4.1 有界线性算子

第4章 线性算子与线性泛函
4.1 有界线性算子
4.1.1 线性算子与线性泛函
算子概念起源于运算。

例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平面上的向量绕坐标原点旋转一个角度等等。

在泛函分析中，通常把映射称为算子，而取值于实数域或复数域的算子也称为泛函数，简称为泛函。

本章着重考察赋范线性空间上的线性算子，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。

它是线性泛函分析研究的重要对象。

关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。

中国物理学界习惯上把算子称为算符。

定义4.1.1 设F 是实数域或复数域，,X Y 是F 上的两个线性空间，D 是X 的线性子空间，
:T D Y →是一个映射.
对x D ∈，记x 经T 映射后的象为 Tx 或 ()T x . 若对,x y D ∀∈及数,αβ∈F , 有
()()()T x y T x T y αβαβ+=+（或 Tx Ty αβ=+） (4.1.1)
则称T 是线性算子.
称D 是T 的定义域，记为()T D ;
称集(){}T D Tx x D =∈（或TD ）为T 的值域（或象域），记为()T R .
取值为实数或复数的线性算子T （即：()T ⊂F R , 1
=F R 或1
C ）分别称为实的或复
的线性泛函，统称为线性泛函。

注 今后所讨论的算子（泛函）都是线性算子（线性泛函）。

例4.1.1 设1
[0,1],[0,1]X C Y B ==([0,1]上有界函数全体)，定义
d
()()()d Tx t x t t
=
, 则T 是X 到Y 的线性算子。

例4.1.2 设[,]X C a b =，(,)K t s 是[,][,]a b a b ⨯上的二元连续函数，定义
()()(,)()d b
a
Tx t K t s x s s =⎰,
则T 是X 到X 的线性算子。

例4.1.3 设[,]X C a b =，定义
()d b
a
Tx x t t =⎰,
则T 是X 上的线性泛函。

定义4.1.2 设12,T T 是X 到Y 的线性算子，它们的定义域分别是12(),
()T T D D .
(1) 对任一数α, 定义算子1T α：它以1()T D 为定义域，而对任何1()x T ∈D ,
11()()T x T x αα=. (4.1.2)
(2) 定义算子12T T +:它以12()()T T D D 为定义域，而对任何12()()x T T ∈ D D ,
1212()T T x T x T x +=+. (4.1.3)
(3) 设3T 是以1()T D 为定义域的Y 到Z 的线性算子, 定义算子31T T ⋅(也记作31T T ): 它以
{}131(),()D x T x T x T =∈∈D D 为定义域，而对任何x D ∈,
3131()()T T x T T x =⋅. (4.1.4)
注 易知1T α (称T 1的α倍), 12T T +(称T 1与T 2的和), 31T T ⋅(称T 3与T 1的积)仍是线性算子。

定义4.1.3 设T 是以()T D 为定义域的X 到Y 的线性算子. 若从0x ≠(()x T ∈D )可推出
0Tx ≠, 即T 是单射, 则T 有逆映射1:T -
1()T Tx x -=. (4.1.5)
1T -是一个以{}()()T Tx x T =∈R D 为定义域的线性算子， 称1T -为T 的逆算子。

设T 是X 到X 的线性算子. 如果对任何x X ∈, 有
Tx x =, (4.1.6) 则称T 是X 的单位算子, 或恒等算子, 常用X I 表示, 或简记为I . 注 1
T -为T 的逆算子当且仅当
11()(),T T T T I T T I --==D R (4.1.7)
4.1.2 线性算子的有界性和连续性
定理 4.1.1 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子。

若T 在某一点
0()x T ∈D 连续，则T 在()T D 上处处连续。

证 (自证！)
注 要验证线性算子T 是连续的，只要验证T 在0x =点连续就可以了。

定义4.1.4 若算子T 将其定义域()T D 中的每个有界集都映射成一个有界集，则称T 是有界算子。

不是有界的算子就称为无界算子。

注 通常我们说一个线性算子T 是X 到Y 的算子是指()T X =D .
定理4.1.2 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子，则T 是有界算子的充要条件是：存在常数0M ≥，使得对一切x X ∈，有
Tx M x ≤. (4.1.8)
证 “⇒”设T 是有界线性算子，则T 把单位球面
{1,}S y
y y X ==∈
映射成Y 中的一个有界集。

因此存在常数0M ≥，对一切y S ∈，都有Ty M ≤. 当0x =时，(4.1.8)自然成立。

当0x ≠时，作
x x ，则由x S x
∈得： Tx x
T
M x x
=≤ 即 Tx M x ≤. 因而(4.1.8)对一切x X ∈都成立。

“⇐” 若(4.1.8)成立。

设A X ⊂是一个有界集，则存在常数0K ≥，使得当x A ∈时，x K ≤. 因此，由(4.1.8)得：对一切x A ∈，有Tx MK ≤，即TA 是有界集。

证毕！
注 如无特殊说明，有界线性算子T 的定义域()T D 总假定是全空间X ，即()T X =D . 因此，对赋范线性空间上的线性算子，以后可以用(4.1.8)作为有界性的定义。

定义4.1.5 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子，称
sup
()x Tx T x X x
≠=∈ (4.1.9)
为算子T 的范数。

注 由定理4.1.6立得：有界线性算子的范数是有限的。

命题4.1.1 对有界线性算子T ，有
(1) ()Tx T x
x X ≤∈; (4.1.10)
(2) 1
1
sup sup ()x x T Tx Tx
x X =≤==∈. (4.1.11)
证 (1) 因为T 是有界线性算子，所以由定理 4.1.1得：存在常数0M ≥，使得对一切
x X ∈，有Tx M x ≤, 于是
Tx M x ≤.
再考虑到0
sup
x Tx T x
≠=，得
Tx T x
≤，即Tx T x ≤.
(2) 一方面，显然1
1
sup sup x x T Tx Tx ≤=≥≥.
另一方面，对(0)y X ∀≠∈，因为
1y y
=，所以1sup x Ty y T
Tx y y ==≤，故 0
1
sup
sup y x Ty Tx y
≠=≤，即：1
sup x T Tx =≤.
于是
1
1
sup sup x x T Tx Tx =≤==.
证毕！
注 当T I =（单位算子）时，1I =.
称
Tx x
为T 在x 方向的伸张系数，T 的几何意义是一切方向伸张系数的上确界。

一般说来，求出具体算子的范数的值并不容易。

例4.1.4 设赋范线性空间[,],[,]L a b C a b 上的范数分别记为
[,]
()d ([,]),
max ()
([,])b
L
C
a
t a b f
f t t f L a b g
g t g C a b ∈=∈=∈⎰,
定义[,]L a b 到[,]C a b 的算子T ：对[,]f L a b ∀∈，
()()()d x
a
T f x f t t =⎰, (4.1.12)
则1T =.
证 [,]f L a b ∀∈，使1L
f
=. 因为
[,]
[,]
[,]max ()()max
()d max ()d ()d 1,
x
C
a
x a b x a b x
b
L
a
a x a
b T f
T f x f t t
f t t f t t f
∈∈∈==≤≤==⎰
⎰⎰
即1sup 1L
C
f T T f
==≤.
另一方面，取00
01
1
()[,],()d d 1b b
L
a
a
f t L a b f f t t t b a
b a
=∈===--⎰⎰
，则又有 0
00[,][,]
1
[,]
sup max ()()max
()d 11max
d d 1,
L
x
C
C
a
x a b x a b f
x
b
a
a x a
b T T f
T f T f x f t t
t t b a
b a ∈∈=∈=≥=====--⎰
⎰
⎰
即1T ≥. 综上所述，有1T =.
定理4.1.3 设,X Y 是赋范线性空间，:T X Y →是线性算子，则T 是有界的充要条件是T 是连续的。

证 (自证！)
4.1.3 有界线性算子
定义4.1.6 设X 和Y 是两个线性空间，()X Y →表示由X 到Y 的线性算子的全体,即
(){}X Y T T X Y →=是到的线性算子.
当,()A B X Y ∈→，α是数时，对x X ∀∈，规定
(),()()A B x Ax Bx A x Ax αα+=+=, (4.1.13)
并称A B +为算子A 与B 的和；A α为数α与算子A 的积. ()X Y →按上述线性运算构成
一个线性空间。

定理4.1.4 设X 和Y 是两个赋范线性空间，()X Y →B 表示由X 到Y 的有界线性算子的全体, 即
(){}X Y T T X Y →=是到的有界线性算子B .
若,()A B X Y ∈→B ，则
(),()A B X Y A X Y α+∈→∈→B B ，
且()X Y →B 按线性运算(4.1.13)构成一个线性空间。

若以(4.1.9)定义的算子范数作为范数
1
1
sup
sup sup ()x x x Tx T Tx Tx
x X x
≠≤====∈, (4.1.14)
则()X Y →B 是一个赋范线性空间。

定义4.1.7 设X 是赋范线性空间，X 上的连续线性范函全体记做*
X , 即
{}*X f
f X =是上的连续线性泛函，
它按通常的线性运算：当
*,f g X ∈，α是数时，对x X ∀∈，规定
()()()(),
()()()f g x f x g x f x f x αα+=+=; (4.1.15)
及泛函的范数
1
1
()sup
sup ()sup ()
()x x x f x f f x f x x X x
≠≤====∈, (4.1.16)
成为一个赋范线性空间，称为X 的共轭空间。

注 由定理4.1.4知：若*
f X ∈，则f 一定有界；
于是*
()X X Y =→B , 其中1
Y =R 或1C .
4.1.4 算子序列的收敛性
在经典分析中，一列函数的收敛性常常用到的是处处收敛和一致收敛的概念。

由于所考察的问题的需要，不同场合采用不同的收敛概念。

对于算子序列类似于函数列的一致收敛和处处收敛，也常常用到下面几种形式的收敛性。

定义4.1.8 设X 和Y 都是赋范线性空间，若,()(1,2,)n A A X Y n ∈→= B ，且
0()n A A n -→→∞, (4.1.17)
则称序列{}n A 按算子范数收敛于A ，或一致收敛于A .
若对每个x X ∈，都有
()0()n A A x n -→→∞ (4.1.18)
则称序列{}n A 强收敛于A ，记作
n A A →强
或 ()lim n n A A →∞
=强 或 ()lim n n A S A →∞
=.
若对每个x X ∈以及*f Y ∈，都有
()()()n f A x f Ax n →→∞ (4.1.19)
则称序列{}n A 弱收敛于A ，记作
n A A →弱
或 ()lim n n A A →∞
=弱 或 ()lim n n A W A →∞
=.
注 若序列{}n A 一致收敛于A ，则{}n A 必强收敛于A ；
若序列{}n A 强收敛于A ，则{}n A 必弱收敛于A ； 下面的例子说明：它们的逆命题一般不正确。

例 4.1.5（强收敛而不一致收敛的算子序列） 在(1)p
p ≥l
中，作“左移”算子A 如下：当
12(,,)p
x x =∈ x l 时，
23(,,)A x x = x .
则A 是p
l 到p
l 上的有界线性算子。

In fact , A 是p
l 到p
l 上的线性算子是显然的。

因为
1121p
p
p p i i p
p i i A x x ∞∞==⎛⎫⎛⎫
=≤= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∑∑x
x ,
所以A 是p
l 到p
l 上的有界算子.
而算子序列{}n
A 强收敛于零算子0; 但不一致收敛于零算子0.
In fact , 对12(,,)p
x x ∀=∈ x l ，12(,,)n n n A x x ++= x . 而
1111(0)0p
p
p p n i i p
i n i n A x x ∞∞=+=+⎛⎫⎛⎫
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∑∑x
， 因为11
p
p i i x ∞
=⎛
⎫
<∞
⎪⎝
⎭
∑，所以(0)0n p
A -→x ，即序列{}n A 强收敛于零算子0.
但是，序列{}n A 在p
l 并不一致收敛于零算子0.
In fact , 令(0,,0,1,0,)n = e （除第n 个坐标为1外，其余坐标均为0），显然11n n A +=e e . 因为
1
1
1
0sup 1n n n n n p
p
p
A A A A +=-==≥==x x
e e ,
所以序列{}n A 在p
l 并不一致收敛于零算子0. 注 111
21sup 1p p
p
p p i i p
p
i i A A x x ∞∞===⎛⎫
⎛⎫
==≤== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∑∑x x
x
.
取2(0,1,0,)= e （除第2个坐标为1外，其余坐标均为0），则21A =e e , 且
2
1
1p
p
A ==e e , 于是1A =.
例 4.1.6（弱收敛而不强收敛的算子序列） 在(1)p
p ≥l
中，作算子序列{}n A 如下：当
12(,,)p
x x =∈ x l 时，
1,1,2,n n A x n == x e ,
其中(0,,0,1,0,)n = e （除第n 个坐标为1外，其余坐标均为0）。

显然，A 是有界线性算子，且
(
)
111111
1(2p
p
p p n m n m n m
p
p
p
A A A A x x x x x -=-=-=+-=)x
x x
e e .
故当10x ≠时，序列{}n A 不是强收敛的。

然而，对p
l 上任意连续线性泛函y （必属于q
l (见4.2)），即12(,,)q
y y =∈ y l ,且对
12(,,)p
x x =∈ x l ，有
111
(),
()()i i n n n i x y A x x y ∞
====∑y x y x y e .
因为
1
q
n n y ∞
=<∞∑
，所以0()n y n →→∞，于是
()0()n A n →→∞y x .
这说明{}n A 弱收敛于零。