费马大定理的初等证明方法

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费马大定理的初等证明方法
摘要：本文通过介绍一个与不定方程有关的问题，既所谓“费马大定理”。

阐述了费马大定理的基本知识和初等证明方法。

关键字：费马大定理互素
Abstract: this article introduces a volatile equation and the relevant problems, the so-called
"FLT". FLT expounds the basic knowledge and elementary proof method.
Key words : FLT mutually
一． 有关的基本知识
1.1 大约在1673年，法国数学家费尔马（Fermat ,1601-1665）指出， n >2 时，方程
n n n x y z
+= （1） 无正整数解。

1.2 对于正整数a 和b ，如果ka=b ，k 为正整数，则a 整除b ；k 不为正整数，则a
不整除b 。

如果c 整除a 和b ，则对于任意正整数k 和s ，可有c 整除（ka+sb ）。

如果d 是a ，b 的最大公约数，则记为（a ，b ）= d 。

在（a ，b ）= 1时，则称a 和b
是互素（或互质）的。

A ，b 和c 是彼此互素的，是指他们中间的任意两个都是互
素的。

如果（a ，b ）=1.，在ab 为偶数是，a 和b 一个为偶数一个为奇数；而在ab 为
奇数是，a 和b 都为奇数。

1.3 如果a > b > 0 ,( a ,b ) = 1 ,则（a ，a+b ）= 1，（b ，a + b ）=1；在ab 为偶数时，
（a+b ，a-b ）=1，而在ab 为奇数时，（a+b ，a-b ）=2。

在u>v>0,(u,v)=1,uv 为奇数时，设 u=a+b,v=a-b,则有
1()2
a u v =
+ （2） 1()2b u v =- （3） 这里，a>b>0,(a+b)=1,ab 为偶数。

如果p 为奇素数，（a ，b ）=1。

在p 不整除a 时，（a ，a+pb ）=1， 而在p 整
除a 时，（a ，a+pb ）=p 。

1.4 因为n>2 时，可有4整除n ，或者p 整除n ，所以只要证明n=4，n=p 时， 方
程（1）无解即可。

1.5 对于两个或两个以上方程，它们同时有解，是指在它们其中任意一个方程有解
的同时，其他的也同时有解；它们不同时有解，则是指在它们其中至少有一个方程
有解得同时，其它的至少有一个无解，或者它们全都无解。

1.6 无穷递降法：如果方程f （x ）的解是若干个正整数，则在这其中必有一个最小
的正整数x ；如果可以得到另一个方程f （0x ）也有一个解为正整数0x ，并且 0x <
x 。

于是，方程f （x ）无正整数解【3】
1.7 有穷递升法：如果方程f(x)的解是有限个正整数，则在这其中必有一个最大
的正整数x ；如果可以得到另一个方程f （0x ）也有一个解为正整数0x ，并且0x >
x .于是，方程f （x ）无正整数解。

1.8 如果方程f （x ）最多有限个正整数解，并且f （x ）=12()()f x f x ，
（12(),()f x f x ）=1，则在方程1()f x 有正整数解得同时，方程2()f x 最多有有限个
正整数解。

二． 几个定理
定理1 在（x ，y ）=1， 方程 n xy z = (1)
的解为 n x u = (2)
n y u = (3)
z uv = (4)
这里，（u ，v ）=1
【7】 定理2 x ，y ，z 两两互素，x 为偶数时，方程
222x y z += （5）
的解为 2x mn = （6）
22y m n =- （7）
22z m n =+ （8）
这里，m>n>0,(m,n)=1,mn 为偶数【3】
定理3 在x ，y ，z 两两互素，y 为奇数时，方程
422y z x =- （9）
的解为 224()x ab a b =- （10）
22
y a b =- （11）
42246z a a b b =++ （12）
这里，z>x>0,(x,z)=1,x 为偶数，z 为奇数；a>b>0,(a,b)=1,ab 为偶数。

定理4 在x ，y ，z 两两互素，y 为奇数时,方程
22p y z x =- （13）
的解为 (,)z a f a b = 或 (,)a f b a （14）
(,)x b g a b = 或 (,)b g b a （15）
22y a b =- （16）
这里，z>x>0,(x , z) = 1，xz 为偶数； a>b>0,(a ,b)=1,ab 为偶数； （a ，f （a ，b ））=1或p ，（b ，g （a ，b ））=1或p ；
0123232311(,)p p p p p p p p p p f a b c a c a
b c a b c b ------=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ （17） 0123232311(,)p p p p p p p p p p f b a c b c b
a c
b a
c a ------=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ （18） 0123232311(,)p p p p p p p p p p g a b c a c a b c a b c b
------=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ （19） 0123232311(,)p p p p p p p p p p g b a c b c b
a c
b a
c a ------=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ （20） 其中，f （a ，b ）和g （a ，b ）式子中的各项是分别把f （a ，b ）和g （a ，b ）
式子中的各项颠倒过来写的，并且(0,1,2,,1,)i p i p p c c i p p -==⋅⋅⋅-。

定理5 设f （x ，y ）为理想系数多项式，在代数曲线f （x ，y ）=0的亏各g>1时，则其
最多有有限有理数解。

由此可摧得：在n>3时，方程 n n n x y z += （21） 最
多有有限组解【6】。

定理6 在p>3,x,y,z 两两互素时，设方程 p p p x y z += （22） 解
为（x ，y ，z ）。

于是
（1）在z 在偶数时，设x=a + b ,y = a - b.由式（22）可有
()()2(,)p p p
z a b a b a f a b =++-= （23）
这里，a>b>0,( a ,b)=1,a 为偶数，b 为奇数；(2a,f(a ,b))=1或p ；式（22）中的
f(a , b)的表达式与式（17）相同。

（2）在x 为偶数时，设z=a+ b, y = a - b, 由式（22）可有
()()2(,)p p p x a b a b b g a b =+--= （24）
这里，a>b>0,(a, b)=1.a 为奇数，b 为偶数；(2b,g(a,b))=1或p ；式（24）
中的g(a, b)的表达式与式（19）相同。

三． N=4时的证明
在x , y , z 两两互素，x 为偶数时，设方程
444
x y z += （1）
的解为(x , y , z ) , 并且z 是所有解中的最小解。

因为y z 为奇数，设z=a + b , y=a – b , 由式（1）可知
44422()()8()x a b a b ab a b =+--=+ （2）
这里，a>b>0,( a , b)=1,a b 为偶数。

因为（8ab ，22a b +）=1，
由式（2）可有
48c ab = （3）
422e a b =+ （4）
根据定理1，在a 或b 为偶数时，式（4）的解为
a 或b=2uv （5）
b 或a=22u v - （6）
222e u v =+ （7）
这里，u>v>0,(u, v )=1，uv 为偶数。

由式（3），（5），（6）可有
416()()c uv u v u v =+-
即 4()()()2c uv u v u v =+- （8）
因为（u , v ）=1,uy 为偶数，所以u v , u + v , u – v 两两互素。

由式（8）可有
4u r = （9）
4v s = （10）
4u v t += （11）
4u v k -= （12）
这里，r>s>0,(r , s)=1,r s 为偶数，k t 为奇数。

把式（6），（11），可有
444r s t += （13）
于是，从式（13）可以得出，(r ,s ,t )也是式(1)无解。

四． N=p 时的证明
在 p < 3 ,x ,y ,z 两两互素，x 为偶数时，设方程
222p p p x y z += （1）
的解为（x ，y ，z ）。

（1） 方程（1）可为
222()()()p p p x y z += （2）
根据定理2，式（2）的解为
2p
x uv = （3）
22p y u v =- （4）
22p z u v =+ （5）
根据定理4，式（4）的解为
(,)u a f a b = （6）
(,)v b g a b = （7）
22y a b =- （8）
这里，u > v > 0,(u ,v )=1,u v 为偶数；a>b>0,(a ,b)=1,a b 为偶数。

由式（3），（6，），（7）可有 2(,)(,)p x ab f a b g a b = （9）
这里， (,(,))1a f a b =或p,(b , g ( a , b ) )=1或p 。

因此，在式（4）有解同时，式（3）也同时有解。

（2） 方程（1）还可以
222()()()p p p y z x =- （10）
根据定理4，式（10）的解为
(,)p x n g m n = 或(,)n g n m （11）
222y m n =- （12）
(,)p
z m f m n = 或(,)m f n m （13）
根据定理2，由式（8），式（12）的解为
22m a b =+ （14）
2n ab = (15)
22y a b =- （16）
这里，m>n>0,(m ,n )=1,m 为奇数，n 为偶数；（m , f ( m , n )）=1或p ，
（n ， g (m, n)）=1或p 。

由式（11），（15）可有
2(,)p x ab g m n = 或 2(,)ab g n m （17） 同时，由式（9），（17）可有
(,)(,)(,)g m n f a b g a b = （18）
（3）在a为偶数，b为奇数时，分别有
①在p不整除a b时，从式（9）可知。

P不整除f（a ，b），p不整除g（a，b）。

②在p不整除a，p整除b时，从式（9）可知，p不整除f（a，b），p整除g（a，b）。

③在p整除a，p不整除b时，从式（9）可知，p 整除f（a，b），p不整除g（a，b）。

(4) 在a为奇数，b为偶数时，分别有
①在p不整除a b时，从式（9）可知。

P不整除f（a ，b），p不整除g（a，b）。

②在p不整除a，p整除b时，从式（9）可知，p不整除f（a，b），p整除g（a，b）。

③在p整除a，p不整除b时，从式（9）可知，p 整除f（a，b），p不整除g（a，b）。

五．由于p=3时，人们已证定理6的方程（30）无解【7】【8】.
综上所论，费马大定理成立。

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