2019届四省八校双教研联盟高考高三联考试题数学理科试题(解析版)

四省八校双教研联盟高考联考试卷
理科数学
一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1、集合
2
1
A x
x
⎧⎫
=⎨⎬
⎩⎭
， B {}
220
x x x
=+-，则
U
A C
B =（）
A、(0, 2)
B、(0, 1]
C、(0, 1)
D、[0, 2]
2、已知（2 +i）y =x +yi，x, y ∈R ，则x
i
y
+=（）
A2B3C、2 D5
3、在公差不为0 的等差数列{a n }中满足4a3 +a11 -3a5 =10 ，则1
5
a4 =（）
A、-1
B、0
C、1
D、2
4、如图（1）为某省2016 年快递业务量统计表，图（2）某省2016 年快递业务收入统计表，对统计图下列理解错误的是（）
A、2016 年1~4 月业务量最高3 月最低2 月，差值接近2000 万件
B、2016 年1~4 月业务量同比增长率均超过50％，在3 月最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有
关
C、从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务的收入变化高度一致
D、从1~4 月来看，业务量与业务收入量有波动，但整体保持高速增长
5、m，n 是两不同直线，α是平面，n ⊥α，则m //α是m⊥n 的（）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分有不必要条件
6、现有3 名男医生3 名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能
全在同一组，则不同的派遣方法有（）
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A 、36
B 、54
C 、24
D 、60 7、某几何体三视图如右则该几何体体积为（ ） A 、
13 B 、23 C 、1 D 、4
3
8、如图为程序框图，则输出结果为（ ）
A 、105
B 、315
C 、35
D 、5
9、设 x ，y 满足240
20330
x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩，则
z =21y x +的范围（ ）
A 、19
[,]27
B 、118[,]27
C 、16[1,]5 D. 8[1,]5
10、已知在 Rt △ABC 中，A =
2
π
，AB =3，AC =4，P 为 BC 上 任意一点(含 B ，C )，以 P 为圆心，1 为半径作圆，Q 为圆上 任意一点，设AQ x =AB y AC +，则 x +y 的最大值为 （ ） A 、
1312
B 、1512
C 、17
12
D 、
19
12
11、已知椭圆与双曲线有公共焦点，F 1，F 2，F 1 为左焦点，F 2 为右焦点，P 点为它们 在第一象限的一个交点，且∠F 1PF 2=
4
π
，设 e 1，e 2 分别为椭圆双曲线离心率，则1211e e +
的最大值为（ ）
A 、 2
B 、 22
C 、32
D 、 42
12、 f ( x ) =222
2236()cos()
33
x x x x
e e m e e x ππ-++-有唯一零点，则 m =（ ）
A 、3
B 、2
C 、32
D 、1
2
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、设随机变量 X ~ B (6，
1
3 ) ，则 P （2＜X ＜4）=
14、262
(21)()x x x
--展开式中 x 4
的系数为
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15、f (x ) =sin 2(13tan )12sin 2()24
x
x x π+--的最小正周期为 16、已知球内接三棱锥 P -ABC 中，PA ⊥平面 ABC ,，△ABC 为 等边三角形，且边长 3，又球的体积为
323
π
，则直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值为
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）
17、（12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， a n +1 =41
21n S n --， a 1 = 1 且 n ∈ N .
(1) 求{a n }的通项公式；
(2) 设 a n b n n S {}n b 的前 n 项和为T n ，求证：T n < 32
(n ∈ N * ).
18、（12 分）四棱锥 P -ABCD 中平面 PAD ⊥平面 ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，M 为 AD 中点，PA =PD 5AD =AB =2CD =2. (1) 求证：平面 PMB ⊥平面 PAC ；
(2) 求二面角 A -PC -D 的余弦值.
19、（12 分）越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症， 经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表
其中
(1) 作出散点图；
(2) 根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = b ˆx + a ˆ (精确到 0.01)；
(3) 根据经验观测值为正常值的 0.85~1.06 为正常，若 1.06~1.12 为轻度焦虑，1.12~1.20
周数 x 6 5 4 3 2 1 正常值 y 55 63 72 80 90 99
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为中度焦虑，1.20 及以上为重度焦虑。

若为中度焦虑及以上，则要进行心理疏导。

若 一个学生在距高考第二周时观测值为 103，则该学生是否需要进行心理疏导？
20、（12 分）已知定点 R (1，0)，圆 S ： x 2+y 2
+2x -15=0 ，过 R 点的直线 L 1 交圆于
M ，N 两点,过 R 点作直线 L 2∥SN 交 SM 于 Q 点.
(1) 求 Q 点的轨迹方程；
(2) 若 A ，B 为 Q 的轨迹与
x 轴的左右交点，P (x 0，y 0)（ y 0 ≠ 0 ）为该轨迹上任一动 点，设直线 AP ，BP 分别交直线 l ：x = 6 于点 M ，N ，判断以 MN 为直径的圆是否过 定点。

如圆过定点，则求出该定点;如不是，说明理由.
21、（12 分）已知函数 f (x )= ax - ax ln x - 1 ( a ∈ R ，a ≠ 0) (1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2) 当 x ＞1 时，求证：
1
1
x -> e x - 1。

选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 22、[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xoy 中，曲线 C 1 的参数方程为2324x t
y t =-+⎧⎨=-+⎩
（t 为参数）。

以坐标原点 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=4 cos θ .
(1) 求 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程;
(2) 若 C 1，C 2 交于 A ，B 两点，P 点极坐标为3(22,)4
π-，求1PA 1
PB +的值.
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23、[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知()=f x 212x x --+, g (x )=1x a x a --++ (1) 解不等式 f (x )＞4;
(2) 若对 ∀x 1 ∈ R ， ∃x 2 ∈ R ，使得 f (x 2 ) = g (x 1 ).求实数 a 的范围.
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四省八校2019届高三第一次联考卷·数 学（理）
参考答案
一、选择题
1.
考点
几何基本运算。

由
12
>x
得2
0<x<，由022>-+x x 得1x>或2-x<，所以{}12|≤≤x -x B=C R ，故选B 。

2.考点：复数的基本运算，复数的模，复数相等等概念的认识，由()y=x+yi
z+i 得⎩⎨
⎧==y
y x y 2所以52=+=+i i y x
故选D 。

3.考点：等差数列性质及化归思想应用。

由10345113=a +a a -得
10323573=a a +a -得1034553=a a +a -得1053=+a a 得54=a ，故选C 。

4.考点：对图表数据的认识，选D 。

显然对业务收入量2月对1月减少。

4月对
3月减少整体不具备高速增加之说。

5.考点：简易逻辑，对充分性、必要性的理解，显然选A ，当m ⊥n 时n 在平面α可得平面α外。

6.考点：排列与组合。

根据题意组队形成只有2、4型和3、3型。

2、4型又只能
一男一女和二男二女，此时有1
313
C C 种搭配。

3,3型又只能为二男一女和一男二女，此时有1323
C C 种搭配。

故最终有()
362
213231313=+A C C C C 种派遣方式，故选A 7.考点：简单几何体和三视图。

根据三视图画出直观图为(放在长方体中更直观) 三棱锥D -ABC 为所求几何体，
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则3
2
2212131=⋅⋅⋅⋅=
D-ABC V ，故选B 8.考点：程序框图，n =2时，n =4，5114=+S=⨯，n =6,35=5+65=S ⨯，n =8,
315=35+835=S ⨯故选B
9.考点：简单线性规划。

做出可行域()10
1---=
+x y x y
指可行域内动点()y x ,与定点()0,1-
直线的斜率由⎩⎨⎧=--=-+033042y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==
56
5
7y x 计算得1=z ，
由⎩⎨⎧=--=-+02042y x y x 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==
38
3
2y x 计算得516=z ，故选C
10.平面向量基本定理应用，向量坐标量应用等和线定理
应用。

过圆上离BC 最远点作切线MN 与BC 平行。

如图，过
A 作AK ⊥BC 交MN 于K ，交BC 于Q ，则5
12
=AQ 。

y x +∴的最大值为
1217
5
121
512=+=AQ AK ，故选C 11.圆锥曲线中离心率问题，解析：令ǀP F 1ǀ=m ǀ2PF ǀ=n ，12a n=m + 22a n=m -. 则m =1a +2a n =1a -2a 设ǀ21F F ǀ=2C 则
c
m c a a c a c a e e =+=+=+21212111 又因余弦定理得 4
cos
242
22π
⋅-+=mn n m c 042222=-+-∴c m mn n
由0≥∆得 01642222≥+-c m m 2
28c m ≤ c m 22≤ 22≤∴
c
m
，故选B y
x
C
K
B
P
A
Q
N .
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12.考点，函数的基本性质，
解析：)()33cos(63)(22
222x x e e e e m x x
x x f ++--=
ππ,知)(3
cos 3
3)1(222
2222++++-=+x x e e e e m x x x f π
令)()1(x f x f =+,则)(x f 为偶函数 )(x f ∴关于1=x 对称 ,又)(x f 有唯一零点
0)1(=∴f 0)(132222=++-∴e e e e m 2
3
=∴m ，故选C 二、填空题
13. 解析：()()()729
2203231323143422
4
463
3
36
=⎪
⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭
⎫
⎝⎛==+==≤<C C x P x P x P 。

14. 解析：6
2⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 的展开式的通项公式为，()r r r
r x C T 26612-+-=，故4x 的系数为：
()()1322122116
226=-⋅-+-⋅C C ）（。

15. 解析：因为
()()
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎪
⎭⎫ ⎝⎛
---⋅=
+⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=
x x x x x x x x
x f cos sin 312
2cos 12
1cos sin 2tan 3142sin 212sin 2ππ()
⎪⎭⎫
⎝
⎛+=+=+⋅
=6sin 4sin 3cos 2cos sin 3cos cos 2 πx x x x x x x ，
π2=∴T 。

16. 解析：如图，由正弦定理得小圆1O 半径：160sin 23
=︒
=
r ，
则2=AD ，又由ππ3
32
343
=
⋅R 得球半径2=R ， 32=∴AP ，取AB 中点E ，连接PE 则CPE ∠为所求线面角，
又1531222==AC PA PC=++;
P
C
D
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2
51
431222==AE PA PE=++;
∴108515
251
cos =∠CPE=。

三、解答题.
17. 解析：（1）由1
21
41--=
+n S a n n ， 得()14121-=-+n n S a n ， 可得()14321-=--n n S a n ， 相减得()()11212+-=+n n a n a n ，即
1
2121+=-+n a
n a n n ， 又32=a ，可得
133
32==a ，∴1
1211221+⨯=-⨯a a ∴⎭
⎬
⎫
⎩⎨
⎧-12n a n 为常数数列，∴ 112=-n a n ，即12-=n a n 。

（2）由12-=n a n ，得2n S n =。

∴()1
21
-=
n n b n ，
当1=n 时，2
3
11<
=T 成立; 当2≥n 时，()
()⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-<
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=
-=
n n n n n n n n b n 111211212121121
，
∴2311211111
3121211211<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫
⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n n T n 。

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18 解析：（1）显然ABCD PM 平面⊥，∵2
1 tan 21tan =∠=∠DAC ABM ，
， ∴DAC ABM=∠∠，又∵2
π
ABM=
AMB+∠∠，∴2
=πDAC AMB+∠∠，
∴AC MB ⊥，∴PAC BM 平面⊥，又PMB BM 平面⊆， ∴平面PMB ⊥平面PAC 。

（2）如图建立空间直角坐标()()()0 1 1 ,0 0 1 ,0 0 1,, C ,, D ,,A -，)2 ,0 ,0(P 。

对平面PAC 设法向量),,(1z y x n = )0,1,2(=AC )2,0,1(=AP
⎩⎨
⎧=+=+∴0
20
2z x y x ， 令1=z ，则2-=x ，4=y 。

)1,4,2(1-=n 。

对平面PDC ，设法向量 ),,(2z y x n =，)0,1,0(=DC ， 所以0=y )2,0,1(-=DP 又
02=+-∴z x ，令1=z 则2=x ，)1,0,2(2=n 。

设所求二面角为θ，则35105
5
213cos 2
121=
⋅=
⋅⋅=
→
→
→
→
n n n n θ。

19. 解析：（1）
；
z
x
y
第 11 页 共 4 页
（2）， 所求回归方程为；
（3） 20.解析:（1）SN RQ SN SM //,= ，QM RQ =∴，24>==+∴SM QR QS
点的轨迹方程为 。

（2）由题可知()()0 ,2 ,0 ,2B A -，设()00 ,y x P ，
200+=∴x y k AP ，则直线AM l 的方程为：()22
00++=x x y y ， 令6=x ，则2800+=x y y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=∴28 ,600x y M . 200-=x y k BP ，则直线BP l 的方程为：()22
00--=x x y y ， 令6=x ，则2400-=x y y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=∴24 ,600x y N . 所以中点坐标)4
)23(2,6(2000--x x y ，此时圆方程()22
000220002]4)6(2[]4)23(2[6--=---+-x x y x x y y x 。

令0=y 得：24)6(2=-x ，解得：626±=x ，故过定点），0626(±。

21.解析：（1）()()x a x a a x f ln 1ln '-=+-=
当0a>时，)1,0(∈x 时，0)0('>f ，),1(+∞∈x ，0)('<x f 。

)0(f ∴在)1,0(上
单调递增，在),1(+∞单调递减；
83.85
.369175.26761452ˆ2-=⋅-⋅-=b 4.104ˆ=a ∴4.10483.8+-=x y 42.144.190
103>=Q ∴13
42
2=+y x
第 12 页 共 4 页 当0<a 时，)1,0(∈x 时，0)0('<f ；),1(+∞∈x ，0)('>x f 。

)0(f ∴在)1,0(上单调递减，在),1(+∞单调递增。

(2)要证1111->-x e x ，即证x e x x --1，即证x e x
x <-1， 又由第一问令0a=知()1ln --=x x x x f 在),1(+∞上单调递减，0)1(=f 。

时当1>∴x ，01ln <--x x x ， 即
x x x ln 1<-，则只需证当1>x 时x e x <ln 即可。

令()x =e x F x ln -，()x
=e x F x 1'-单调递增， ∴()()011>->=e F'x F' ∴()x F 在()+∞,1单调递增，∴()()1F x F > 而()=e F 1，∴0ln >>-e x e x ，
∴x e x ln >，∴x
x x e x 1ln ->> ，∴原不等式得证。

选做题：
选22.解析：
（1）1C 的普通方程为：0234=y+x -； 2C 的直角坐标方程x ：()4222
=+y x - （2）1C 化为标准参数方程：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--t +y=t +x=542532， P 的直角坐标为()22--,， 将1C 标参代入2C 得0882=t+t -，8,82121=t t =+t t ⋅，
1112
121=⋅=⋅+t t +t t |PB||PA||PA|+|PB|=|PB||PA|
选23.解析：
（1）4212>--x+x 用零值点法可得：5
3-
<x 或7>x
第 13 页 共 4 页
②因为()()1221,x =g x f R x R x ∴∈∈∀ 则()x g 的值域是()x f 值域的子集
又由()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤<----≤+--2
1 321
2 132 3212x ＞,x x ,x x ,x |=|x+ |x-=| x f 得值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+∞-,25，() |a |x a|=|x x g 1++--，值域为[]|a |, |a |1212++- 所以2512,25
12≤+∴-≥+-a a ，4
31247,251225≤+≤-≤+≤-a a 。