费马大定理的初等证明方法

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费马大定理的初等证明方法

摘要：本文通过介绍一个与不定方程有关的问题，既所谓“费马大定理”。阐述了费马大定理的基本知识和初等证明方法。

关键字：费马大定理互素

Abstract: this article introduces a volatile equation and the relevant problems, the so-called

"FLT". FLT expounds the basic knowledge and elementary proof method.

Key words : FLT mutually

一． 有关的基本知识

1.1 大约在1673年，法国数学家费尔马（Fermat ,1601-1665）指出， n >2 时，方程

n n n x y z

+= （1） 无正整数解。 1.2 对于正整数a 和b ，如果ka=b ，k 为正整数，则a 整除b ；k 不为正整数，则a

不整除b 。如果c 整除a 和b ，则对于任意正整数k 和s ，可有c 整除（ka+sb ）。

如果d 是a ，b 的最大公约数，则记为（a ，b ）= d 。在（a ，b ）= 1时，则称a 和b

是互素（或互质）的。A ，b 和c 是彼此互素的，是指他们中间的任意两个都是互

素的。

如果（a ，b ）=1.，在ab 为偶数是，a 和b 一个为偶数一个为奇数；而在ab 为

奇数是，a 和b 都为奇数。

1.3 如果a > b > 0 ,( a ,b ) = 1 ,则（a ，a+b ）= 1，（b ，a + b ）=1；在ab 为偶数时，

（a+b ，a-b ）=1，而在ab 为奇数时，（a+b ，a-b ）=2。

在u>v>0,(u,v)=1,uv 为奇数时，设 u=a+b,v=a-b,则有

1()2

a u v =

+ （2） 1()2b u v =- （3） 这里，a>b>0,(a+b)=1,ab 为偶数。

如果p 为奇素数，（a ，b ）=1。在p 不整除a 时，（a ，a+pb ）=1， 而在p 整

除a 时，（a ，a+pb ）=p 。

1.4 因为n>2 时，可有4整除n ，或者p 整除n ，所以只要证明n=4，n=p 时， 方

程（1）无解即可。

1.5 对于两个或两个以上方程，它们同时有解，是指在它们其中任意一个方程有解

的同时，其他的也同时有解；它们不同时有解，则是指在它们其中至少有一个方程

有解得同时，其它的至少有一个无解，或者它们全都无解。

1.6 无穷递降法：如果方程f （x ）的解是若干个正整数，则在这其中必有一个最小

的正整数x ；如果可以得到另一个方程f （0x ）也有一个解为正整数0x ，并且 0x <

x 。于是，方程f （x ）无正整数解【3】

1.7 有穷递升法：如果方程f(x)的解是有限个正整数，则在这其中必有一个最大

的正整数x ；如果可以得到另一个方程f （0x ）也有一个解为正整数0x ，并且0x >

x .于是，方程f （x ）无正整数解。

1.8 如果方程f （x ）最多有限个正整数解，并且f （x ）=12()()f x f x ，

（12(),()f x f x ）=1，则在方程1()f x 有正整数解得同时，方程2()f x 最多有有限个

正整数解。

二． 几个定理

定理1 在（x ，y ）=1， 方程 n xy z = (1)

的解为 n x u = (2)

n y u = (3)

z uv = (4)

这里，（u ，v ）=1

【7】 定理2 x ，y ，z 两两互素，x 为偶数时，方程

222x y z += （5）

的解为 2x mn = （6）

22y m n =- （7）

22z m n =+ （8）

这里，m>n>0,(m,n)=1,mn 为偶数【3】

定理3 在x ，y ，z 两两互素，y 为奇数时，方程

422y z x =- （9）

的解为 224()x ab a b =- （10）

22

y a b =- （11）

42246z a a b b =++ （12）

这里，z>x>0,(x,z)=1,x 为偶数，z 为奇数；a>b>0,(a,b)=1,ab 为偶数。 定理4 在x ，y ，z 两两互素，y 为奇数时,方程

22p y z x =- （13）

的解为 (,)z a f a b = 或 (,)a f b a （14）

(,)x b g a b = 或 (,)b g b a （15）

22y a b =- （16）

这里，z>x>0,(x , z) = 1，xz 为偶数； a>b>0,(a ,b)=1,ab 为偶数； （a ，f （a ，b ））=1或p ，（b ，g （a ，b ））=1或p ；

0123232311(,)p p p p p p p p p p f a b c a c a

b c a b c b ------=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ （17） 0123232311(,)p p p p p p p p p p f b a c b c b

a c

b a

c a ------=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ （18） 0123232311(,)p p p p p p p p p p g a b c a c a b c a b c b

------=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ （19） 0123232311(,)p p p p p p p p p p g b a c b c b

a c

b a

c a ------=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ （20） 其中，f （a ，b ）和g （a ，b ）式子中的各项是分别把f （a ，b ）和g （a ，b ）

式子中的各项颠倒过来写的，并且(0,1,2,,1,)i p i p p c c i p p -==⋅⋅⋅-。

定理5 设f （x ，y ）为理想系数多项式，在代数曲线f （x ，y ）=0的亏各g>1时，则其

最多有有限有理数解。由此可摧得：在n>3时，方程 n n n x y z += （21） 最

多有有限组解【6】。

定理6 在p>3,x,y,z 两两互素时，设方程 p p p x y z += （22） 解

为（x ，y ，z ）。于是

（1）在z 在偶数时，设x=a + b ,y = a - b.由式（22）可有

()()2(,)p p p

z a b a b a f a b =++-= （23）

这里，a>b>0,( a ,b)=1,a 为偶数，b 为奇数；(2a,f(a ,b))=1或p ；式（22）中的

f(a , b)的表达式与式（17）相同。

（2）在x 为偶数时，设z=a+ b, y = a - b, 由式（22）可有

()()2(,)p p p x a b a b b g a b =+--= （24）

这里，a>b>0,(a, b)=1.a 为奇数，b 为偶数；(2b,g(a,b))=1或p ；式（24）

中的g(a, b)的表达式与式（19）相同。 三． N=4时的证明

在x , y , z 两两互素，x 为偶数时，设方程

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x y z += （1）