高二数学选修2-1求曲线的方程

②现有一曲线在 x 轴的下方，曲线上的每一点到
x 轴的距离减去这点到点 A (0，2)的距离的差是 2，求曲线的方程。
③ 曲线上的任意一点到 O(0,0)、A(a,0)两点距离 的平方差为常数 a,求曲线的方程。
④曲线上的任意一点到 A(-a,0),B(a,0)两点距离 的平方和为常数 a(0≤a≤0.5),求曲线的方程。
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线，方程为(x-y)(x+y)=0;
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方
程为 x y 0 ;
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴的距
离乘积为1的点集，方程为 y 1 。
|x|
y
y
y
1
1
1
-1 0
x 1
-2 -1 0 1 2 x
-2 -1 0 1 2 x
分析： 以方程 y=|x|的解为坐标的点都在曲线上；
但曲线上的点如（-1，-1）不是方程 y=|x|的解.
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图中曲线与方程 x2+y2=1 有什么关系y？
对于图中的曲线与对
应的方程应作怎样修改？
o
x
练习：
1．A(1,0)，B(0,1)，线段 AB 的方程是 x+y-1=0 吗？
2．由到 x 轴距离等于 5 的点所组成的曲线的方 程是 y50 吗？
变式：若|AB|=4，如何建立坐标系求 AB 的垂 直平分线的方程。
结论 求曲线方程的一般步骤： ⒈建系:建立适当的坐标系; 2.设点:设曲线上的任意一点; 3.写集合:写出适合条件p的点M的集合 (可省)
4.代换:将坐标代入列式中,得方程f(x，y)＝0
5.化简:将方程f (x，y)＝0化为最简形式； 6.证明:说明化简后的方程的解为坐标的点都 是曲线上的点。(可省)
例2：解答下列问题，并说明理由：
（1）判断点A（-4，3），B (3 2, 4) ，C ( 5, 2 5) 是
否在方程 x2 y2 25(x 0) 所表示的曲线上。
（2）方程
ax2
by 2
25
所表示的曲线经过点A (0,
5), 3
B（1，1），则a=
,b=
.
下列各题中，图中表示的曲线方程是所列出的方程吗？ 如果不是，不符合定义中的哪个关系？
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例 2. 有一圆，它的圆心为 O，半径长 r=4，试 写出此圆的方程。
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例 3. 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它 上面每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都 是 2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
例1、一动圆截直线3x y 0和3x y 0所得 弦长分别为8，4，求动圆圆心的轨迹方程。
例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是 xy k.
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0) 是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.
例5、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。
于 A 点，过 C 且与 CA 垂直的直线与 y 轴交于 B 点，AB 的中点为 E，求 E 的轨迹方程。
注： 解题过程中，动点P的横坐标、纵 坐标都用直线斜率k 表示，消去k 就得 到点P的轨迹方程。这种求轨迹方程的 方法叫做消参法。
讲授新课 练习
讲授新课 练习
已知 C（2，2），过 C 的直线 CA 与 x 轴交 于 A 点，过 C 且与 CA 垂直的直线与 y 轴交于 B 点，AB 的中点为 E，求 E 的轨迹方程。
②
已知方程 y=2x2
的一组解为
x 2
x
, 8
以这组解为坐标的点 B（2，8）在不在曲线 C
上？
复习引入
1、已知曲线 C 的方程为 y=2x2
① 现曲线 C 上有点 A（1，2），A 的坐标是不 是 y=2x2 的解？点（0.5,t)在曲线上,则 t=_____.
②
已知方程 y=2x2
的一组解为
B {( x, y) | y 1 x2 0},则A B表示的
曲线是
，则A B表示的曲线
是
.
4、
画出方程( x y)( x 1 y2 ) 0的曲线.
巩固练习
5、f ( x0 , y0 ) 0是点P( x0 , y0 )在曲线f ( x, y) 0
上的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
x 2
x
, 8
以这组解为坐标的点 B（2，8）在不在曲线 C
上？
2、曲线包括直线,曲线与其所对应的方程 f(x,y)=0 之间有哪些关系?
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例 1.设 A,B 两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线 段 AB 的垂直平分线的方程.
讲授新课 例 1.设 A,B 两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线 段 AB 的垂直平分线的方程.
利用轨迹的特点 直接求出方程-------------定义法
例2、已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0), 点C在直线 2x y 1 0上运动，求 △ABC的重心的轨迹方程.
动点随着另一已知动ຫໍສະໝຸດ Baidu的运动 而运动———— 坐标转移法(相关点法)
例3、已知 C（2，2），过 C 的直线 CA 与 x 轴交
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，
那么（ ） D
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
复习引入
1. 画出函数 y=2x2 (-1≤x≤2)的图象 C.
2. 提问：画出两坐标轴所成的角在第一、三象 限的平分线 l，并写出其方程.
分析：直线 y=x 上的点的坐标都是方程 y=x 的解；以方程 y=x 的解为坐标的点都在 y=x 直 线上。
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1. 曲线与方程： 曲线与方程的关系：
一般地，在坐标平面内的一条曲线 C（看 作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二 元方程 F(x,y)=0 之间，如果具有以下两个关系：
① 曲线 C 上的点的坐标，都是方程 F(x,y)=0 的解； ② 以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点，都是曲 线 C 上的点， 那么，方程 F(x,y)=0 叫做这条曲线 C 的方程； 曲线 C 叫做这个方程 F(x,y)=0 的曲线．
例 5．已知 F(1，0)直线 l:x=-1，P 为平面上的 动点，过 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且
QP QF FP FQ,求动点 P 的轨迹 C 的方程。
小结
1、曲线与方程的关系； 2、求解方程的步骤.
巩固练习
①有一曲线,曲线上的每一点到 x 轴的距离等于 这点到 A(0,3)的距离的 2 倍，试求曲线的方程
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
复习引入
1、已知曲线 C 的方程为 y=2x2 ① 现曲线 C 上有点 A（1，2），A 的坐标是不 是 y=2x2 的解？点（0.5,t)在曲线上,则 t=_____.
复习引入
1、已知曲线 C 的方程为 y=2x2
① 现曲线 C 上有点 A（1，2），A 的坐标是不 是 y=2x2 的解？点（0.5,t)在曲线上,则 t=_____.
讲授新课
注 意：
1 如果……，那么…… 2 “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，
相对不同角度的两种说法． 4 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标
平面建立的．
讲授新课
提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什 么？写出它的方程．能否写成 y=|x|，为什么？
巩固练习
1、以 O 为圆心，2 为半径，上半圆弧、下半 圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是 什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？
2、下列方程的曲线分别是什么？
（1）y x2 x
（2）y
x2 x2 2x
（3）y aloga x
巩固练习
3、 设集合A {( x, y) | x 1 y2 0},
3．离原点距离为 2 的点的轨迹是什么？它的方 程是什么？为什么？
讲授新课
思考：从集合的角度来看：曲线 C 可以看成点 集 C，方程 f(x,y)的解集可以看成集合 F，若方 程 f(x,y)是曲线 C 的方程，则 C 与 F 有什么样 的关系？
F=C
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1