晶体教程 第五章 晶体定向与结晶符号

第五章晶体定向和结晶符号
只要在生长时有足够的自由空间，晶体必然会长成由许多晶面和晶棱包围的几何多面体。

在晶体上，所有的晶面、晶棱和角顶，它们的分布都是对称的。

但除此而外，晶面和晶棱之间还有另一方面的几何关系，表现在晶面和晶棱相截或平行时，都可以用确定的数学形式来表征彼此间的空间取向关系。

为了表达这种关系，首先需要在晶体中建立起一个坐标系，这就是晶体定向。

所谓晶体定向，就是要在晶体上选择合理的三维坐标系，包括在晶体上选择坐标轴和确定各坐标轴的度量单位两项工作。

在此基础上，就可以进一步确定晶面符号和晶棱符号，用数学的方式来表示各个晶面或晶棱在晶体上的方向，并反映出它们彼此间的几何关系。

其中，平行于同一晶棱的若干晶面，特别称之为一个晶带。

而整数定律则是进行上述这些工作的依据。

在本章中，首先讨论晶体定向的原则，以便在晶体中建立起一个三维坐标系，在此基础上，分别叙述晶面符号和晶棱符号的构成。

最后，再讲述整数定律以及有关晶带的问题。

第一节结晶轴和晶体几何常数
一、结晶轴的概念和选择原则
⒈结晶轴的概念
晶体中的坐标轴称结晶轴，简称晶轴。

晶轴是几根假想的直线，沿着与晶体对称有关的限定方向穿过理想晶体，相交在晶体中心。

⒉晶轴的选择原则
晶轴的选择不是任意的。

首先，晶轴的选择要符合晶体自身的对称性，因此，要优先选择对称轴和对称面的法线方向。

若晶体无对称轴和对称面或其数目不够时，则选合适的晶棱方向，在选择晶棱做晶轴时，可以设想将其平移至晶体中心。

其次，在满足上述条件的前提下，应使晶轴尽可能互相垂直或近于垂直，并使轴单位尽可能相等，即使a=b=c α=β=γ=90°。

⒊晶轴的安置及名称
三轴定向：除三方晶系、六方晶系以外的晶体，均采用X、Y、Z三轴定向。

X、
Y、Z晶轴的安置是：Z轴直立，上端为正；X轴前后，前端为正；Y 轴左右，右端为正。

轴角：X、Y、Z晶轴正端之间的夹角为轴角。

分别用α（Y∧Z）、β（Z∧X）、γ（Y∧Z）表示，如图5-1。

四轴定向：三方、六方晶系的晶体采用X、Y、U、Z四轴定向。

四根轴的安置是：其中Z轴为直立轴，上端为正。

X、Y、U为三个水平轴，Y轴左右，右端为正；X轴为左前，前端为正；U轴右前，后端为正。

水平晶轴X、Y、U正端之间的夹角为120°（图5-2、5-3）。

图5-1 三轴定向晶轴的安置和轴角图5-2 四轴定向晶轴的安置图5-3 四轴定向水平晶轴的安置
二、轴单位（轴长）和轴率
⒈轴单位：晶轴的度量单位称轴单位，轴单位是与相应晶轴平行的行列上的结点间距，X、Y、Z轴上的结点间距用a、b、c表示。

结点间距很小，需借助X射线衍射测定。

目前，绝大多数的晶体结构都已测定，轴单位和轴角是已知的，对于晶体的外形来说，重要的不是三个轴单位的具体长度，而是它们的比率。

⒉轴率：将轴单位进行连比，记为a:b:c，称为轴率。

轴率通常以b的长度作为单位长度，写成以b为1的连比式，例如橄榄石的轴率是0.46575:1:0.58651。

三、晶体几何常数
轴率a:b:c和轴角α、β、γ合称晶体几何常数，这是表示晶体坐标系统特征的一组参数，与晶体内部结构研究中的晶胞参数相同。

不同晶系的晶体，具有不同规律的晶体常数；同一晶系的不同晶体，晶体常数的规律相同，但具体数值不等。

知道晶体几何常数以后，就可以知道晶体构造中晶胞的形状，如果再用X射线晶体结构分析测得轴单位的具体长度，就可以知道晶胞的大小。

例如橄榄石，晶体常数为a:b:c=0.46575:1:0.58651，α=β=γ=90°，晶胞形状像火柴盒。

闪锌矿，a:b:c=1:1:1,α=β=γ=90°，晶胞形状为立方体，若测得a=0.540nm，可知晶胞是棱长为0.540nm的立方体。

第二节各晶系晶轴的选择及其晶体常数特点
不同晶系的对称特点是各不相同的。

为了更好地适应于晶体的对称性，在选择结晶轴的总原则不变的前提下，对于不同晶系的晶体，选择结晶轴的具体法则也应有所不同。

相应地，它们的晶体几何常数特征也将表现出一定的差异。

由于三方晶系和六方晶系对称的特殊性，因而它们的晶体定向也与其他晶系有较大的不同，采用四轴定向；除了三方晶系和六方晶系之外，其它几个晶系采用三轴定向，即选择三个结晶轴的晶体定向。

现将各晶系晶体的具体定向法则，分别叙述如下：
⒈等轴晶系
⑴对称特点：必有三个互相垂直的L4或L i4或L2，理想发育的晶体总沿这三个方向呈等长状态，这三个方向可以借助于L3的作用互相重复，因此晶体在这三个方向的性质相同，结点间距相等。

⑵选轴原则：以互相垂直的3L4或3L i4为X、Y、Z轴；没有四次轴时选择互相垂直的3L2为X、Y、Z轴。

并使Z轴直立，Y轴左右，X轴前后。

见图5-4。

⑶晶体几何常数：a =b=c，α=β=γ=90°。

轴率a:b:c =1:1:1。

a b
图5-4等轴晶系晶轴的选择与安置
a=b=c，α=β=γ=90o（a-闪锌矿；b-方铅矿）
⒉四方晶系
⑴对称特点：必有而且只有一个L4或L i4，晶体沿四次轴发育较长或较短。

⑵选轴原则：以L4或L i4为Z轴，以与L4或L i4垂直且互相垂直的两个L2为X、Y轴，两者分别位于前后、左右方向；如果晶体无L2时，则选择两个互相垂直的对称面法线方向为X、Y轴；如既无L2也无对称面时，则选择合适的晶棱方向为X、
Y 轴。

见图5-5。

⑶ 晶体几何常数：a=b≠c ，α=β=γ=90°。

轴率a:c （因a = b ， 故轴率以a:c 表示）的值因晶体种类不同而不同，例如锆石a:c=1:0.64037，黄铜矿a:c=1:1.97050。

⒊ 斜方晶系 ⑴ 对称特点：L 2和P 的总数不少于三个，且3L 2 或L 2与2P 法线互相垂直。

⑵ 选轴原则：有3L 2时，以此互相垂直的3L 2为X 、Y 、Z 轴；在L 22P 中，以L 2 为Z 轴，2P 法线为X 、Y 轴。

见图5-6。

⑶ 晶体几何常数：a≠b≠c ，α=β=γ=90°，轴率a:b:c 因晶体种类不同而不同，如文石a:b:c=0.62244:1:0.72056。

图5-5四方晶系晶轴的选择与安置 图5-6斜方晶系晶轴的选择与安置
a ＝b≠c,α=β=γ=90o a≠b≠c,α=β=γ=90o
（锆石a:c=1:0.6404） （十字石a:b:c=0.47341:0.6828）
⒋ 单斜晶系
⑴ 对称特点：L 2或P 的个数不多于1个，在L 2PC 中，L 2与P 的法线重合。

⑵ 选轴原则：以L 2或P 的法线为Y 轴，以两根均垂直Y 轴的合适晶棱方向为X 、Z 轴。

X 、Z 轴均与Y 轴垂直，X 轴与Z 轴不垂直。

安置晶轴时，使Z 轴直立，Y 轴左右水平，X 轴前后并向前下方倾斜（图5-7）。

⑶ 晶体几何常数：a≠b≠c ，α=γ=90°，β>90°，轴率a:b:c 的具体数值在不同种的晶体中不同。

⒌三斜晶系：
⑴ 对称特点：只有L 1和C 。

⑵ 选轴原则：以三根合适显著的晶棱方向为X 、Y 、Z 轴。

晶轴安置：先使Z 轴直立，然后使Y 轴左右并向右下倾斜。

此时，X 轴应居于前后并向前下倾斜（图
5-8）。

⑶ 晶体几何常数：a≠b≠c ，α≠β≠γ≠90° 。

轴率a:b:c 值和轴角α、β、γ值均因晶体种类不同而异。

图5-7单斜晶系晶轴的选择与安置图5-8三斜晶系晶轴的选择与安置
a≠b≠c,α =γ=90o，β＞90o a≠b≠c,α≠β≠γ≠90o
（榍石a:b:c=0.7547:1:0.8543, β=119.43O）（钠长石a:b:c=0.6335:1:0.5577, β=94.3o）
⒍三方及六方晶系（四轴定向）
⑴对称特点：有且只有一个L3或L6（L i6），晶体往往沿此方向发育较长或较短。

⑵选轴原则：以唯一的高次轴为Z轴，以与Z垂直且彼此成60°角相交的3L2或3P法线或三条适当晶棱方向为X、Y、U轴。

⑶晶体几何常数：a=b≠c，α=β=90°，γ=120°。

轴率a:c具体数值不同。

图5-9 三方及六方晶系晶轴的选择与安置
a＝b≠c,α=β=90o，γ=120o
左：方解石a:c=:1:0.8543, 右：绿柱石a:c=1:0.4989,
综上所述，在晶体的三轴定向中，选择结晶轴的一般步骤是：有四次轴时优先选择四次轴，四次轴不够或没有时选择L2，L2不够或没有时选择P的法线，最后连P的法线也不够或没有时，选择合适的晶棱方向。

在以上的选择中，除单斜晶系优先考虑Y轴之外，其余皆优先考虑Z轴。

最后，还有两种情况需要加以说明。

按照上述的晶体定向的具体法则，结晶轴选择的可能性往往并不是唯一的。

一种情况是，例如对一个四方柱状晶体（四方晶
系，对称型4/mmm，L44L25PC）来说，Z轴的选择只有唯一的一种可能，但X轴和Y轴却允许有两种可能的选择。

如图5-10所示。

从外形上讲，这两种定向都是符合定向法则的，但从是否符合于晶体内部格子构造的划分方式来考虑，那么，其中只有一种定向才是正确的。

另一种情况是，例如对一个火柴盒般的晶体(斜方晶系，对称型mmm，3L23PC)来说，以它三个相互垂直的L2作为X轴、Y轴和Z轴，这是没有其它选择余地的，但究竟以哪个L2作为X轴。

哪个L2为Y轴，哪个L2作为Z轴却有六种可能的不同配置方式，如图5-11所示。

而且从内部结构的角度来看，这六种方式都是正确的。

在这里，我们就必须遵守所谓的从先律，即对于前人已经做出的晶体定向，只要没有错误，我们就应该遵从前人所作的选择。

图5-10 四方晶系晶体中水平晶轴两套可能的选择
图5-11斜方晶系mmm(3L23PC)对称型晶体中，晶轴的6种可能配置方式
各晶系晶轴的选择及晶体几何常数特点见表5-1。

表5-1各晶系选择晶轴的原则及晶体几何常数
第三节晶面符号
在完成了晶体的定向工作，也就是在晶体上建立了三维坐标系之后，就可以用简单的数字符号，表示晶面在晶体上的位置，这种数字符号称为晶面符号。

晶面符号有不同类型，通常采用的是米氏符号，是英国人米勒尔(ler)在1839年提出的。

一、米氏符号的构成与晶面指数的确定
米氏符号：用晶面在各晶轴上截距系数的倒数比表示晶面在晶体上位置的简单数字符号。

⒈米氏符号的构成（图5-12 ）：假设有一任意晶面HKL，它在X、Y、Z轴上的截距为OH、OK、OL，X、Y、Z轴的轴单位为a、b、c，求晶面符号。

已知晶面HKL在X、Y、Z轴上的截距分别为：OH=2a，OK=3b，OL=6c，晶面在X、Y、Z轴上的载距系数的倒数比为1/2：1/3：1/6，化整成为3：2：1，去比例号，加小括号，写成（321），即为该晶面的米氏符号。

小括号内的数字称为晶面指数。

三轴定向的晶面指数按X、Y、Z轴的顺序排列，
不能颠倒，一般式写成（hkl）；四轴定向的晶面指数按X、Y、U、Z轴顺序排列，不能颠倒，一般式写成（hk i l）。

⒉利用轴率确定晶面符号
三轴定向的晶体，如果已知轴率a:b:c和晶面在各晶轴上的截距OH 、OK、OL，晶面指数可直接由下式求出：
h:k:l=a/OH:b/OK:c/OL
四轴定向（三方、六方晶系）的晶体，由于有四个结晶轴，相应每个晶面就有四个晶面指数。

此时，由于轴率总是1：1：1：c′，故晶面指数可直接由下式求出：
h:k:i:l=1/OH:1/OK:1/OI:C′/OL
图5-12 求晶面符号的图解图5-13 证明h+k+i=0图解
四轴定向中，晶面在水平晶轴上晶面指数的代数和为0。

从数学角度来看，三个水平结晶轴中必定有一个是多余的。

这就意味着，在对应于水平结晶轴的三个指数h、k、i中，必定只有两个是独立的参数；三者之间有某种确定的关系，由其中的任意两者必定能确定第三者。

根据四轴定向时三个水平结晶轴的正端互成120°交角的关系，在此应当有：
h +k +i = 0
亦即与三个水平结晶轴相对应的晶面指数，它们的代数和永远为0。

图5-13所示为包含三个水平结晶轴的平面，AB为某一晶面ABE与此平面相交的迹线。

晶面ABE分别截X轴、Y轴、U轴于A、B、C，显然，OA、OB、OC即为晶面在X轴、Y轴、U轴上的截距。

现过B点作U轴的平行线BD，BD交X轴于D点。

根据三根水平晶轴之间的夹角关系可知OBD为等边三角形，因此
OB=OD=BD ⑴
同时，AOC∽ADB
AD/DB=OA/OC ⑵
即：（OA+OB）/OB=OA/OC
简化后得：1/OA）+（1/OB）－（1/OC）=0 ⑶
根据关系式h:k:i:l=1/OH:1/OK:1/OI:C…/OL ⑷
对应于三个水平晶轴的晶面指数应为：
h=n/OA，k=n/OB，i=n/OC ⑸
式中n 为在简化晶面指数时所可能存在的公因数。

将式⑸代入式⑶即得：
h+k+i=0
利用这一关系，可以给确定晶面符号的工作带来不少方便。

如果晶面平行于某个晶轴时，晶面在此晶轴上的截距和截距系数都等于无穷大，相应的晶面指数等于0。

这就是为什么不直接用截距系数，而是要用它们的倒数来作为晶面指数的原因。

此外，在同一单形中如果有两个晶面相互平行，那么，根据相似三角形的原理，它们在三个结晶轴上的截距必定全都对应相等，但因它们分别位于原点的相反两侧，因而截距值的正负号则恰好相反。

因此，对于同一单形的所有晶面来说，凡是相互平行的一对晶面，它们的晶面指数的绝对值必定对应相等，而正负号则均相反，例如(321)与(321) (001)与(001)等。

例1：八面体的某晶面与X、Y、Z轴正端等长相截，求该晶面的晶面符号。

已知等轴晶系a=b=c，a:b:c=1:1:1，八面体晶面在三晶轴上的截距相等，即
OH=OK=OL，则：
h:k:l=1/OH:1/OK:1/OL=1:1:1 ，故晶面符号为(111)。

例2：六方柱某晶面与X、Y轴正端等长相截，与Z轴平行，写出晶面符号。

h:k:i:l =1/OH:1/0K:1/OI:c′/∞
=1/OH:1/OH:2/OH:0
=1:1:2:0
由于晶面截X、Y轴与正端，则必截U轴于负端，故其晶面符号为(110)。

例3：六方双锥某晶面与X、Y轴正端等长相截与Z轴正端相截，求其晶面符号。

h:k:i:l =1/OH:1/OH:2/OH:c′/OL
=1:1:2: c′/OL
该晶面的晶面符号为(hh h2l)。

下面我们来看一下等轴晶系的黄铁矿晶体的具体实例。

图5-14所示黄铁矿的晶体共有26个晶面，按它们的形状可分为三组，6个矩形晶面(标有记号a者)，12个近于梯形的晶面(标有记号e者)；8个等边三角形晶面(标有记号o者)。

晶体属m3(3L24L33PC)对称型；每一对矩形晶面的垂线方向均为L2，即以此三个相互垂直的L2为结晶轴。

由于是等轴晶系晶体，故轴率a:b:c=l:1:1。

在6个矩形晶面中，晶面a1与X轴相截而与Y轴及Z轴平行，截距系数之比为1:∞:∞，其，倒数比为1:0:0。

因此，晶面a1的晶面符号应为(100)。

与晶面a1平行的另一晶面a4，截X轴于负端而与Y轴、Z轴平行，所以晶面a4的符号为(100)。

晶面a2及与之平行的晶面a5，均与X轴及Z轴平行而与Y轴相截，其中a2截于正端而a5则截于负端，因此，它们的晶面符号分别为(010)与(010)。

晶面a3及与之平行
的晶面a6则均与X轴、Y轴平行而与Z轴相截，相应的晶面符号应为(001)与(001)。

在12个近于梯形的晶面中，晶面e l延展后将与X轴及Y轴相截而与Z轴平行，
图5-14 黄铁矿晶体定向及求晶面符号图示图5-15 正长石晶体的定向及求晶面符号图示
它在三个晶轴上的截距系数之比为1:2:∞，其倒数比为1/1:1/2:1/∞=2:1:0，故e l之晶面符号为(210)。

晶面e2与e1不同之处仅在于它截Y轴于负端，故e2之晶面符号应为(210)。

晶面e4与X轴平行而与Y轴及Z轴相截，截距系数之比为∞:1:2，相应的晶面符号为(021)；而晶面e6之符号则为(021)。

晶面e5与Y轴平行而与X轴Z轴相截，截距系数之比为2:∞:l，晶面符号为(102)；而晶面e3之符号则为(102)。

除了这六个晶面外，近于梯形的晶面一共还有六个，它们分别位于晶体的后面和左面，同理得出它们的晶面符号。

这样，12个近于梯形的晶面的晶面符号如下：
(210)、（210）、（021）、(021)、(102)、（102）
(10)、（10）、（01）、(01)、(10)、（102）
在8个三角形晶面中，晶面o1延展后将与三个结晶轴均相交，且三个截距系数值也都相等，即为1:1:1，故其晶面符号为(111)。

另外七个晶面的情况与o1 类似，只是与不同结晶轴截于正端或负端上有所差异。

它们的晶面符号如下：
（111）、（111）、（111）、（111）
（111）、（111）、（111）、（111）
以上上下对着写的两个晶面符号，代表晶体上相互平行的一对晶面。

再例如单斜晶系的正长石晶体（图5-15)。

其对称型为2/m(L2PC)，我们以L2方向作为结晶轴Y轴，以m、a、b等晶面的交棱方向为Z 轴，而以c、n、b等晶面的交棱方向为X 轴；正长石晶体结构中相应方向上行列的重复周期，亦即晶胞的三根棱长为a=0.860nm，b=1.306nm，c=0.719nm，轴率a:b:c=0.6585:1:0.5554。

此时晶面在三个结晶轴上的截距(指截距，不是指截距系数)之比为2.270:1.148:∞，则：h:k:l=0.6585/2.270:1/1.148:0.5554/∞=0.2904:0.8712:0=1:3:0
故正长石上晶面a之晶面符号为（130）。

其他各晶面都可利用相同的关系式，根据各自的截距比，求出相应的晶面符号。

应当说明，在实际晶体的晶面符号计算工作中，我们并不是真正去测量每一晶面在各个结晶轴上截距的具体长度，然后据以来求晶面符号的。

在实际工作中，都是根据晶体测量所得出的各个晶面的极坐标值。

计算出晶面法线与三个结晶轴间的夹角θx，θy，θz，由于角距与截距间有如下的关系:
cosθx:cosθy:cosθz=1/OX:1/OY:1/OZ
因而可由下式直接求出晶面指数：
h:k:l= cosθx:cosθy:cosθz
二、晶面指数与晶面相对空间位置的关系
在实际应用中，主要问题不是如何去测试晶面符号，而是在看到一个晶面符号之后，能够理解它的含义，想象出晶面在晶体上的空间位置。

从这一方面来说，下面几点结论有其应用价值：
⒈如果晶面与某晶轴平行，则晶面在该晶轴上的截距和截距系数为∞，相应的晶面指数为0；
⒉如果晶面与晶轴截于负端，相应晶面指数为负，把负号写在相应晶面指数的上端如（321）；
⒊在同一晶体上，如果有两个晶面，晶面指数的绝对值全部对应相等，符号全部对应相反，则这两晶面互相平行，如（001）和（00）；（130）和（130）；
⒋如果仅知道晶面与晶轴是相交的，但无法确定晶面指数的具体数值，这类晶面符号用一般式来表示，如（hkl），（hhk），（hkk）等；
⒌在同一晶面符号中，晶面指数的绝对值越大，表示晶面在相应晶轴上的截距系数越小，在轴单位相同的情况下，还表示晶面在该晶轴上的截距越小，如（110），晶面在U轴上的截距是X、Y轴上的1/2。

三、整数定律
根据对实际资料的统计结果，各种晶体上常见晶面的晶面指数，都是绝对值很小的整数，其绝对值都不大于3，等于或大于6的指数很少见（仅出现在晶面极繁多的晶体上）。

这就是整数定律所要阐明的内容。

图5-16面网Kb5（垂直纸面）截X轴在图5-17 晶面（垂直纸面）的网面密
结点之间，平移至a1b2处截X轴在结点上度愈大，在晶轴上截距系数之比愈简单
整数定律：晶面在各晶轴上的截距系数之比，恒为简单整数比。

从晶体内部的格子构造分析，得出上述结论是很自然的，因为：
①晶面是格子构造中的面网，我们所选的晶轴又是格子构造中的行列，晶面与各晶轴截于结点或平移后截于结点，截距又是以各晶轴行列方向的结点间距为单位度量的，故晶面在各晶轴上的截距系数一定为整数，之比当然是整数比。

如图6-16所示，晶面a1b2在X，Y轴上的截距系数为1a，2b，截距系数之比为1:2；晶面Kb5截X轴在结点之间，平移后截晶轴于结点(a2、b4)，截距为2a，4b，截距系数之比为1:2，均为整数比。

②据布拉维法则，实际晶面往往是面网密度较大的面网。

图5-17有一系列交于X，Y轴的面网，面网密度是a1b1＞a1b2＞a1b3＞a1b4＞……a1bn；截距系数之比为a1b1=1:1、a1b2= 1:2 、a1b3=1:3、a1b4= 1:4……a1b n= 1:n ，显然，面网密度越大，晶面在各晶轴上的截距系数之比越简单。

第四节晶棱符号和晶带符号
一、晶棱符号
晶棱符号是表征晶棱方向的符号，它只与晶棱方向有关，不涉及晶棱的具体位置，即所有平行的晶棱具有同一个晶棱符号。

确定晶棱符号的方法如下：
在晶体定向之后，将晶棱平行移动使之经过坐标原点，在晶棱上任取一点，确定其在三个晶轴上的坐标（x,y,z），并用轴单位度量，得到三个坐标系数，将坐标系数连比，将比值连写放在“[ ]”内，即得晶棱符号。

即[rst]=r:s:t = x/a:y/b:z/c。

如图5-18，设晶体上有一晶棱OP，将其平移使之通过坐标原点，并在其上任取一点M，M点在三根晶轴上的坐标分别为MR=1a、MK=2b、和MF=3c，三根晶轴的轴单位分别为a、b、c，则r：s：t = MR/a：MK/b：MF/c=1：2：3。

故晶棱的符号为[123]。

二、晶带
交棱相互平行的一组晶面的组合，称为一个晶带。

如图5-19 所示，晶面110）、（100）、（110）、（010）、（110）、（100）、(110)、（010）的交棱相互平行，组成一个晶带（后四个晶面在晶体后面，图上未绘出）；平行此组晶棱，过晶体中心的直线CC′为晶带轴；该组晶棱的符号[001]也是晶带轴符号，此晶带的符号用晶带轴符号[001]表示。

该晶带上所有晶面的赤平投影点落于同一个大圆上。

同理，晶面（100）（101）、（001）、（101）、（100）、（101）、（001）、（101）又组成一个晶带轴为BB′的[010]晶带。

此外，还可以找到晶带轴为AA′的[100]
晶带等。

三、晶带定律
所有晶体均是有限的封闭几何多面体，所有晶面均与其他晶面相交，因此，每
个晶面必有两个或两个以上方向的互不平行的晶棱，至少属于两个晶带，而每个晶带至少包含两个互不平行的晶面。

图5-18 晶棱符号的表示方法图5-19 晶带及其赤平投影
晶带定律：晶体上任一晶面至少属于两个晶带。

它也可以这样表述：任意二晶带（晶棱）相交必决定一个可能晶面，而任意两晶面相交必决定一个可能晶带。

根据这一规律，可以由若干已知晶面或晶带推导出晶体上所有可能晶面。

在晶体定向、投影和运算中，晶带定律得到了广泛应用。

四、晶带符号（晶棱符号）与晶面符号的关系
设晶面（hkl）位于晶带[rst]上，亦即[rst]直线位于平面（hkl）之中，则根据平面方程式可以导出：hr+ks+lt = 0。

根据上述基本公式，可以做如下的推导和运算。

⒈求晶面(hkl)和晶面(mnp)所决定的晶带[rst]。

因为：hr+ks+lt=0 mr+ns+pt=0
则：r:s:t = (kp-nl):(lm-ph):(hn-mk)
上式右方可用行列式表示：
k l ·l h ·h k
n p ·p m ·m n
或写作：
h k l h k l
×××
m n p m n p
此式较易记忆，即将每一晶面的指数依次写两次，将两晶面的指数写成上下两行，用竖线隔开，并删去左右两列，然后交叉相乘并依次取其乘积之差。

现举例说明如下：
例如，求晶面（100）和晶面（010）所决定的晶带。

1 0 0 1 0 0
×××
0 1 0 0 1 0
r = 0×0-1×0 =0，s = 0×0-1×0 =0，t = 1×1-0×0 =1，即此晶带的符号为[001]。

⒉求位于晶带[rst]和晶带[uvw]交点的晶面（hkl）。

因为：hr +ks +lt =0 hu +kv +lw =0
则与例（1）类比，可用下列行列式计算：
r s t r s t
×××
u v w u v w
例如，求位于[010]和[001]两晶带交点的晶面的晶面符号（hkl）。

0 1 0 0 1 0
×××
0 0 1 0 0 1
h = 1×1-0×0 =1，k = 0×0 - 1×0 =0，l = 0×0-0×1 =0
即该晶面的晶面符号为（100）。

⒊已知晶面（hkl）和（mnp）在同一晶带上。

求位于此晶带上介于此两晶面之间的另一晶面的符号。

因为hr +ks +lt = 0 mr + ns + pt = 0
则( h+m )r +(k + n)s + (l + p)t = 0
即此晶带上介于（hkl）和（mnp）晶面间的另一晶面的指数为(h+m)、(k+n)和(l+p)。

例如：已知晶面（100）和（010）位于同一晶带上，则在此晶带上介于此二晶面之间的另一晶面的指数应为（1+0）、（0+1）和（0+0），即（110）。

根据两晶面可决定一晶带，两晶带决定一晶面的规律，即可在一个晶体上，根据几个已知晶面，推导出该晶体上一切可能的晶面和晶棱。

第五节对称型符号
一、对称型的圣佛利斯符号
对称型的圣佛利斯符号是法国学者A．M．圣佛利斯根据对称要素组合规律拟就的一种表示对称型的符号。

⑴ C n：表示对称轴，C表示旋转（Cyclisch group）下标n表示轴次，有C1，C2，C3，C4，C6分别代表L1，L2，L3，L4，L6 。

⑵ C nh：表示直立对称轴L n与水平对称面组合，下标h为horizontal的字头，有C1h，C2h，C3h，C4h，C6h五种，分别表示P，L2PC，L3P（L i6）L4PC，L6PC五种对称型。

⑶ C nv：表示直立L n与直立对称面组合，即L n+P n = L n nP组合，下标v为Vertical （直立的）的字头，有C2v，C3v，C4v，C6v四种，表示L22P，L33P，L44P，L66P。

⑷ D n：表示L n与二次轴组合，即L n+L2 = L n nL2，有D2 D3 D4 D6四种，表示L22L2 =3L2，L33L2 ，L44L2 ，L44L2 ，L66L2五种对称型。

⑸ D nh：表示在D n基础上再加一个水平对称面组合，即L n+L2+P =L n nL2(n+1)P(C)组合，有D1h，D3h，D4h，D6h四种，表示3L23PC，L33L24P =L i63L23P，L44L25PC，L66L27PC。

⑹ D n d：d为对角线的意思，为diagonal的字头，有两种：D2d，D3d，表示L i42L22P，L i33L23P = L33L23PC。

⑺ i：表示反伸；C i表示L i1；C3i表示L i3=L3C。

⑻ T：代表3L24L3；T n代表在3L24L3中加入水平对称面获得3L24L33PC，T d代表3Li44L36P。

⑼ O：代表3L44L36L2，O h代表3L44L36L2中加上水平对称面获得3L44L36L29PC。

二、对称型的国际符号
对称型的国际符号是一种比较简单明确的符号，它既表示了晶体中对称要素的组合，又表示了对称要素的空间方位。

例如3L44L36L29PC的国际符号是m3m。

⒈国际符号中对称要素的表示方法
对称面：m
对称轴：1、2、3、4、6
旋转反伸轴：12346
⒉国际符号的构成
国际符号由1-3个序位构成，如2、422等。

每个序位表示晶体特定方向上的对称要素，即与该方向平行的对称轴或旋转反伸轴，或者与该方向垂直的对称面；如果某方向有对称轴与对称面垂直，则两者以直线或斜线隔开，如L2PC 写成2/m 不同的晶系，对称型的对称特点不同，国际符号的位数及每个序位所代表的方向也不同，现分别叙述如下：
⑴三斜晶系：（L1，C）
国际符号只有一个序位，没有取向问题。

L1的国际符号为1；C的国际符号为ī。

⑵单斜晶系：（L2，P，L2PC）
国际符号只有一个序位，表示与Y轴平行的L2或与Y垂直的P。

例如：L2为2；P为m；L2PC为2/ m。

⑶斜方晶系（3L2，L22P，3L23PC）
国际符号由三个序位构成，按X、Y、Z顺序，依次写出这三个方向存在的对称要素，即：3L2写成222；L22P写成mm2；3L23PC写成2/m 2/m 2/m。

⑷四方晶系
第一序位：Z轴方向的四次轴，如存在与四次轴垂直的P，两者用斜线分开；第二序位：X、Y轴方向的二次轴或垂直的对称面；第三序位：X、Y轴之间的二次轴或垂直的对称面。

例：L44P写成4mm，L44L25PC写成4/m 2/m 2/m。

⑸三方晶系和六方晶系
第一序位：Z轴方向的三次轴或六次轴，如存在垂直的对称面两者用斜线分开；第二序位：X、Y、U方向的L2或垂直的P；第三序位：X、Y、U轴之间的二次轴。