关于实数完备性的基本定理

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key Words (1)

前言 (1)

1 预备知识 (1)

1.1关于确界的定义 (1)

1.2 极限的定义 (2)

1.3区间套的定义 (2)

1.4聚点的定义 (3)

1.5 有限覆盖的定义 (3)

2 关于实数完备性的基本定理 (3)

2.1 确界定理 (3)

2.2 单调有界定理 (4)

2.3 区间套定理 (4)

2.4 聚点定理和致密性定理 (5)

2.5 有限覆盖定理 (5)

2.6 柯西收敛准则 (5)

结语 (6)

参考文献 (6)

关于实数完备性的基本定理

摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明.

关键词：实数；完备性

Basic Theorems of Real Number Completeness Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real, including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthy convergence criterion, and some related examples to illustrate.

Key Words: Real number; Completeness

前言

数学分析的基础是实数理论.实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分.正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系.数学分析初于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域.

实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的六个基本定理是批次等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，他们从不同的角度刻画了实数系的完备性，在理论上具有重要价值.

1 预备知识

1.1关于确界的定义

∈都有设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得对一切x S ≤≥，则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界()

x M x L

（下界）.

若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集.若S 不是有界集，则称S 为无界集.

设S 是R 中的一个数集.若数η满足：

(i) 对一切x S ∈，有x η≤，即η是S 的上界；

(ii) 对任何αη≤，存在0x S ∈，使得0x α>，即η又是S 的最小上界，则称

数η为数集S 的上确界，记作

sup S η=

设S 是R 中的一个数集.若数ξ满足：

(i) 对一切x S ∈，有x ξ≥，即ξ是S 的下界；

(ii) 对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<，即ξ又是S 的最大下界，则称数ξ为数集S 的下确界，记作

inf S ξ=

上确界与下确界统称为确界.

1.2 极限的定义

设{}n a 为数列, a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当

n N >时有

||n a a ε-<

则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作

lim n n a a →∞

=，或()n a a n →→∞， 读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”.

1.3 区间套的定义

设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质：

(i) 11[,][,]n n n n a b a b ++⊃,n=1,2,…；

(ii) lim()0n n n b a →∞

-=, 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套.

1.4 聚点的定义

设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S ）.若ξ

的任何邻域上都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点.

对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域上都含有S 中异于ξ的点，即

(;)o U S ξε⋂≠∅，则称ξ为S 的一个聚点.

若存在各项互异的收敛数列{}n x S ⊂，则其极限lim n n x ξ→∞

=称为S 的一个聚点.

1.5 有限覆盖的定义

设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形

如(,)αβ的开区间）.若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.

2 关于实数完备性的基本定理

2.1 确界定理

设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必

有下确界.

推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 例1 设A ,B 为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤.证明：数集A

有上确界，数集B 有下确界，且

sup inf A B ≤

证 由假设，数集B 中任一数y 都是数集A 的上界，A 中任一数x 都是B

的下界，故由确界原理推知数集A 有上确界，数集B 有下确界.