有标题 对角占优矩阵的性质及其应用

本科生毕业论文(设计)
题目：对角占优矩阵的性质及其应用
学生姓名：付艳
学号： ************
指导教师：***
专业班级：数学与应用数学
完成时间： 2012年5月
目录
0引言 (1)
1主要结果 (2)
1.1对角占优矩阵奇异性 (2)
1.2对角占优矩阵行列式 (3)
1.3对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性 (4)
1.4对角占优矩阵其他相关性质 (5)
1.5关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用 (9)
1.6关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用.........11结论 (14)
参考文献 (14)
致谢 (15)
对角占优矩阵的性质及其应用
数学与应用数学专业学生：付艳
指导教师：邹庆云
摘要：本文根据严格对角占优矩阵、不可约对角占优等概念，讨论了对角占优矩阵的若干性质及其应用，而对角占优矩阵有强、弱之分，本文主要以严格对角占优矩阵为研究对象，适当的给出了不可约对角占优矩阵的一些性质。

本文主要研究了对角占优矩阵的奇异性、行列式、特征值、以及其逆矩阵的对角占优性，同时研究了矩阵对角占优性在利用迭代法求解线性方程组，以及进行矩阵LU分解等方面的应用。

关键词：对角占优矩阵，奇异性，迭代收敛性，行列式，特征值。

Abstract：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominant concepts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of some of the dominant matrix. This article on the diagonally dominant matrix of singularity, the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant, while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations, as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the application.
Keywords：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant; eigenvalue.
0 引言
各类对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，19世纪末，人们在研究行列式的性质和值的计算时，就注意到“对角占优”这一性质，而对于对角占优矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解方面具有重要作用，因此，对对角占优矩阵性质
及其应用的探讨成为许多国内外学者的主要研究课题。

定义1 若A 是n n ⨯矩阵，且满足ii ij j i
a a ≠≥∑ ()ii ij j i
a a ≠>∑（1,2,,i n =…），则称A 为
对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。

定义2 设n 阶矩阵(),ij A a =当1n =时，若A 的惟一的元素不为0，则称A 为不可约，否 则称为可约；当2n ≥时，把正整数1,2,,n …的全体记为N ，若存在一个非空集合K ， 它是N 的真子集合（即K ⊂N,但K ≠N ）使0ij a ≠,当i ∉k,j ∈k.则称A 为可约矩阵，否则 称为不可约矩阵。

定义3 设n 阶矩阵()ij ij A a =满足下面三个条件：
（1）A 为对角占优矩阵， （2）A 为不可约矩阵，
（3）严格不等式ii ij j i
a a ≠>∑至少对一个下标i N ∈成立，
则称A 为不可约对角占优矩阵。

1 主要结果
1.1 关于对角占优矩阵奇异性研究
定理1 A 为严格对角占优矩阵，则A 为非奇异。

证明:用反证法。

假设有非零向量12(,,)n x x x x =…，满足
1
0,1,2,n
ij j
j a x
i ===∑…,n,
则存在正整数k ≤n,使得1max 0k j j n
x x ≤≤=>且 1,n
j kk kj
j j k
k
x a a x =≠=-∑
由此得 1,1,n
n
j kk kj
kj j j k
j j k
k
x a a a x =≠=≠≤
≤
∑
∑
这与A 严格对角占优的性质矛盾。

定理2若矩阵A 为不可约按行（或列）对角占优矩阵，则A 非奇异。

证明：仅考虑结论对不可约按行对角占优矩阵成立。

设矩阵A 为不可约按行对角占优矩阵，如果A 奇异，则存在非零向量x ，使得0Ax =， 记{}|,i I i x x ∞==显然0x ∞≠且I 非空，则
1,1,1,,n
n
n
ii ii i ij j ij j ij j j i
j j i
j j i
a x
a x a x a x a x i I ∞
∞=≠=≠=≠==
≤
≤
∈∑
∑
∑
（1）
如果{}1,2,I N n ==…，，则 1,,1,2,,n
ii ij j j k
a a i n =≠≤
=∑
…，
与对角占有性矛盾。

如果I N ≠，令/J N I =，则J 非空，且
,I J N I J ⋃=⋂=∅
由对角占优性以及（1） 1,1,,,n
n
ij ij j j j i
j j i
a x
a x i I ∞
=≠=≠≤
∈∑
∑
即
()
1,0,.n
ij
j j j i
a x
x i I ∞
=≠-≤∈∑
当j I ∉即j J ∈时j x
x ∞
>，故由上式立即得到0ij a =，因此
0,ij a J =∈∈，i I,j 与矩阵A 不可约矛盾。

证毕。

1.2 关于对角占优矩阵行列式的研究
定理3设()n n ij A a R ⨯=∈是（行或列）严格对角占优矩阵，则det A 和A 的主对角元素之 积
1122nn
a a a ⋅⋅⋅
同号。

而且，当A 是行严格对角占优时，
1det n ii ij
j i i A a a ≠=⎛
⎫
≥- ⎪⎝
⎭
∑∏。

当A 是列严格对角占优时，
1det n jj ij
i j j A a a ≠=⎛
⎫
≥- ⎪⎝
⎭
∑∏。

证明:由假设知
0,1,2,,ii a i n ≠=…。

记
()
sgn ,1,2,,;,n n
i ii i ij a i n B a R εε⨯===∈…
于是
12det A det B n εεε=…。

注意到B 的对角元素是正实数： 0,1,2,,.i ii ii a a i n ε=>=…
则B 的所有特征值具有正实部。

这样，由于B 是实的，复特征值必共轭成对出现，其积是正实数，而实特征值必为正实数，从而()det B —等于B 的所有特征值（按代数重数计）之积—必大于零。

因此有
()()121122sgn det sgn n nn A a a a εεε==……，证毕。

1.3 关于对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性的研究
定理4设()n n ij A a R ⨯=∈是行严格对角占优矩阵，则1A -是列元素严格对角占优矩阵。

证明:由于A 对角占优，则A 可逆。

令
()()
1
,ij ij A a A -==α
则
()
()
det()1,,1,2,,det i j
ij ij A i j n A +=-=α…
因此，只须证明
()()det det ,1,2,,.ii ij A A i n >=… 不失一般性，为了方便，取1, 2.i j == 从而我们可得知 ()11det 0.B > 注意到
()()()()11111212det det ,det det .B A B A == 为了完成定理的证明，只须证明 ()()1112det det 0.B B ±> 事实上，
()()22222322221223
22332333333313333311122
3
13det det det
det
n n n n n n n n n nn n n n n n nn a a a a a a a a a a a a B B a a a a a a εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪±=± ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
………………
……………………
()()()2222122322332313333321
3det n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a
a εεεεεεεεε±⎛⎫
⎪
± ⎪
= ⎪
⎪
⎪±⎝⎭
…………………
此式中最后的行列式是正的，因为其矩阵是行严格对角占优且对角元素全大于零，证毕。

1.4 对角占优矩阵其他相关性质
定理5设()n n ij A a C ⨯=∈行严格对角占优矩阵，则对于任何()n n ij B b C ⨯=∈成立
1
111,max
.n
ij
j n
i n
ii ij
j j i
b
A B
a a =-∞
≤≤=≠≤-
∑∑
证明:依算子范数定义，存在 ()12,,,,1,T
n n C ξξξξξ∞
=∈=…
使得 11.A B A B ξ
--∞
∞
=
令
()112,,,T
n A B ηηηηξ-=≡ 且令
01max ,i i i n
ηηη
∞
≤≤==
由A B ηξ=得
001
1
.n
n
i j j i j j j j a b ηξ===∑∑
于是
0000000000
001,1,1
1
1
,n n n
n n
i i i i j i i i i j j i j
j i j j i j j j i j j i j j j a a a a a
b b ηηηηξ=≠=≠===⎛⎫
-≤-≤
=≤ ⎪⎝⎭
∑∑∑∑∑
从而
000000
1
1
1
11,1,,
max n
n
i j
ij
j j i n
n
i n
i i i j
ii ij
j j i j j i
b
b
A B
a a a a η
η==-∞
∞
≤≤=≠=≠==≤
≤-
-
∑∑∑
∑
，证毕。

定理6 设11
12
11121
22212111211
1121
n n n n n n n n n n n n nn nn a a a a a a a a A a a a a a
a a a -----------⎛⎫
⎪--- ⎪
⎪=
⎪--- ⎪ ⎪---⎝
⎭
………
………
…
……①其中()0,,1,2,,ij a i j n ≥=…,A 为n 阶实方阵，若A 是对角占优矩阵，则： （1）()det 0A ≥；
（2）A 的所有主子式非负，即对所有的121k i i i n ≤<<<≤…，有
()1212det ,,,,0k k
A i i i i i i ≥……；
（3）A 的所有顺序主子式非负；
证明:设P 为n 阶行交换初等矩阵，则A 为对角占优矩阵当且仅当T PAP 为对角占优 矩阵，据此对A 的行与行和列与列施行相同的交换，使得第一行除对角线上的元素以外，还有元素不为零，为讨论方便，将T PAP 记为A ，现设矩阵A 具有形式①，其中A 满足
11121310,,,n a a a a >…不全为零。

（1）对矩阵A 的阶数应用数学归纳法。

当1n =时，结论真。

假定结论对阶数小于1n -的 矩阵均成立。

则当阶数为(2)n n ≥时，记
11
1213122232323332
30
0n n n n n nn a a a a b b b B b b b b b b ---⎛⎫
⎪
-- ⎪ ⎪=-- ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭
………………………
这里
1111,1111
,2;2i i ii ii i ij ij j a a
b a a i n b a a i j n a a =-
≤≤=+≤≠≤ 显然，
0,2ij b i j n ≥≤≠≤ 我们证明对每一个{}2,3,,i n ∈…，
1
111
0i ii ii i a b a a a =-≥ 因为，111i a a ≥，有
111
1i
a a ≤，所以： 111111111
0i i ii i ii i ii i a a
a a a a a a a a -=-≥-≥ 因此
1
111
0,2,3,,i ii ii i a b a a i n a =-
≥=… 再证B 仍是对角占优的，注意到：
111213
121
21
2122122313211111
11
31
31
31
32123313311111
11
1
1
1
212313111
11
1100
0n
n n
n n n n n n n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a a a a a a a ---⎛⎫ ⎪ ⎪-
---- ⎪
⎪ ⎪--
-
--= ⎪ ⎪
⎪
⎪--
--
- ⎪
⎝
⎭
…
………………
……
由条件第一行是行对角占优的，现考虑()2i i n ≤≤行，记
1111112,2,2111111n n n
i i i i ii i ij j ii ij
j j j i j j i j a a a t a a a a a a a a a a =≠=≠=⎛⎫⎛⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑ 但A 是对角占优的，所以有12,ii ij i j j i
a a a =≠-
≥∑
，从而
11
111112
2
1111()0;i i i i j
j j j a a t a a a a a a ==≥-=-≥∑∑
所以B 仍是对角占优的，设
222323233312
3
n n n n nn b b b b b b B b b b --⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
---⎣⎦
…………………
则1B 是对角占优的，由假设()1det 0B ≥，于是()()111det det 0A a B =≥。

（2）设1212,,,,k k A i i i i i i ……是A 的任意k 阶主子式，注意到1212,,,,k k A i i i i i i …… 仍是对角占优的，于是由（1）有： ()1212det ,,,,0k k A i i i i i i ≥……。

（3）由（2）立得。

下面给出例子说明上序性质不能作为A 对角占优的充分条件。

例1 设121360000A --⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪⎝⎭，则()det 0A ≥且A 的所有主子式均非负，但不是对角占优的，事实上，若有正对角矩阵 ()123,,,D diag d d d = 使得
1
231
2236000
0d d d AD d d --⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭
是对角占优的，即
123123230
3600d d d d d d --≥⎧⎨-++≥⎩
则用第一行的3倍加到第二次行上去，有390d -≥，但30d >，此不可能，所以A 不是 对角占优的。

1．5、关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用
定理7 如果对角矩阵占优的三对角线方程组
11112
22
2211111n n n n n n
n n n b c x f a b c x f a b c x f a b x f -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
…
………
……
………
………………
……， 简记Ax f =。

当1i j ->时，0ij a =，且：
()()()110;
,,0,(2,3,,1);0.
i i i i i n n a b c b b a c a c i n c b a >>≥+≠=->>…
则数值解三对角方程组的追赶法必可进行到底。

证明:由于方程组系数矩阵A 的各阶顺序主子式
()112
221
11,1,2,,k k k k k
k b c a b c A i n a b c a b ---⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
……………………
的行列的值满足：
当1k =时，由于110b a >>，则10b ≠； 当2k =时，由于1
1
2122122
det()b c A b b a c a b =
=-，所以 12211221bb a c bb a c -≥-， 又因为 11222,b c b a c >≥+且20c ≠，则 22b a >， 所以
122112210bb a c bb a c -≥->，即
2det()0A ≠； 假设，当k m ≤()m n <时有det()0k A ≠， 则当1k m =+时，
111
12
2
2
2
2
2
111
11
1
1
det 0m m m m m m
m
m
m m m m m b c b c a b c a b c A a c a b a b c b a b a b +++++++==-
………………………………………………
………………………………
1
1
2221
111111
det B m m m m m m m m
m
m m b c a b c b b a b c a c a b b ++---++==-…………………
…
…
……………
…
由于对m B ，
1111
m m m m m m m m m m a c a c
b a b a b b ++++-
-≥--， 而 111m m m b a c +++≥+，且10m c +≠，所以 1
1
1m m a b ++<， 则
11
0m m
m m m m m m a c b a b c a b ++-
-≥--≥， 所以m B 为对角占优，所以det 0m B ≠，则11det det 0m m m A b B ++=≠，
即证对任意k n ≤有det 0k A ≠，所以A 可以作LU 分解，则上述命题成立，证毕。

1.6 关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用
定理8 设n 阶矩阵()ij ij A a =为强对角占优或不可约对角占优，且1B I D A -=-，其中
()11220,,nn ii D diag a a a a ≠=，…，，则()1B ρ<。

证明:因为矩阵B 的特征多项式为：
()()()()11det det (1)det det 0I B I D A D D D A λλλ---=-+=-+=； 而()1det 0D -≠，于是B 的特征值为()det 0D D A λ-+=之根， 记
1112121
22212D-D+A=n n n n nn a a a a
a a C a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
λ…λ…λ…
…………λ
下面来证明，当1λ≥时()det 0C ≠，即B 的特征值均满足1λ<。

事实上，当1λ≥时，由A 为严格对角占优矩阵，则有：
()1
1
111
1
1,,1,2,i n
i n
n
ii ii ij ij ij ij
ij j j i j j i j j i
c a a a a a
c i --==+==+=≠⎛⎫=>+
≥+=
= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑
λλλ…，n
这说明，当1λ≥时，矩阵C 为严格对角占优阵，则()det 0C ≠，矛盾，则1λ<，所以
()1B ρ<，证毕。

例1 令2112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11,22D diag a a =，1
B I D A -=-，求证：()1B ρ<。

证明：由于A 为强对角占优，而
1
102102B I D A -⎛⎫ ⎪=-= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
则B 的特征多项式 ()21
det 04
I B λλ-=+
=， 则特征值()1
2
i B i λ=±，故()1B ρ<。

类似于性质3，我们可以得到如下性质：
定理9 设n 阶矩阵()ij A a =为强对角占优矩阵或不可约对角占优，1G I M A -=-，其中
11212201
2,ii n n nn a a a M a a a a ≠⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………，则()1G ρ<。

上序两条性质在利用雅可比迭代法（高斯-塞德尔迭代法）解线性方程组，判断迭 代法的收敛性应用广泛。

例 2 设方程组123521121422023103x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，考察雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法的
收敛性。

解:由于系数矩阵5211422310⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
满足：
5213
412310235
>+=>-+=>+-=
则系数矩阵严格对角占优，所以()1B ρ<（B 同性质3），()1G ρ<（G 同性质4）； 所以，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法的收敛。

定理10设AX b =，如果：
（1）A 为严格对角占优矩阵（或A 为弱对角占优不可约矩阵）； （2）01ω<≤。

则解AX b =的SOR 迭代法收敛。

证明:因为A 严格对角占优，故 0ii a ≠ ()1,2,,i n =… 且A 非奇异，又SOR 法的迭代矩阵L ω为 ()
()()1
1L D L D U ωωωω-=--+
其中A D L U =--，而,,D L U --分别为对角，严格下三角和严格上三角，下面只须证明当
01ω<≤时，()1L ωρ<即可。

反证法：假设L ω有一个特征值1λ≥，则有 0I L ωλ-= 即
()()()1110D L D L D U ωωωωλ-⎡⎤
----+=⎢⎥⎣⎦
有
()
()1
1110D L D L U ωωωωλλ-⎛⎫
-----= ⎪⎝⎭
由于A 严格对角占优，故 ()1
0D L ω--≠
所以只有
()1110D L U ωωωλλ⎛⎫
----= ⎪⎝⎭
事实上，令
()111P D L U ωωωλλ⎛⎫
=---- ⎪⎝⎭
则
()()1,1
11111n ii ii ii ii ij j j i p a a a a =≠⎡⎤=--≥--≥>⎢⎥⎣⎦
∑ωωωωλλ
()1
1
1
1,1,2,i n
n
ij ij ij j j i j j i
a a p i -==+=≠≥+
==∑∑∑
ωω…，n λ
即
1,n
ii ij j j i
p p =≠>
∑
故P 在01ω<≤时，也严格对角占优，从而0P ≠，这与0I L ωλ-=矛盾，故假设不成 立，从而1λ<。

即()1L ωρ<，SOR 迭代法收敛，证毕。

2 结论
针对我们对对角占优矩阵的上序研究，我们发现了对角占优矩阵的非奇异性，以及
某些特殊的对角占优矩阵其特征值的实部是非负的，而对于严格对角占优矩阵其逆矩阵 也是严格对角占优的，同时我们还给出了矩阵对角占优性在矩阵的分解、以及用迭代法 解线性方程组方面的应用。

但本文对弱对角占优矩阵相关性质的研究不够深入，以及未 涉及到块对角占优矩阵的性质，在这些方面还需要广大读者做更深入的探讨。

参考文献：
[1] 曾金平·数值计算方法［Ｍ］·长沙：湖南大学出版社，2006
[2] 李庆扬，王能超，易大义·数值分析［Ｍ］·北京：清华大学出版社，2001 [3] 郭世平·广义对角占优矩阵的若干基本性质［Ｊ］·安徽教育学院学报2005
[4] 程云鹏·矩阵论［Ｍ］·西安：西北工业大学出版社，2001
[5] 陈景良，陈向晖·特殊矩阵［Ｍ］·北京：清华大学出版社，2000
[6] HORN R A.JOHNSON C R. Matrix Analysis[M].Cambridge U.P. Cambridge, New York,1985
致谢：在撰写本论文的过程中，得到了指导老师的大力帮助，倾注了导师大量的心血。

在此，谨向邹庆云老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！并感谢在编辑本文中对我帮助甚多的广大同学们！。