高等数学第12章：无穷级数

可以用下面形式给出：
n 1
（ 1 ）u n u1 u 2 u3 u 4 u 2 k 1 u 2 k
n 1

n
(u n 0)
（ 1 ） u n u1 u 2 u3 u 4 u 2 k 1 u 2 k (u n 0)
p
1 4p

1 5p

1 6p

1 7
) p
8 15 它的各项均不大于级数
p

)
1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) 2 2 4 4 4 4 1 1 ( p p ) 8 8 的对应项.
后一级数是几何级数，公比q 所以此级数收敛.


n 1
u n 和 vn 都是正项
n 1


若级数 v 收敛，则级数 u n 收敛； n
n 1
反之，若级数
n 1
un

n 1
发散，则级数 vn 也发散.
n 1

推论 设级数 u n 和 vn 是两个正项级数，
n 1
n 1


且存在自然数N，使当 n N 时，有 u n kvn （k>0)
xn 例5 判定级数 ( x 0)的敛散性. n 1 n n 1 x u n 1 1 解： lim lim n n un n x n n n lim xx n n 1

x 级数 n 1 n

n
当0 x 1时收敛， 当x 1时发散; 当x 1时为调和级数，发散.
成立，
则有：若 v 发散，则 u n 也发散; n
n 1

n 1
且当 n N 时，有 u kv (k 0) n n
成立， 则有：若 vn 收敛，则 u n 也收敛.
n 1

n 1
例2 判定p-级数
n 1n


1
p
1
1 2
p

1 3
p

1 n
p

s1 u1 s2 u1 u 2 sn u1 u 2 u n 这样，就得到数列 {sn } s1 , s2 ,, sn ,
定义2 如果级数 u n部分和数列 {sn } n 1 有极限s，即 则称无穷级数 u பைடு நூலகம்敛.s称为此级数 n 的和.且有 s u1 u2 un , 若 {s } 无极限，则称无穷级数 u n 发散.
结论：由此我们可得
(1)若 u n收敛，则其通项u n 趋于零；
n 1

(2)通项u n不趋于零，则 u n 发散；

(3)通项un 趋于零, un不一定收敛.

n 1
通项un 趋于零是 un收敛的必要条件.
n1
n 1
例 3 判定级数 n 1 2 3 2 3 4 n 1 n 1 n 解 lim 1 0 n n 1 n 级数 发散. n 1 n 1
由定理的第一个条件：un un 1 , 由(1)式可知{s2n}是单调增加的；
由(2)式可知s2n<u1.
由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无 限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于
u1，即 lim s2n s u1
n
再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s， 有
| un1.
证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此 将s2n写成两种形式:
s2n (u1 u 2 ) (u3 u 4 ) (u 2n 1 u 2n ) (1)
s2n u1 (u 2 u3 ) (u 4 u5 ) (u 2n 2 u 2n 1 ) u 2n (2)
的敛散性.常数 p>0.
解 (1)设p 1时, 1 1 , 由比较判别法知 , p n n

1 调和级数 是发散的 ; n 1 n 1 p 级数 p 也发散 . n 1 n

(2)当p 1时，
n 1n


1
p
1 ( ( 1
1 2p

1 3
) ( p 1
1 2
p 1
1,
1 p收敛. n 1 n
由此可得结论，p级数

n 1n


1
p
当 p 1 时发散，p>1时收敛.
例 3 判定级数 1 1 1 1 n n n 2 3 n 1 n

1 n n
的敛散性.
1 解 n 1 , 2 1 而 级数 n 1收敛于2, n 1 2
由比值判别法可知所给级数发散.
n
1 例8 判别级数 的收敛性. n 1 ( 2n 1) 2n
u n 1 (2n 1) 2n 解： lim lim 1 n un n ( 2n 1) 2( n 1)

此时 l 1，比值判别法失效，用其他方法判定;
2n 2n 1 n
n 1
定理1(莱布尼兹定理) 如果交错级数 (1)级数前项大于后项，即 u n u n 1 (n 1,2,3,); (2)级数的通项趋于零，即 lim un 0
n
n 1
(1)

n 1
u n满足条件：
则级数收敛，且其和
s u1 ，
并且其余项 rn 的绝对值: | r n
正项级数. 显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增
加的，即
s1 s2 s3 sn
定理1 正项级数 u n 收敛的充分必要条件是： 它的部分和数列{sn}有界.
n 1

例1 证明级数 1 1 1 1 收敛. n 2 n 1 2 1 2 1 2 n 11 2

1 1 1 解：u n n(n 1) n n 1
1 1 1 1 sn 1 2 2 3 (n 1) n (n 1) n 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 n n 1 n 1 1 而 lim sn lim (1 ) 1 n n n 1
1 级数 2收敛 n 1n

1 1 2 (2n 1) 2n n
( p 级数，p 2)
由比较判别法知： 1 所给级数 收敛. （ n 1 2 n 1) 2 n

第三节
绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其敛散性 二、绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛 法 定义 正负项相间的级数，称为交错级数.
n 1
注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括 号后级数收敛，原级数未必收敛.
推论：如果加括号以后所成的级数发散，则
原级数也发散.
性质5 (收敛的必要条件)如果
级数 u n u1 u 2 u n
n 1
收敛，则它的一般项 u n 趋于零，即
n
lim u n 0
n 1

n 1
则级数 (u n vn ) (u1 v1 ) (u2 v2 ) (u n vn ) 也收敛，
其和为
s
性质3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响
级数的敛散性. 性质4 如果级数 u n 收敛，则对这级数的项 任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.
n 1

n
lim sn s
n
n 1
注意: rn s sn un 1 un 2 , 称为级数的余项，
sn为 rn 代替s所产生的误差 .
例1 判定级数 1 1 1 1 1 的敛散性. n(n 1) n 1 n( n 1) 1 2 2 3 3 4

1 1 1 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 S n (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n n 1 1 1 n 1
我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和 的基础. 由级数(1)的前n项和，容易写出：

的敛散性.
注意: 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.
第二节
正项级数及其敛散性
一、正项级数及其收敛的充要条件
二、正项级数收敛的比较判别法
三、正项级数收敛的比值判别法
一、正项级数及其审敛法
定义 设级数
u1 u2 un (1)
即u n 0, 则称此级数是 的每一项都是非负数,
由比较判别法可知，所给级数也发散.

三、正项级数收敛的比值判别法
定理４(达朗贝尔比值判别法) 设 u n 为正项级
u n 1 数，如果 lim l n un
n 1

(1)当 l 1 时，级数收敛；
u n 1 )时， (2)当 l 1 ( lim n u n
级数发散. (3)当 l 1 时，级数可能收敛，可能发散.

其中第n项un叫作级数的一般项或通项.
级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作
Sn.即：
S n u1 u 2 u3 u n u k
n
1 1 1 例如 级数 的 1 2 2 3 3 4 一般项 1 un n( n 1)
k 1
它的前n项和 1 1 1 1 Sn 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
n π n cos 3 的敛散性. 例6 判定级数 n 2 n 1 2 n n cos π n 2 n 3 解： n (cos π 1) n 3 2 2
2
而级数

n
n
n 1 2
满足 n 1
n 1 u n 1 1 n 1 1 2 lim lim lim n 2 n 2 n un n n n 2
此级数收敛，和为 1.
二、收敛级数的基本性质

性质1 若级数
n 1
ku n u n 收敛于和s，则它的各

n 1
项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛，且其和为ks.
性质2 如果级数 u n 、 vn 分别 n 1 n 1 收敛于 s和
即


n 1
u n u1 u 2 u n s vn v1 v2 vn
证明:这是一个正项级数，其部分和为:
1 1 1 sn 2 1 2 1 2 1 2n 1 1 1 2 n 2 2 2 1 1 2n 1

故{sn}有界，所以原级数收敛.
二、正项级数收敛的比较判别法 定理2(比较审敛法)设
级数，且 un vn (n 1,2,)
第一节 无穷级数的概念与性质
一、无穷级数的概念 二、无穷级数的性质
一、无穷级数的概念 定义1 若有一个无穷数列
u1，u2，u3，，un，
此无穷数列构成下列表达式
u1 + u2 + u3 + + un +
数项)级数，记为
n 1
(1)
称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常
un u1 u2 u3 un
n 级数 n收敛，因此原级数也收敛. n1 2
例7 判别级数
1 1 2 1 2 3 n! 2 n 的收敛性. 3 10 10 10 10
解:
u n 1 (n 1)! 10 n 1 n 1 . un n! 10 10 u n 1 n 1 lim lim n un n 10
1 nn
1 n 也收敛，且其和小于2. n 1 n

例4 证明级数
证明

n 1
1 是发散的 . n( n 1)
n(n 1) (n 1) 2 1 1 n(n 1) (n 1) 2
1 1 n(n 1) n 1
1 1 1 1 而级数 是发散的； n 1 n 1n 1 2 3