10.2 古典概型与条件概率
第3节条件概率讲解
本节重点是条件概率定义及计算,有些事件虽然它的概率不 易直接计算,但容易求出它在各种情况下条件概率,于是设法由这 事件的诸条件概率求这事件概率.
一. 条件概率: 引例 1(古典概型分析):
投掷一枚骰子,设 A={出奇数点},B={出质数点},求 PB, PB | A.
解: 1,2,3,4,5,6, B 2,3,5, A 1,3,5
所以 P A P A1 P A2 | A1
P An | A1A2
An1
1 2
2 3
n 1.
n 1 n 1
2.全概率公式(将无条件概率条件化) 定理:设 B1, B2, Bn 是样本空间 的一个划分
(即 BiBj (i j),i, j 1,
P
i1
Bi
|
A
i1
P Bi
|
A.
其它性质仍满足如:
P | A 0;
PB | A 1 PB | A;
P B1 B2 | A PB1 | A PB2 | A PB1B2 | A等.
例:有 100 张彩票,其中有 3 张可中奖,有两人各买一张 (1) 已知第一人中奖,求第二人中奖的概率; (2) 不知第一人是否中奖,分别求第一人与第二人中奖的概率.
P A1 P H1 P A1 | H1 PH2 P A1 | H2
1 40 1 30 7 2 50 2 50 10
P A1A2 P H1 P A1A2 | H1 P H2 P A1A2 | H2
P
A1A2 | H1
40 10 A520
8 49
P
A1A2 | H2
P B 3 1 , P B | A nAB 2
62
nA 3
行测概率问题详细总结[整理]
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概率论及应用数理统计基础概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。
概率是随机事件发生的可能性的数量指标。
在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。
就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。
任何事件的概率值一定介于0和1之间。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。
具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。
在客观世界中，存在大量的随机现象，其产生的结果构成了随机事件。
如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量分为有限和无限，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。
一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。
如果随机变量是连续的，那么它有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，其分布曲线是有规律的，这就是正态分布。
正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。
平均值也叫数学期望，差异度也叫标准方差。
10.2.1 古典概率所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P(A)。
规定P(A)≥0，P(Ω) = ，而事件A 所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：Ω1。
满足下列两条件的试验模型称为古典概型：（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同。
在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N 。
10.5 （取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。
（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球。
概率论
n n
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1k n)的不同排列总数为：
n n n n
k
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 1 2 3 第2张 1 2 3 第3张 1 2 3
1
2
3
4
n=4,k =3 共有4.4.4 = 43种可能取法
(a) 放回抽样的情况 4 4 4 （1） P( A)
1 8 （3） P(C ) 1 P( B) 1 . 9 9 (b) 不放回抽样的情况
（1）
C P ( A) C
2 4 2 6
4 3 2 6 5 5
2 2 2 6
2 C 7 （2） P( A B) P( A) P( B) 5 C 15 1 14 （3） P(C ) 1 P( B) 1 . 15 15 例3 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中 任取n件,求其中恰有k件次品的概率.
300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
设B={零件是乙厂生产}
A={是标准件} 所求为P(AB).
甲、乙共生产
1000 个
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件} 所求为P(AB) .
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
A ei1 ei2 eik
这里， i1 ik 是1， ，n中某k个不同的数， k k P ( A) P (ei j ) 则 j 1 n
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n 个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定 义事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝ k/n ＝ S中的样本点总数
行测概率问题详细总结
概率论及应用数理统计基础概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。
概率是随机事件发生的可能性的数量指标。
在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。
就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。
任何事件的概率值一定介于0和1之间。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。
具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。
在客观世界中，存在大量的随机现象，其产生的结果构成了随机事件。
如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量分为有限和无限，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。
一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。
如果随机变量是连续的，那么它有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，其分布曲线是有规律的，这就是正态分布。
正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。
平均值也叫数学期望，差异度也叫标准方差。
10.2.1 古典概率所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P(A)。
规定P(A)≥0，P(Ω) = ，而事件A 所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：Ω1。
满足下列两条件的试验模型称为古典概型：（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同。
在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N 。
10.5 （取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。
（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球。
古典概型公开课教案
古典概型公开课教案第一章：古典概型的概念与特点1.1 古典概型的定义1.2 古典概型的特点1.3 古典概型与实际生活的联系第二章：排列与组合2.1 排列的定义与计算公式2.2 组合的定义与计算公式2.3 排列与组合的应用实例第三章：概率的基本性质3.1 概率的定义与取值范围3.2 概率的基本性质3.3 概率的计算方法第四章：条件概率与独立事件4.1 条件概率的定义与计算方法4.2 独立事件的定义与判断方法4.3 条件概率与独立事件的运用第五章：古典概型案例分析5.1 抽奖活动中的古典概型5.2 扑克牌游戏中的古典概型5.3 随机抽选中的古典概型教学目标：1. 理解古典概型的概念与特点，能够识别生活中的古典概型。
2. 掌握排列与组合的计算方法，能够解决实际问题。
3. 理解概率的基本性质，学会计算简单事件的概率。
4. 掌握条件概率与独立事件的定义和判断方法，能够运用到实际问题中。
5. 通过案例分析，提高运用古典概型解决实际问题的能力。
教学重点与难点：1. 古典概型的概念与特点2. 排列与组合的计算方法3. 概率的基本性质4. 条件概率与独立事件的判断方法5. 古典概型在实际问题中的应用第六章：互斥事件与互补事件6.1 互斥事件的定义与性质6.2 互补事件的定义与性质6.3 互斥事件与互补事件的运用第七章：二项分布与几何分布7.1 二项分布的定义与性质7.2 几何分布的定义与性质7.3 二项分布与几何分布的应用实例第八章：大数定律与中心极限定理8.1 大数定律的定义与意义8.2 中心极限定理的定义与意义8.3 大数定律与中心极限定理的运用第九章：随机变量及其分布9.1 随机变量的定义与分类9.2 离散型随机变量的分布律9.3 连续型随机变量的概率密度第十章：古典概型的进一步应用10.1 抽样调查中的古典概型应用10.2 质量控制中的古典概型应用10.3 决策分析中的古典概型应用教学目标：6. 理解互斥事件与互补事件的定义与性质，能够正确判断和计算。
古典概率和条件概率
古典概率和条件概率概率是对事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的数字表示。
在数学和统计学中，概率被广泛应用到各种领域，包括天气预报、股票投资、金融分析、生物学和物理学等。
古典概率是指在一系列互不相容的事件中，每个事件发生的可能性相等的情况下，计算事件出现的概率。
例如，在一个六面骰子中，每个面出现的机会都是相等的，所以每个事件发生的概率也是相等的。
因此，掷骰子得到1的概率是1/6，掷骰子得到2的概率是1/6，以此类推。
概率的计算方法是：将某个事件发生的可能结果的数目除以所有可能结果的数目。
例如，掷一枚骰子，得到5的概率是1/6，因为有1种可能让你得到5（掷出5点），而总共有6种可能的结果（从1到6点）。
条件概率是指在已知某些事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
例如，假设你拿出一张扑克牌，询问另一个人这张牌是黑桃的可能性，但你已经知道这张牌是红桃。
在这种情况下，发生事件的可能性就会受到你已知条件的影响，即牌是红桃的限制。
概率的计算方法是：将某个事件在给定条件下发生的可能结果的数目除以所有给定条件下的可能结果的数目。
例如，假设你从一副新的扑克牌中拿出一张红桃牌，询问下一张牌是黑桃的可能性。
在这种情况下，你已知一个条件，即这张牌是红桃，所以整副牌中有26张牌（红桃和方块）被排除在外，只剩下26张牌是可以考虑的，其中只有13张是黑桃，因此下一张牌是黑桃的概率是13/26。
条件概率经常用于探究事件之间是否有相互影响的关系。
例如，在统计肺癌发病率时，如果人群中吸烟的人数越多，那么患肺癌的人的比例也可能越高。
这种关系可以用条件概率来计算。
如果发现该人群中吸烟的人有80％的概率患有肺癌，而不吸烟的人只有20％的概率患有肺癌，那么这就表明吸烟和患肺癌之间存在一定的关系。
总之，古典概率和条件概率都是计算事件发生的可能性的方法。
古典概率适用于互不相容的事件，而条件概率适用于事件之间可能存在相互影响的情况下。
古典概型的特征和概率计算公式教学
古典概型的特征和概率计算公式教学古典概型是概率论中最基本的概型之一，其特征和概率计算公式相当简单。
本文将详细介绍古典概型的特征和概率计算公式，并提供相关示例。
首先，古典概型的特征是指事件发生的场景或情况符合一定的条件，如硬币抛掷、骰子掷掷等。
这些特征包括以下几个方面：1.试验条件确定：古典概型的试验条件必须是确定的，即每次试验的结果只有有限个可能性。
取一个常见的抛硬币试验为例，其试验条件确定为硬币只能有两种可能的结果，即正面或反面。
2.结果互斥：每次试验的可能结果互斥，即只能出现其中一个结果而不能同时出现。
在硬币抛掷的例子中，硬币只能正面朝上或反面朝上，不能同时出现。
3.各结果等可能：每种结果出现的可能性相等。
在硬币抛掷的例子中，硬币正面朝上和反面朝上的概率均为0.5在古典概型中，事件的概率计算公式为P(A)=m/n，其中P(A)表示事件A的概率，m表示事件A发生的次数，n表示试验总次数。
下面通过几个具体的例子来说明古典概型的特征和概率计算公式。
例1：一枚均匀的骰子投掷一次，求投掷结果为1的概率。
解：试验条件确定为骰子的六个面，结果互斥为每个面只能出现一次，每个面出现的可能性相等。
事件A为投掷结果为1，即m=1，n=6根据概率计算公式，P(A)=1/6例2：一枚均匀的骰子投掷两次，求投掷结果为奇数的概率。
解：试验条件确定为骰子的六个面，结果互斥为每个面只能出现一次，每个面出现的可能性相等。
事件A为投掷结果为奇数，即m=3（骰子有三个奇数面），n=6根据概率计算公式，P(A)=3/6=1/2例3：从一副扑克牌中随机取出一张牌，求取出红心牌的概率。
解：试验条件确定为扑克牌的52张牌，结果互斥为每张牌只能取出一次，每张牌的可能性相等。
事件A为取出红心牌，即m=13（一副扑克牌有13张红心），n=52根据概率计算公式，P(A)=13/52=1/4总结起来，古典概型的特征是试验条件确定、结果互斥和各结果等可能。
古典概型公开课教案
古典概型公开课教案第一章：古典概型的概念与特点1.1 古典概型的定义1.2 古典概型的特点1.3 古典概型与实际问题的联系第二章：排列与组合2.1 排列的概念与计算方法2.2 组合的概念与计算方法2.3 排列与组合在实际问题中的应用第三章：概率的基本性质3.1 概率的定义与性质3.2 概率的基本运算法则3.3 条件概率与独立事件的概率第四章：互斥事件与概率计算4.1 互斥事件的定义与性质4.2 互斥事件的概率计算方法4.3 相互独立事件的概率计算方法第五章：古典概型应用案例分析5.1 抽奖活动中的古典概型问题5.2 扑克牌游戏中的古典概型问题5.3 随机抽选问题中的古典概型应用教学目标：1. 理解古典概型的概念与特点，能够识别和应用古典概型解决实际问题。
2. 掌握排列与组合的计算方法，能够运用排列与组合解决相关问题。
3. 理解概率的基本性质，掌握概率的基本运算法则，能够计算简单事件的概率。
4. 理解互斥事件与相互独立事件的性质，掌握其概率计算方法。
5. 能够分析实际问题中的古典概型，并运用相关知识解决案例问题。
教学方法：1. 采用讲解、案例分析、互动讨论等方式进行教学，引导学生理解和掌握古典概型的相关概念和计算方法。
2. 通过实际案例分析，让学生感受古典概型在现实生活中的应用，培养学生的实际问题解决能力。
3. 引导学生运用概率的基本性质和运算法则，解决互斥事件和相互独立事件的概率计算问题。
4. 提供适量的练习题，巩固学生对古典概型的理解和应用能力。
教学评估：1. 通过课堂讲解和案例分析，观察学生对古典概型的概念和特点的理解程度。
2. 通过作业和练习题的完成情况，评估学生对排列与组合计算方法的掌握情况。
3. 通过解答概率计算问题，评估学生对概率的基本性质和运算法则的应用能力。
4. 通过案例分析报告，评估学生对古典概型在实际问题中应用的能力。
教学资源：1. 教案、PPT课件、案例分析材料等教学资料。
概率初步全章教案
概率初步全章教案第一章：概率的基本概念1.1 概率的定义引入概率的概念，让学生理解概率是衡量事件发生可能性大小的数学量。
解释概率的取值范围，即0到1之间。
1.2 必然事件和不可能事件讲解必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
通过实例让学生区分必然事件和不可能事件。
1.3 随机事件介绍随机事件的定义，让学生理解随机事件是既不是必然事件也不是不可能事件的事件。
解释随机事件的概率大于0且小于1。
第二章：概率的计算方法2.1 古典概型讲解古典概型的定义，即试验结果有限且等可能发生。
介绍古典概型的概率计算公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)为事件A的发生次数，n(S)为样本空间的大小。
2.2 列举法讲解列举法的概念，即通过列举所有可能的结果来计算概率。
示范使用列举法计算概率的步骤。
第三章：条件概率和独立事件3.1 条件概率引入条件概率的概念，解释条件概率是在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
讲解条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)为事件A和B 发生的概率，P(B)为事件B发生的概率。
3.2 独立事件解释独立事件的定义，即两个事件的发生互不影响。
讲解独立事件的概率计算公式：P(A∩B) = P(A)P(B)，其中P(A)为事件A发生的概率，P(B)为事件B发生的概率。
第四章：全概率公式和贝叶斯公式4.1 全概率公式讲解全概率公式的概念，即在多个互斥事件的情况下，事件A发生的概率可以通过各事件发生的概率乘以对应事件的条件概率之和来计算。
解释全概率公式的计算步骤。
4.2 贝叶斯公式引入贝叶斯公式的概念，解释贝叶斯公式是通过已知条件来推算事件发生的概率。
讲解贝叶斯公式的计算步骤。
第五章：随机变量及其分布5.1 随机变量的定义讲解随机变量的概念，即随机试验结果的量化描述。
解释随机变量的取值可以是具体的数值，也可以是其他类型的值。
5.2 离散型随机变量讲解离散型随机变量的定义，即随机变量取值有限或可数。
二轮复习古典概型条件概率与全概率公式课件(49张)
树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂
图法
问题中样本点数的探求
对点训练1(1)在《周易》中,长横“
”表示阳爻,两个短横“
”表示阴爻.
有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦,共有23=8种组合方法,这便是《系辞
传》所说“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦”.所谓的“算卦”,就是两个
P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,P(B)>0,
有
P(A i )P(B|A i )
P(Ai|B)= P(B)
=
n
(A i )(|A i )
∑ ( )(| )
k =1
,i=1,2,…,n.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
1
A.10
1
B.5
3
C.
10
2
D.
5
)
答案 (1)B
(2)D
解析 (1)在一次所谓“算卦”中得到六爻,样本点总数 n=26=64,这六爻恰好有
三个阳爻三个阴爻包含的样本点个数 m=C63 =20,所以这六爻恰好有三个阳
爻三个阴爻的概率是
P=
=
20
64
=
5
.故选
16
B.
(2)从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图:
2
A.
3
3
B.
5
5
C.
9
)
3
D.
4
(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定
出场的顺序,则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是(
【高中数学必修】第十章 概率(公式、定理、结论图表)
第十章概率（公式、定理、结论图表）1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n . 3. 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.典例1：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求： (1)甲中奖的概率P(A)； (2)甲、乙都中奖的概率P(B)； (3)只有乙中奖的概率P(C)； (4)乙中奖的概率P(D)．【思路点拨】先确定事件总数，再确定四个事件中包含的基本事件个数，用古典概率公式求解． 【解析】甲、乙两人按顺序各抽一张，5张奖券分别为A 1，A 2，B 1，B 2，B 3，其中A 1，A 2为中奖券，则基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，A 1)，(B 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，A 1)，(B 2，A 2)，(B 2，B 1)，(B 2，B 3)，(B 3，A 1)，(B 3，A 2)，(B 3，B 1)，(B 3，B 2)，共20种．(1)若“甲中奖”，则有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共8种，故P(A)82205==． (2)甲、乙都中奖含有的基本事件有(A 1，A 2)，(A 2，A 1)，共2种，所以P(B)＝212010=． (3)“只有乙中奖”的基本事件有(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 3，A 1)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 3，A 2)，共6种，故63()2010P C ==． (4)“乙中奖”的基本事件有(A 2，A 1)，(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 3，A 1)，(A l ，A 2)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 3，A 2)，共8种，故82()205P D ==． 【总结升华】1、利用古典概型的计算公式时应注意两点： (1)所有的基本事件必须是互斥的；(2)m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏. 2、古典概型解题步骤：(1)阅读题目，搜集信息；(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；(4)用公式()mP An求出概率并下结论.4.事件的关系与运算5.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).典例2：经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?【思路点拨】利用互斥事件概率加法公式计算．【解析】记“等候的人数为0”为事件A，“1人等候”为事件B，“2人等候”为事件C，“3人等候”为事件D，“4人等候”为事件E，“5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，∴P(G)＝P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)＝0.1+0.16+0.3＝0.56．(2)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，∴P(H)＝P(D+E+F)＝P(D)+P(E)+P(F)＝0.3+0.1+0.04＝0.44．【总结升华】第(2)问也可以这样解：因为G与H是对立事件，所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44．。
古典概型和特征和概率计算公式
古典概型和特征和概率计算公式古典概型是概率论中最简单的概率模型之一，也称为等可能概型。
在古典概型中，试验的所有可能的结果具有相同的概率，因此可以使用特征和概率计算公式来计算特定事件的概率。
一、古典概型的特征：在古典概型中，试验的样本空间S是有限的，即S={a1, a2, ..., an}，其中n为有限个数。
每个样本点ai(a1 ≤ i ≤ n)的发生概率都是相等的，即P(ai) = 1/n。
二、概率计算公式：1.对于一个事件A，A是样本空间S的子集，事件A的概率可以用以下公式计算：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中发生的样本点数，n(S)表示样本空间中的总样本点数。
2.对于互斥事件A和B（即A和B不可能同时发生），它们的并事件（A∪B）的概率可以用以下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.对于独立事件A和B（即A的发生不受B的发生影响，反之亦然），它们的交事件（A∩B）的概率可以用以下公式计算：P(A∩B)=P(A)×P(B)。
4.对于事件A的对立事件（即A不发生），对立事件的概率可以用以下公式计算：P(A')=1-P(A)，其中A'表示事件A的对立事件。
5.对于事件A的补事件（即A不发生的事件），补事件的概率可以用以下公式计算：P(A')=1-P(A)。
6.对于事件A的条件概率，即在事件B发生的条件下事件A发生的概率，可以用以下公式计算：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A，B)表示在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
三、应用举例：假设有一个装有5个红球和3个蓝球的箱子。
现从箱子中任意取出一个球，求以下事件的概率：1.事件A：取出的球是红球。
P(A)=n(A)/n(S)=5/(5+3)=5/82.事件B：取出的球是蓝球。
P(B)=n(B)/n(S)=3/(5+3)=3/83.事件C：先后取出两个红球。
P(C)=P(A∩A)=P(A)×P(A)=(5/8)×(4/7)=20/56=5/144.事件D：取出的球不是红球。
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版古典概型是概率论中最简单的一种概率模型，它采用了等可能性的假设，即每一个样本点出现的概率都是相等的。
这个模型的特征及其概率计算公式如下：1.样本空间：古典概型中的样本空间是一个有限个数的集合，用Ω表示。
例如，掷骰子的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}，抛硬币的样本空间为Ω={正面,反面}。
2.事件：在古典概型中，事件是样本空间的子集，用A表示。
例如，在掷骰子的样本空间中，事件A可以表示为"出现奇数点数"，事件B可以表示为"出现偶数点数"。
3.等可能性假设：古典概型中的一个重要假设是每一个样本点出现的概率都是相等的。
例如，在掷骰子的样本空间中，每一个点数出现的概率都是1/64.概率计算公式：根据等可能性假设，我们可以使用计数的方法来计算事件的概率。
事件A的概率表示为P(A)，计算公式为：P(A)=N(A)/N(Ω)其中，N(A)表示事件A中样本点的个数，N(Ω)表示样本空间中样本点的个数。
例如，对于掷骰子的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A表示出现奇数点数，其样本点为{1,3,5}，样本点个数为N(A)=3；样本空间Ω中的样本点个数为N(Ω)=6、因此，事件A的概率为：P(A)=N(A)/N(Ω)=3/6=1/2这个公式可以扩展到多个事件的情况下。
例如，对于掷骰子的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A表示出现奇数点数，事件B表示出现偶数点数，这两个事件是互斥事件，即事件A和事件B不能同时发生。
因此，事件A和事件B的概率可以通过以下计算公式得到：P(A)=N(A)/N(Ω)=3/6=1/2P(B)=N(B)/N(Ω)=3/6=1/2请注意，在古典概型中，当事件A和事件B互斥时，它们的概率相加等于1，即P(A)+P(B)=1总结起来，古典概型的特征是样本空间有限、等可能性假设成立；概率计算公式是P(A)=N(A)/N(Ω)。
古典概型的特征和概率计算公式
古典概型的特征和概率计算公式古典概型是概率论中最简单的概型之一，它是基于等可能性假设的。
古典概型的特征和概率计算公式如下所示。
1.特征：-等可能性假设：古典概型假设所有可能的结果具有相同的发生概率。
-有限个数的可能结果：古典概型假设实验的所有可能结果可数且是有限的。
-互斥性：古典概型假设每个实验结果都是唯一的，任意两个不同结果之间是互斥的，即同一次试验只能出现一种结果。
2.概率计算公式：在古典概型下，我们可以使用以下公式来计算事件的概率。
-样本空间:古典概型中，样本空间的大小等于实验的所有可能结果数的总和。
假设样本空间为S，大小为n，即S={A1,A2,A3,...,An}。
- 事件的概率: 假设事件A是样本空间S的子集，包含m个可能结果，即A = {Ai1, Ai2, Ai3, ..., Aim}。
则事件A的概率P(A)等于事件A中所有可能结果的概率之和。
P(A) = P(Ai1) + P(Ai2) + P(Ai3) + ... + P(Aim) = m/n。
3.举例说明：为了更好地理解古典概型的特征和概率计算公式，我们来举一个简单的例子。
假设有一个标准的六面骰子，每个面上的数字是等可能的。
（1）样本空间：这个例子中，样本空间S包含了所有可能的结果，即S={1,2,3,4,5,6}。
（2）事件A：假设我们关注的事件是掷出的数字是奇数。
事件A是样本空间S的子集，A={1,3,5}。
（3）概率计算：根据公式，我们可以计算事件A的概率：P(A)=P(1)+P(3)+P(5)=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2从这个例子中，我们可以看到事件A的概率是1/2，即掷出的数字是奇数的可能性为1/2总结起来，古典概型是概率论中最基本的概型之一、它的特征包括等可能性假设、有限个数的可能结果和互斥性。
在古典概型下，我们可以使用简单的公式来计算事件的概率，即事件中所有可能结果的概率之和。
这个概率计算公式是P(A)=m/n，其中m是事件A包含的可能结果数，n是样本空间S的大小。
古典概型、条件概率与全概率公式-高考数学复习课件
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.古典概型
具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率
模型,简称古典概型.
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
B=“取到的产品是优质品”,则由已知得
P(A1)=0.6,P(A2)=0.2,P(A3)=0.2,
P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.85,P(B|A3)=0.8.
故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·
P(B|A3)
=0.6×0.9+0.2×0.85+0.2×0.8=0.87.
概率的乘法公式:由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则
P(AB)=P(A)P(B|A).
问题思考
条件概率中,P(B|A)与P(A|B)的意义一样吗?
不一样,P(B|A)是在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;P(A|B)是在事
件B发生的条件下,事件A发生的概率.
4.全概率公式
解题心得全概率公式为复杂事件的概率计算提供了一条有效途径,是概率
论中一个有效的分析工具,其重要意义在于:对于一个复杂的事件,若无法
直接求出它的概率,则可以“化整为零”,通过选择样本空间的划分将该复杂
事件分解为若干个简单事件来进行处理,从而使分析问题的思路变得清晰
条理,化繁为简,化难为易.
10.2事件的相互独立性课件(人教版)(1)
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的 样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.
(3)事件“两人都脱靶”A=B ,所以APB( )=AP( )BP( )=0.2×0.1=0.02 (4)方法1:事件“至少有一人中靶”=AB∪BA A∪ B,且ABB,A A与 B两 两互斥，所以P(AB∪BA A∪ B)=P(AB)+P(BA )+AP( B)=0.98.
方法2.由于事件“至少有一人中靶”的对峙事件是“两人都 脱靶”，根据对峙事件的性质，得事件“至少有一人中把” 的概率A为B1-P( )=1-0.02=0.98.
由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.
于是P(AB)=P(A)P(B). 积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
新课引入
思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没 有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第 一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”. 事件A产生与否会影响事件B产生的概率吗？
1 P( A)P(B ) 1 [1 P( A)][1 P(B)]
1 (1 0.6)(1 0.5) = 0.8
学习新知 注1：用数学符号语言表示下列关系：
若A、B、C为相互独立事件，则 ① A、B、C同时产生；①A·B·C ② A、B、C都不产生；②A B C ③ A、B、C中恰有一个产生；③A B C A B C A B C ④ A、B、C中至少有一个产生的概率；④1 P(A B C) ⑤ A、B、C中至多有一个产生.
条件概率
5、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题 为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.
2 （2） n( AB) A3 6
2.2.1 条件概率
• 复习引入： 1： 古典概型的定义
（1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个； （2） 每个基本事件出现的可能性相等； 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典 概率模型，简称古典概型。
2 ：古典概型概率公式 P（A）= A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
3: 概率的加法公式：
若事件A与B互斥，则. P( A B) P ( A) P ( B)
1.若事件A和B不可能同时发生，则说A与B互斥。 2.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 A B (或 A B );
探究：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学
无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 否比其他同学小？
即：P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的条件概率
P ( B A) n( AB) 2 1 n( A) 4 2
思考：你知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响
最后一名同学抽到中奖奖券的概率吗？
分析： 若不知道第一名同学的抽奖结果，则可能出现的基本
事件为X1X2Y, X1YX2, X2X1Y, X2YX1，YX1X2, YX2X1, 共6个 若知道了第一名同学的抽奖结果，则可能出现的基本 事件变成X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1共4个， 而最后一名同学抽到中奖奖券包含的基本事件不变， 故概率会发生变化.
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-18-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.由向量的数量积公式,得出两个向量夹角的余弦值的 表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n 和m>n对应的基本事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点 数m和n组成的点的坐标数.
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此 得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.
解析 设 4 个球分别为白、红、黄 1、黄 2,从中一次随机摸出 2 个球,所有基本事件为(白,红),(白,黄 1),(白,黄 2),(红,黄 1),(红,黄 2),(黄 1,黄 2),共 6 个,颜色不同的有 5 个,所以 2 个球颜色不同的概率 为56.
-9-
考点1
考点2
考点3
考点 1 简单的古典概型的概率
b∈{-2,-1,1,2,3,4},则f(x)在区间[1,+∞)内是增函数的概率为 9 .
-21-
考点1
考点2
考点3
解析 (1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标
(m,n),基本事件总数N=6×6=36,点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)
包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8个,
男生,所以所选 3 人中至少有 1 名女生的概率 P2=1-CC4363 = 45.
-11-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.求古典概型的思路:先求出试验的基本事件的总数和 事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式.
2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数时,应用两个 原理及排列与组合的知识进行求解.
率为( A )
A.13
B.14
C.15
D.16
-13-
考点1
考点2
考点3
解析 (1)从 1,2,3,4,5 中选出三个不同的数字有C53种选法,选出的 数组成五位数有两种情况,一是有 1 个数字用了 3 次能组成C31C53A22 个五位数(组成五位数可看作三个数字填 5 个空),二是有一个数字用
与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为 12
.
思考如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件
有关的问题?
解析 依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数 组(a,b)共有 6×6=36 个,其中满足直线 ax+by=0 与圆(x-2)2+y2=2 有 公共点,即满足 2������ ≤ √2,则满足 a≤b 的数组(a,b)有(1,1),(1,2),…,
-12-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)从 1,2,3,4,5 中选出三个不同的数字组成五位数,
则其中有两个数字各用两次(例如 12332)的概率为( B )
A.25
B.35
C.47
D.57
(2)甲、乙两人有三个不同的学习小组 A,B,C 可以参加,若每人
必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概
例1(1)在1,2,4,5这4个数中一次随机地取2个数,则所取的2个数的
和为6的概率为( A )
A.13
B.14
C.25
D.35
(2)从4名男生和2名女生中任3 选3人参加演讲比赛,则恰好选到2名
男生和1名女生的概率为
4
5
概率为 5
.
,所选3人中至少有1名女生的
思考如何求古典概型的概率?
-10-
考点1
则 y=3x.事件 B 包含的基本事件有(1,3),(3,9), 故 a⊥b 的概率为 P(B)=29.
-22-
考点1
考点2
考点3
(3)A={x|-2<x<5,x∈Z}={-1,0,1,2,3,4},由条件知,(a,b)的所有可
������2+������2
(1,6),(2,2),…,(2,6),(3,3),…,(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),共 6+5+4+3+2+1=21(种),因此所求的概率为2316 = 172.
-16-
考点1
考点2
考点3
考向三 古典概型与函数的交汇 例 4 设 a∈{2,4},b∈{1,3},函数 f(x)=12ax2+bx+1. (1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率; (2)从f(x)中随机抽取两个,求它们的图像在(1,f(1))处的切线互相 平行的概率. 思考如何把f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的问题转换成与概率的 基本事件有关的问题?
3.开口向上的抛物线f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成f(x)的 图象的对称轴大于等于-1,从而得出b≤a.从而不难得出b≤a包含的 基本事件个数.
-19-
考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐
标(m,n),那么P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率是 ( D )
(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共 9 个,其中两人参加同一
个小组的事件有(A,A),(B,B),(C,C),共 3 个,所以两人参加同一个小组
的概率为3
9
=
13.
-14-
考点1
考点2
考点3
考点 2 古典概型的交汇问题(多考向)
考向一 古典概型与平面向量的交汇
考点2
考点3
解析 (1)在 1,2,4,5 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,总的基本事
件有(1,2),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(4,5),共 6 种,所取的 2 个数的和为 6
包含的基本事件有(1,5),(2,4),共 2 种,故所取的 2 个数的和为 6 的概
率为2
6
A.14
B.16
C.158
D.29
(2)已知向量a=1 (x,-1),b=(3,y),其中x∈{2-1,1,3},y∈{1,3,9},则a∥b
的概率为
9 ;a⊥b的概率为 9
.
-20-
考点1
考点2
考点3
ab(≠30),设则集方合程A���=���������2{+x|x���������2���2-=3x1-1表0<示0焦,x∈点Z在},x从轴集上合的A双中曲任线取的两概个率元为素a,15b且 . (4)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1,设a∈{-1,1,2,3,4,54},
事件构成集合I,那么事件A的概率为
card(������) card(������)
.
(
√
)
(4)条件概率一定不等于它的非条件概率. ( × )
-4-
知识梳理 双基自测
123456
2.已知袋中装有6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球,则取到
白球的概率为( A )
A.25
B.145
C.35
D.23
-17-
考点1
考点2
考点3
解 (1)由题意,-2×������12������≥-1,即 b≤a. 而(a,b)共有C21 ·C21=4 种,满足 b≤a 的有 3 种,故概率为34. (2)由(1)可知,函数 f(x)共有 4 种可能,从中随机抽取两个,有 6 种 抽法. 因为函数 f(x)的图象在(1,f(1))处的切线的斜率为 f'(1)=a+b,所以 这两个函数中的 a 与 b 之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这 1 组满足, 故概率为16.
故点 P 在圆 x2+y2=17 内部(不包括边界)的概率是 P=386 = 29. 故选 D. (2)由题意,得(x,y)所有的基本事件共有C31 ·C31=9 个. 设“a∥b”为事件 A,则 xy=-3.事件 A 包含的基本事件有(-1,3), 故 a∥b 的概率为 P(A)=19; 设“a⊥b”为事件 B,
-3-
知识梳理 双基自测
123456
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的. ( × )
(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三
个结果是等可能事件. ( × )
(3)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本
1 次,另两个数字各用两次能组成C31C52C32个五位数. 故其中有两个数字各用两次的概率为
C53C31C52C32 C53(C31C53A22+C31C52C32)
=
C52C32 C53A22+C52C32
=
C32 A22+C32
=
35.
(2)因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A,A),(A,B),
=
13.故选
A.
(2)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,基本事件
总数 n=C63=20,恰好选到 2 名男生和 1 名女生包含的基本事件个数
m=C42C21=12,所以恰好选到
2
名男生和
1
名女生的概率
P1=������������
=
12 20
=
35.
因为所选 3 人中至少有 1 名女生的对立事件是选到的 3 人都是
B.67
C.47
D.27
解析 设“某次射中”为事件 A,“随后一次射中”为事件 B,
则 P(AB)=0.4,P(A)=0.7,