4.1 有界线性算子

第4章 线性算子与线性泛函

4.1 有界线性算子

4.1.1 线性算子与线性泛函

算子概念起源于运算。例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平面上的向量绕坐标原点旋转一个角度等等。在泛函分析中，通常把映射称为算子，而取值于实数域或复数域的算子也称为泛函数，简称为泛函。本章着重考察赋范线性空间上的线性算子，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学界习惯上把算子称为算符。

定义4.1.1 设F 是实数域或复数域，,X Y 是F 上的两个线性空间，D 是X 的线性子空间，

:T D Y →是一个映射.

对x D ∈，记x 经T 映射后的象为 Tx 或 ()T x . 若对,x y D ∀∈及数,αβ∈F , 有

()()()T x y T x T y αβαβ+=+（或 Tx Ty αβ=+） (4.1.1)

则称T 是线性算子.

称D 是T 的定义域，记为()T D ;

称集(){}T D Tx x D =∈（或TD ）为T 的值域（或象域），记为()T R .

取值为实数或复数的线性算子T （即：()T ⊂F R , 1

=F R 或1

C ）分别称为实的或复

的线性泛函，统称为线性泛函。

注 今后所讨论的算子（泛函）都是线性算子（线性泛函）。

例4.1.1 设1

[0,1],[0,1]X C Y B ==([0,1]上有界函数全体)，定义

d

()()()d Tx t x t t

=

, 则T 是X 到Y 的线性算子。

例4.1.2 设[,]X C a b =，(,)K t s 是[,][,]a b a b ⨯上的二元连续函数，定义

()()(,)()d b

a

Tx t K t s x s s =⎰,

则T 是X 到X 的线性算子。

例4.1.3 设[,]X C a b =，定义

()d b

a

Tx x t t =⎰,

则T 是X 上的线性泛函。

定义4.1.2 设12,T T 是X 到Y 的线性算子，它们的定义域分别是12(),

()T T D D .

(1) 对任一数α, 定义算子1T α：它以1()T D 为定义域，而对任何1()x T ∈D ,

11()()T x T x αα=. (4.1.2)

(2) 定义算子12T T +:它以12()()T T D D 为定义域，而对任何12()()x T T ∈ D D ,

1212()T T x T x T x +=+. (4.1.3)

(3) 设3T 是以1()T D 为定义域的Y 到Z 的线性算子, 定义算子31T T ⋅(也记作31T T ): 它以

{}131(),()D x T x T x T =∈∈D D 为定义域，而对任何x D ∈,

3131()()T T x T T x =⋅. (4.1.4)

注 易知1T α (称T 1的α倍), 12T T +(称T 1与T 2的和), 31T T ⋅(称T 3与T 1的积)仍是线性算子。

定义4.1.3 设T 是以()T D 为定义域的X 到Y 的线性算子. 若从0x ≠(()x T ∈D )可推出

0Tx ≠, 即T 是单射, 则T 有逆映射1:T -

1()T Tx x -=. (4.1.5)

1T -是一个以{}()()T Tx x T =∈R D 为定义域的线性算子， 称1T -为T 的逆算子。

设T 是X 到X 的线性算子. 如果对任何x X ∈, 有

Tx x =, (4.1.6) 则称T 是X 的单位算子, 或恒等算子, 常用X I 表示, 或简记为I . 注 1

T -为T 的逆算子当且仅当

11()(),T T T T I T T I --==D R (4.1.7)

4.1.2 线性算子的有界性和连续性

定理 4.1.1 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子。若T 在某一点

0()x T ∈D 连续，则T 在()T D 上处处连续。

证 (自证！)

注 要验证线性算子T 是连续的，只要验证T 在0x =点连续就可以了。

定义4.1.4 若算子T 将其定义域()T D 中的每个有界集都映射成一个有界集，则称T 是有界算子。不是有界的算子就称为无界算子。

注 通常我们说一个线性算子T 是X 到Y 的算子是指()T X =D .

定理4.1.2 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子，则T 是有界算子的充要条件是：存在常数0M ≥，使得对一切x X ∈，有

Tx M x ≤. (4.1.8)

证 “⇒”设T 是有界线性算子，则T 把单位球面

{1,}S y

y y X ==∈

映射成Y 中的一个有界集。

因此存在常数0M ≥，对一切y S ∈，都有Ty M ≤. 当0x =时，(4.1.8)自然成立。 当0x ≠时，作

x x ，则由x S x

∈得： Tx x

T

M x x

=≤ 即 Tx M x ≤. 因而(4.1.8)对一切x X ∈都成立。

“⇐” 若(4.1.8)成立。

设A X ⊂是一个有界集，则存在常数0K ≥，使得当x A ∈时，x K ≤. 因此，由(4.1.8)得：对一切x A ∈，有Tx MK ≤，即TA 是有界集。证毕！