作用就是地震时结构质点上受到的水平方向的 最大惯性力，即
F FI |max m | g (t ) (t ) |max | x(t ) cx(t ) |max x x
地震作用计算的设计反应谱
由地震反应谱可计算单自由度体系水平地震作用为
F mSa (T )
将公式变形为
| g (t ) |max x g
F mSa (T ) mg
Sa (T ) GE k GE | g (t ) |max x
S a (T ) | g (t ) |max x
0.05
地震作用的计算方法
• （1）根据计算简图确定结构的重力荷载代 表值和自振周期。 • （2）根据结构所在地区的设防烈度、场地 类别及设计地震分组，按表规范确定反应 谱的水平地震影响系数最大值和特征周期。 • （3）根据结构的自振周期，按地震影响系 数谱曲线中相应的区段确定地震影响系数。 • （4）计算水平地震作用值。
抗震验算

多遇地震
强度
S R / RE
结构弹性变形验算
ue e h
非线性单自由度体系在任意加速度作用下反 应的数值计算
• 分析承受任意动力荷载的线性结构，Duhamel积分通常提供了最方便 的解法。但是必须强调，因为在这两种方法的推导过程中都使用了叠 加原理，所以它们只能适用于线性体系，也即在反应过程中休系的特 性保持不变的情况。另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体 系并不能视作线性的。例如，足以引起严重破坏的地震运动下的建筑 物反应等等。因此，还需要发展适用于非线性体系的其它分析方法。 • 对于非线性分析，最有效的方法大概是逐步积分法，在这种方法中， 采用一系列短时间增量△t计算反应，而通常为了计算方便起见，取 △t为等步长，在每个时刻间隔的起点和终点建立动力平衡条件，并以 一个假没的反应机理为根据，近似地计算在时间增量范图内体系的运 动(通常忽略在时间间隔内可能产生的不平衡)。体系的非线性特性可 用每个时间增量起点所求得的当前变形状态的新特性来说明，利用本 计算时间区间终点的速度和位移作为下一计算时间区间的初始条件从 而可得到整个反应；因此，这个过程可以逐步地从加荷开始时起进行 到任何所要求的时间，而非线性特性则可用一系列相继改变的线性体 系来逼近。
结构弹塑性时程分析方法的步骤
（1）按照建筑场址的场地条件、设防烈度、震中距 远近等因素，选取若干条具有不同特性的典型强 震加速度时程曲线，作为设计用的地震波输入。 （2）根据结构体系的力学特性、地震反应内容要求 以及计算机存储量，建立合理的结构振动模型。 （3）根据结构材料特性、构件类型和受力状态，选 择恰当的构件恢复力模型，并确定相应线段的刚 度数值。 （4）建立结构在地震作用下的振动微分方程： （5）采用逐步积分法求解振动方程．求得结构地震 反应的全过程。
时程分析法（ time-history method ）
• 定义：由结构基本运动方程沿时间历程进行积分求解结构 振动响应的方法。由于此法是对运动方程直接求解，又称 直接动力分析法。 • 概述：时程分析法是世纪60年代逐步发展起来的抗震分析 方法。用以进行超高层建筑的抗震分析和工程抗震研究等。 至80年代已成为多数国家抗震设计规范或规程的分析方法 之一。 • 原理： 时程分析法在数学上称步步积分法,抗震设计中 也称为“动态设计”。由结构基本运动方程输入地面加速 度记录进行积分求解，以求得整个时间历程的地震反应的 方法。 此法输入与结构所在场地相应的地震波作为地震 作用,由初始状态开始, 一步一步地逐步积分,直至地震作用 终了。
输入地震动的选择
《规范规定》：采用时程分析法时应按建筑场地类别和设计地震分组选
用不少于二组的实际强震记录和一组人工模拟的加速度时程曲线
输入地震动分为三种类型：1)拟建场地的实际强震记录；2)典型的强 震记录；3)人工模拟地震波。 频谱、强度、持时全方位考虑
结构时程分析的计算模型
• 层模型 • 杆系模型 • 有限元模型
x0 x0
d
sin d t )
2.单自由度体系受迫振动--特解
P(t ) m
将荷载看成是连续作用的一系列 冲量，求出每个冲量引起的位移后将 这些位移相加即为动荷载引起的位移。
P(t ) y(t ) P( )
t

动荷载的位移反应 t P( ) y (t ) sin (t )d 0 m 计阻尼时

c 2m
1
1
运动方程的求解
1
线性常微分方程式的通解等于齐次解和特解之和。齐次解 代表体系的自由振动反应，特解代表体系在地震作用下的 强迫振动反应。因此，相应的地震反应由下式计算 体系的地震反应=自由振动反应+强迫振动反应
单自由度体系动力学分析回顾
1.单自由度体系自由振动—齐次方程
构件恢复力模型
形式很多：如双线型模型、三线型模型、退化二线型等、 退化三线型等， 恢复力模型由两部分组成包括：骨架曲线（各次滞回曲线 峰值点的联系）和滞回规则。
数值积分法
• 可以用迭代法和增量法进行处理！由于迭代法不能适合于 动态问题和性态与加载路径有关的材料，且不能描述加载 全过程，因此在地震反应分析中主要应用的是增量法。 • 用增量法求解地震反应方程有多种，如：中点加速度法、 线性加速度法、威尔逊－法(Wilson－)法、纽马克－ (Newmark-)法和龙格一库塔法等等。各种方法只在形成 拟静力增量方程时采用的基本假设不同，计算方法均由地 震反应增量方程出发，对于每个时间增量求出拟静力方程， 从而求解出此微小时间段的地震反应增量，再以此微段的 终点反应作为下一时间段的起始态，如此逐步计算下去， 即可得出全段的时程反应。
（1）无阻尼时
m kx 0 x
2
2 x 0 x
x(t ) ( x0 cos t
k m
（2）有阻尼时
m cx kx 0 x
2
k c , m 2m

x0
sin t )
2x 2 x 0 x
1 时 x(t ) e t ( x0 cos d t
max
g ( )e (t ) sin (t )d x
0
t
max
――质点加速度最大绝对值
地震反应谱
地震反应谱是指单自由度弹性体系最大地 震反应(量)与体系自振周期之间的关系曲线， 根据地震反应内容的不同，可分为位移反应谱、 速度反应谱及加速度反应谱。在结构抗震设计 中，通常采用加速度反应谱，简称地震反应谱