塑性力学理论与分析

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学

论

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学院：土木建筑学院专业：建筑与土木工程

姓名：张硕

学号：Z20129208

塑性力学理论与分析

摘要：塑性力学又称塑性理论，是固体力学的一个分支，它主要研究固体受力后处于塑性变形状态时，塑性变形与外力的关系，以及物体中的应力场、应变场以及有关规律，及其相应的数值分析方法。本文阐述了塑性力学中的基本概念、理论，以及塑性力学中的常用求解方法，对材料屈服极限和塑性本构关系作了较为详细的论述。

关键词：塑性，变形，屈服极限，本构关系

一、塑性力学基本概念

塑性力学是研究材料在塑性变形状态下应力和应变关系的一门基础学科。物体受到足够大外力的作用后，它的一部或全部变形会超出弹性范围而进入塑性状态，外力卸除后，变形的一部分或全部并不消失，物体不能完全恢复到原有的形态。塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化。

塑性力学是通过实验，找出受力物体超出弹性极限后的变形规律，从而提出合理的假设和简化模型，来确定应力超过弹性极限后材料的本构关系，从而建立塑性力学的基本方程。解出这些方程，便可得到不同塑性状态下物体的应力和应变。塑性力学的基本实验主要分两类：单向拉伸实验和静水压力实验。通过单向拉伸实验可以获得加载和卸载时的应力-应变曲线以及弹性极限和屈服极限的值；在塑性状态下，应力和应变之间的关系是非线性的且没有单值对应关系。而对于静水压力实验，除岩土材料以外，静水压力只能引起金属材料的弹性变形且对材料的屈服极限影响很小。

为简化计算，根据实验结果，塑性力学采用的基本假设有：

1材料是各向同性并连续的；

2平均法向应力不影响材料的屈服，它只与材料的体积应变有关，且体积应变是弹性的，即静水压力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化；

3材料的弹性性质不受塑性变形的影响。这些假设一般适用于金属材料；对于岩土材料则应考虑平均法向应力对屈服的影响。

塑性力学的应力-应变曲线通常有5种简化模型：其一是理想弹塑性模型，用于低碳钢或强化性质不明显的材料。其二是线性强化弹塑性模型，用于有显著强化性质的材料。其三是理想刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质不明显的材料。其四是线性强化刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质明显的材料。最后是幂强化模

型，为简化计算中的解析式，可将应力-应变关系的解析式写为σ＝σy （ε／εy）n，式中σy 为屈服应力，εy 为与σy相对应的应变，n 为材料常数。

塑性力学中常用的求解方法有：

1静定法。求解简单弹塑性问题的方法。由于所求的各未知量的数目和已知方程式的数目相同，应用平衡方程和屈服条件便能将问题中的各未知量找出。

2滑移线法。适用于求解塑性平面应变问题，可找出变形体中各点的应力分量和所对应的位移分量。

3界限法。一个有实用价值的方法，又称上、下限法。上限法采用外力功等于内部耗散能以及结构的几何条件求塑性极限载荷，其值比完全解的塑性极限载荷大；下限法则用平衡条件、屈服条件以及力的边界条件求塑性极限载荷，其值比完全解的塑性极限载荷小。

4主应力法。在屈服条件中不考虑剪应力的贡献，并假定沿某一个轴主应力的分布是均匀的。用此法能获得各应力分量的分布规律。

5参数方程法。使用米赛斯屈服条件时，可将满足屈服条件的参数方程代入平衡方程进行求解。

6加权残量法。一种求解微分方程近似解的数学方法。其要点是：先假设一个试函数作为近似解，将其代入要求解的控制方程和边界条件；该函数一般不能完全满足这些条件，因而出现误差即残量；选择一定的权函数与残量相乘，列出在解域内消灭残量的代数方程，就可把求解微分方程转化为求解代数方程的数值计算问题，从而得出近似解。

7有限元法。常用的有弹塑性有限元和刚塑性有限元法，可得到变形体内的应力和应变分布规律。

二、屈服条件

在复杂应力状态下，判断物体屈服状态的准则称为屈服条件。屈服条件是塑性力学中的基本问题之一。屈服条件的概念包括以下几个方面的内容：

1屈服条件是判别材料从弹性状态进入塑性状态的准则；

2屈服条件的数学表达式称为屈服函数；

3屈服条件在应力空间中所形成的几何曲面称为屈服曲面。屈服条件在应力空间中所形成的几何曲面称为屈服曲面，对于理想塑性材料, 这个曲面亦称为极限曲面。

描述屈服面的数学表达式称为屈服函数。常用的各向同性金属材料的屈服试验表明，屈服应力数据点介于Tresca屈服条件（又称最大剪应力屈服条件）和Mises屈服条件（又称

弹性形变比能屈服条件）之间，而更接近于Mises 屈服条件

1864年特雷斯卡通过多次挤压实验研究发现，被挤压的金属上有许多很细的痕纹，它们的方向接近于最大剪应力的方向。他认为当最大剪应力τ达到某一极限值τY(称为剪切屈服极限)时，材料进入屈服状态。这一屈服条件称为特雷斯卡条件或最大剪应力条件，其数学表达式为：max(|σ1-σ2|,|σ2-σ3|,|σ3-σ1|)=2τ。

等式左边表示取|σ1-σ1|、|σ2-σ3|、|σ3-σ1|中的最大者。因此用特雷斯卡条件

应的屈服条件称为米赛斯条件，它避开了由于屈服面不光滑而带来的数学上的困难。米赛斯屈服条件的表达式为：(σ1-σ2)² +(σ2-σ3)²+(σ3-σ1)²=2σs ²。

所以在主应力空间，米赛斯屈服面为一外接于特雷斯卡屈服面的圆柱面。在平面应力状态，设30σ=，则在1σ、2σ应力平面上，米赛斯条件为一椭圆，特雷斯卡条件为内接六边形（上图右）。

后来，德国的H.亨奇提出，米赛斯屈服条件意味着在物体中的形变比能等于某一极限值时，材料就进入屈服状态。因此，米赛斯屈服条件又称为最大形变比能条件。

三、本构关系

本构关系是表征材料力学性质的数学关系。为了确定物体在外力作用下的响应，必须知道构成物体的材料所适用的本构关系。本构关系的表达式称为本构方程。材料的力学本构关系一般在实验和经验的基础上建立，并通过实践检验它们的适用性。另一方面，又发展了各本构关系都须遵循的基本原理，作为分析和判断的依据，以保证本构关系理论的正确性。