最新七章二元关系
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7.2 二元关系
关系表示方法
❖ 枚举法（直观法、列举法）
• xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R
❖ 谓词公式表示法（暗含法） ❖ 关系矩阵表示法 ❖ 关系图表示法
23
7.2 二元关系
关系图：A={a1,…,am}，B={b1,…,bn}
❖ 结 点 ： m+n 个 空 心 点 分 别 表 示 a1,…,am 和 b1,…,bn
笛卡儿积的性质（续）：
❖对任意三个集合A，B，C有 （1）A(B∪C)=(AB) ∪(AC) （2）A(B∩C)=(AB)∩(AC) （3）(B∪C)A=(BA) ∪(CA) （4）(B∩C)A=(BA)∩(CA)
（5）A C B D A×BC×D
10
7.1 有序对与笛卡儿积
证明：
❖对任意三个集合A，B，C有 A(B∪C)=(AB) ∪(AC)
例： A={2，3，4，5，6}
❖R={<a，b>a是b的倍数}
❖R={<2，2> ，<3，3>，<4，2>，<4，4>， <5，5>，<6，2>，<6，3>，<6，6>}
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7.2 二元关系
关系表示方法
❖ 枚举法（直观法、列举法）
• xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R
❖ 谓词公式表示法（暗含法） ❖ 关系矩阵表示法 ❖ 关系图表示法
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7.3 关系的运算
例：
❖R={<a,a>，<a,d>，<b,d>，<c,a>， <c,b>，<d,c>}
❖R-1={<a,a>，<d,a>，<d,b>，<a,c>， <b,c>，<c,d>}
❖A-(BC)=(A-B) (A-C)
• 不正确。取A=B={1}，C={2}， A-(BC)={1}-{<1,2>}={1} 而(A-B) (A-C)={1}=
12
7.1 有序对与笛卡儿积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命 题是否正确？
❖A=B，C=D ACBD
• 正确。
❖存在集合A使得A AA
6
3 5
25
第七章: 二元关系
第三节：关系的运算
26
7.3 关系的运算
二元关系的定义域和值域
❖定义域：do { x m | y ( x R ,y R ) } ❖值域： ra { y n | x ( R x ,y R ) }
例
❖X={1,2,3,4,5,6},Y={a,b,c,d,e,f} ❖R={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>} ❖domR={1,2,3,4} ❖ranR={a,b,c,d}
• 正确。取A=时，AAA
13
第七章: 二元关系
第二节：二元关系
14
7.2 二元关系
关系是指事物之间（个体之间）的相互联系 二元关系R：满足下列条件之一的集合
❖集合非空，且它的元素都是有序对 ❖集合为空集
定义：A，B是集合，A×B的子集叫做从A到 B的一个二元关系
例：A={0，1}，B={1，2，3}
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7.2 二元关系
关系表示方法
❖ 枚举法（直观法、列举法）
• xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R
❖ 谓词公式表示法（暗含法） ❖ 关系矩阵表示法 ❖ 关系图表示法
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7.2 二元关系
关系矩阵表示法 设集合A={a1,…,am},B={b1,…,bn},R是A
到B的关系,则R的关系矩阵是一个mn阶的矩 阵 MR=(rij)mn 其中rij =1,当<ai,bj>R
证明： <x，y> A(B∪C) xA yB∪C xA (yB yC) (xA yB) (xA yC) <x，y> AB <x，y> AC <x，y>(AB) ∪(AC)
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7.1 有序Байду номын сангаас与笛卡儿积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命 题是否正确？
❖ABAC BC
• 不正确。取A，BC，AB=AC=
❖恒等关系IA ={<0,0>,<1,1>,<2,2>}
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7.2 二元关系
包含关系
❖A是一个集合,定义P(A)上的一个关系
❖R ={<u，v>uP(A)，vP(A)，且uv}
❖A={a，b}，P(A)={ ，{a}，{b}，A} ❖R={<，{a}>，<，{b}>，<，>，
< ， A> ， <{a} ， {a}> ， <{a} ， A> ， <{b}，{b}>，<{b}，A>，<A，A>}
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7.3 关系的运算
二元关系的逆关系
R 1 { x ,y |y ,xR }
❖R-1就是将R中的所有有序对的两个元素交换次序 成为R-1 ，故|R|=| R-1 |
说明
❖R-1 的关系矩阵是R的关系矩阵的转置，即 MR-1=(MR)T
❖R-1的关系图就是将R的关系图中的弧改变方向即 可以
七章二元关系
第七章: 二元关系
第一节：有序对与笛卡儿积
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3
4
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6
7
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7.1 有序对与笛卡儿积
笛卡儿积的性质：
❖对于任意集合A，A=，A= ❖一般不满足交换律，当A，B，AB时，
AB BA ❖一般不满足结合律，即当A，B，C均非空时，
(AB)CA(BC)
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7.1 有序对与笛卡儿积
❖R1={<0,2>}，R2={<0,1>} ❖R3=
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7.2 二元关系
几类特殊关系：
❖全域关系EA＝A×A
❖恒等关系IA＝{<x，x>|x∈A}
❖空关系
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7.2 二元关系
例： A={0,1,2}
❖EA={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>, <1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>}
❖ 有向边：如果<ai,bj>R,则由结点ai向结点bj 通一条有向弧,箭头指向bj
❖ 自回路：<ai,ai>R,则画一条以ai到自身的一 条有向弧
❖ 这样形成的图称为关系R的关系图
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7.2 二元关系
例：A={2,3,4,5,6}
(1)R1={<a,b>a是b的倍数} 2 4
6
3
5
2
(2)R2={<a,b>(a-b)2A } 4
ri j =0,当<ai,bj>R 如果R是A上的关系时,则其关系矩阵是一个方阵
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7.2 二元关系
例：A={a,b,c,d},B={x,y,z},A=4，B=3, R={<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,z>,<d,y>} 则MR是43的矩阵
101 MR = 0 1 0
001 010
其中r13=1表示<a,z>R,而r23=0,表示<b,z>R
7.2 二元关系
关系表示方法
❖ 枚举法（直观法、列举法）
• xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R
❖ 谓词公式表示法（暗含法） ❖ 关系矩阵表示法 ❖ 关系图表示法
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7.2 二元关系
关系图：A={a1,…,am}，B={b1,…,bn}
❖ 结 点 ： m+n 个 空 心 点 分 别 表 示 a1,…,am 和 b1,…,bn
笛卡儿积的性质（续）：
❖对任意三个集合A，B，C有 （1）A(B∪C)=(AB) ∪(AC) （2）A(B∩C)=(AB)∩(AC) （3）(B∪C)A=(BA) ∪(CA) （4）(B∩C)A=(BA)∩(CA)
（5）A C B D A×BC×D
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7.1 有序对与笛卡儿积
证明：
❖对任意三个集合A，B，C有 A(B∪C)=(AB) ∪(AC)
例： A={2，3，4，5，6}
❖R={<a，b>a是b的倍数}
❖R={<2，2> ，<3，3>，<4，2>，<4，4>， <5，5>，<6，2>，<6，3>，<6，6>}
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7.2 二元关系
关系表示方法
❖ 枚举法（直观法、列举法）
• xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R
❖ 谓词公式表示法（暗含法） ❖ 关系矩阵表示法 ❖ 关系图表示法
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7.3 关系的运算
例：
❖R={<a,a>，<a,d>，<b,d>，<c,a>， <c,b>，<d,c>}
❖R-1={<a,a>，<d,a>，<d,b>，<a,c>， <b,c>，<c,d>}
❖A-(BC)=(A-B) (A-C)
• 不正确。取A=B={1}，C={2}， A-(BC)={1}-{<1,2>}={1} 而(A-B) (A-C)={1}=
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7.1 有序对与笛卡儿积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命 题是否正确？
❖A=B，C=D ACBD
• 正确。
❖存在集合A使得A AA
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3 5
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第七章: 二元关系
第三节：关系的运算
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7.3 关系的运算
二元关系的定义域和值域
❖定义域：do { x m | y ( x R ,y R ) } ❖值域： ra { y n | x ( R x ,y R ) }
例
❖X={1,2,3,4,5,6},Y={a,b,c,d,e,f} ❖R={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>} ❖domR={1,2,3,4} ❖ranR={a,b,c,d}
• 正确。取A=时，AAA
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第七章: 二元关系
第二节：二元关系
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7.2 二元关系
关系是指事物之间（个体之间）的相互联系 二元关系R：满足下列条件之一的集合
❖集合非空，且它的元素都是有序对 ❖集合为空集
定义：A，B是集合，A×B的子集叫做从A到 B的一个二元关系
例：A={0，1}，B={1，2，3}
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7.2 二元关系
关系表示方法
❖ 枚举法（直观法、列举法）
• xRy表示特定的序偶〈x，y〉 R
❖ 谓词公式表示法（暗含法） ❖ 关系矩阵表示法 ❖ 关系图表示法
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7.2 二元关系
关系矩阵表示法 设集合A={a1,…,am},B={b1,…,bn},R是A
到B的关系,则R的关系矩阵是一个mn阶的矩 阵 MR=(rij)mn 其中rij =1,当<ai,bj>R
证明： <x，y> A(B∪C) xA yB∪C xA (yB yC) (xA yB) (xA yC) <x，y> AB <x，y> AC <x，y>(AB) ∪(AC)
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7.1 有序Байду номын сангаас与笛卡儿积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命 题是否正确？
❖ABAC BC
• 不正确。取A，BC，AB=AC=
❖恒等关系IA ={<0,0>,<1,1>,<2,2>}
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7.2 二元关系
包含关系
❖A是一个集合,定义P(A)上的一个关系
❖R ={<u，v>uP(A)，vP(A)，且uv}
❖A={a，b}，P(A)={ ，{a}，{b}，A} ❖R={<，{a}>，<，{b}>，<，>，
< ， A> ， <{a} ， {a}> ， <{a} ， A> ， <{b}，{b}>，<{b}，A>，<A，A>}
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7.3 关系的运算
二元关系的逆关系
R 1 { x ,y |y ,xR }
❖R-1就是将R中的所有有序对的两个元素交换次序 成为R-1 ，故|R|=| R-1 |
说明
❖R-1 的关系矩阵是R的关系矩阵的转置，即 MR-1=(MR)T
❖R-1的关系图就是将R的关系图中的弧改变方向即 可以
七章二元关系
第七章: 二元关系
第一节：有序对与笛卡儿积
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7.1 有序对与笛卡儿积
笛卡儿积的性质：
❖对于任意集合A，A=，A= ❖一般不满足交换律，当A，B，AB时，
AB BA ❖一般不满足结合律，即当A，B，C均非空时，
(AB)CA(BC)
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7.1 有序对与笛卡儿积
❖R1={<0,2>}，R2={<0,1>} ❖R3=
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7.2 二元关系
几类特殊关系：
❖全域关系EA＝A×A
❖恒等关系IA＝{<x，x>|x∈A}
❖空关系
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7.2 二元关系
例： A={0,1,2}
❖EA={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>, <1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>}
❖ 有向边：如果<ai,bj>R,则由结点ai向结点bj 通一条有向弧,箭头指向bj
❖ 自回路：<ai,ai>R,则画一条以ai到自身的一 条有向弧
❖ 这样形成的图称为关系R的关系图
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7.2 二元关系
例：A={2,3,4,5,6}
(1)R1={<a,b>a是b的倍数} 2 4
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(2)R2={<a,b>(a-b)2A } 4
ri j =0,当<ai,bj>R 如果R是A上的关系时,则其关系矩阵是一个方阵
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7.2 二元关系
例：A={a,b,c,d},B={x,y,z},A=4，B=3, R={<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,z>,<d,y>} 则MR是43的矩阵
101 MR = 0 1 0
001 010
其中r13=1表示<a,z>R,而r23=0,表示<b,z>R