福建省泉州一中高三数学5月月考试题 理
数学(理工农医类) Ⅰ卷
(满分:150分 考试时间:120分钟 )
一、选择题(请把选项代号填入........Ⅱ.卷相应位置上......,每题5分。本题满分50分) 1. i 是虚数单位,集合3
5
{,3,
}12A i i i
=--中的元素之和为( ) A .1 B .0 C .2 D .3
2.)
(0
360sin 2log 的值是( ) A .
2
1
B .
23 C .2
1
- D .23- 3. 在等差数列}{n a 中,=+++=10752111111a a a a S ,则项和若前( )
A. 5 B .6 C .4 D .84.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2,且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边
长为2的正方形,该三棱柱的侧视图面积为( ).
B. 4
C. 22
D. 3
5.已知随机变量X 服从正态分布N (3,
4
1),且P (X >27)=0.1587,则P (25≤X ≤27
)=
( )
A .0.6588
B .0.6883
C .0.6826
D .0.6586
6.设向量a 与b 的夹角为θ,定义a 与b 的“向量积”:a b ?是一个向量,它的模
sin a b a b θ?=??,若)3
sin 2,(tan ),23sin ,32(tan π
πππ==b a ,则a b ?=( )
A B. 2 C . 23 D .4
7.设B A ,为x 轴上两点,点M 的横坐标为2,且()MA MB AB +⊥,若直线MA 的方程为
01=+-y x ,则直线MB 的方程为( )
A.072=-+y x
B.012=--y x C .042=+-y x D.05=-+y x
8.在5
31???? ?
?+x x 的展开式中的常数项为p ,则=+?
dx p x )3(102
( )
A .1
B .3
C .7
D .11
1
1 _ B
_
A _ _ _正视图
俯视图
B 1
A 1
9. 椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b y a x 的焦点为1F 和2F ,过点1F 的直线l 交椭圆于Q P ,两点,
22,0PQ PF PQ PF =?=且,则椭圆的离心率为( )
A .12-
B .36-
C .
236- D .2
6
3- 10.如图,三行三列的方阵中,从中任取三个数,则至少有两个数最大公约数大于1 的概
率是 ( )
A
84
13
B 72
?
???
? ??55331135217532
C
8471 D 7
5
二、填空题:(本大题共5小题,每小题4分,共20分,请把答案填入......Ⅱ.卷相应位置上......
)。 11.向量a = (1,2),b = (x ,1),c = a + b ,d = a - b ,若c //d ,则实数x 的值等于 12.若21,x x 分别为三次函数5323
1)(23
-+-=
x x x x f 的极大值点和极小值点,则以)0,(1x 为顶点,)0,(2x 为焦点的双曲线的离心率e 等于
13. 已知平面α、β、γ及直线l ,m ,m l ⊥,γα⊥,m =?αγ,
l =?βγ,以此作为条件得出下面三个结论:①γβ⊥ ②α⊥l
③β⊥m ,其中正确结论是
14.若函数x x a x x f ln )(+-=(a 为常数)在定义域上是增函数,
则实数a 的取值范围是 15. 在可行域内任取一点,规则如右图所示,则能输出数对(x ,y )的概率为
三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
16.(本小题满分13分)设函数)(cos sin 32sin cos )(2
2R x x x x x x f ∈+-=的最大值
为M ,最小正周期为T . (1)求M 、T ;
(2)若有10个互不相等的正数i x 满足),10,,2,1(10,)( =<=i x M x f i i π且
求1210x x x +++的值.
17.(本小题满分13分)
某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分
别为
2
3
和
1
2
,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:
(1)两种大树各成活1株的概率;
(2)成活的株数 的分布列与期望.
18.(本小题满分13分)
如图,某旅游区拟在公路l(南北向)旁开发一个抛物线形的人工湖,湖沿岸上每一点
到公路l的距离与到A处的距离相等,并在湖中建造一个三角形的游乐区MNC,三个顶点C
N
M,
,都在湖沿岸上,直线通道MN经过A处。经测算,A在公路l正东方向200米处,
C在A的正西方向100米处,现以点C为坐标原点,以线段CA所在直线为x轴建立平面
直角坐标系,
(1)求抛物线的方程
(2)试确定直线通道MN的位置,使得三角形游乐区MNC的面积最小,并求出最小值
19.(本小题满分13分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠B= 900,D为棱BB1
上一点,且面DA1 C⊥面AA1C1C.。
(1)求证:D为棱BB1中点;
(2)
AB
AA1
为何值时,二面角A -A1D - C的平面角为600。
A1 C1
B1
B
D
20.( 本小题满分14分) 已知函数()2ln f x x =与2
2
()1(0)g x a x ax a =++>
(1)设直线)()(1x g y x f y x ===和与曲线分别相交于点Q P ,,且曲线)(x f y =和
)(x g y =在点Q P ,处的切线平行,求实数a 的值;
(2))(x f '为)(x f 的导函数,若对于任意的(0,)x ∈+∞,0)
(1≥-'mx e x f 恒成立,求实数
m 的最大值;
(3)在(2)的条件下且当a 取m 最大值的
e
2
倍时,当],1[e x ∈时,若函数)()()(x f k x f x h '-=的最小值恰为)(x g 的最小值,求实数k 的值
21.本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中, (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换
若点(,)()A a b a b ≠其中在矩阵=M ??αα
sin cos ???
?-ααcos sin 对应变换的作用下得到的点为B (,)b a -,(Ⅰ)求矩阵M 的逆矩阵;
(Ⅱ)求曲线C :x 2
+y 2=1在矩阵N=???
? ??
01
210
所对应变换的作用下得到的新的曲线C'的方程。
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
(Ⅰ) 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长 度单位已知直线的极坐标方程为()4R π
θρ=∈,它与曲线θθ
θ
(sin 51cos 52????
?+=+=y x 为参数)相交于两点A 和B , 求|AB |; (Ⅱ)已知极点与原点重合,极轴与x 轴正半轴重合,若直线C 1
的极坐标方程为:
cos 4πρθ?
?
-
= ??
?C 2的参数方程为:1cos 3sin x y θ
θ
=+??=+?(θ为参数),试求曲线C 2关于直线C 1对称的曲线的直角坐标方程
(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ)已知函数()3+=x x f ,()112--=x m x g , 若()≥x f 2()4+x g 恒成立,求实数m 的
取值范围。
(Ⅱ)已知实数x y z 、、满足2
2
2
236(0),x y z a a ++=>且x y z ++的最大值是1,求a
的值.
泉州一中2012届5月份月考试卷参考答案
数学(理工农医)
一、选择题
二、填空题 11.
2
1
12. 3 13. ② 14. ]4,(-∞∈a 15.16
π 三、解答题
16.解:依题意:x x x x x f cos sin 32sin cos )(2
2+-= ……………2分
)6
2sin(22cos 2sin 3π
+
=+=x x x ……………4分
(1)R x ∈ ,故2)(max ==M x f ,最小正周期ππ
==2
2T ……………6分 (2)由2)(==M x f i 得:2
26
2π
ππ
+
=+k x i ;……………8分
即)(6
Z k k x i ∈+
=π
π ……………9分
又9,,1,0,100 =∴< x x x π π∴++ +=++ ++? = 140 3 π ……………13分 17.解:设k A 表示甲种大树成活k 株,k =0,1,2 …………………… 1 分 l B 表示乙种大树成活l 株,l =0,1,2 …………………… 2分 则k A ,l B 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()()()3 3 k k k k P A C -= , 2211()()() 2 2 l l l l P B C -= . 据此算得 01 ()9P A = , 14()9P A = , 24 ()9P A = .…………………… 3 分 01 ()4 P B = , 11()2P B = , 21()4 P B = . (Ⅰ) 所求概率为2111412 ()()()929 P A B P A P B ?=?=?= (6) 分 (Ⅱ) 解法一: ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,且 0000111(0)()()()9436 P P A B P A P B ξ==?=?=?= ,…………………… 7 分 011011411 (1)()()92946 P P A B P A B ξ==?+?=?+?= ,…………………8 分 021*********(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==?+?+?=?+?+?=13 36 , (9) 分 122141411 (3)()()94923 P P A B P A B ξ==?+?=?+?= .…………………… 10 分 22411 (4)()949 P P A B ξ==?=?= .…………………… 11 分 综上知ξ有分布列 111311012343663639 E ξ=? +?+?+?+? 7 3 = (株)…………………… 13 分 解法二:分布列的求法同上 令12ξξ,分别表示甲乙两种树成活的株数,则 1 2 ξξ2 1 B(2,),B(2,)32 …………………… 10分 故有121E E ξξ?=?=241 =2=,2332 从而知1273E E E ξξξ=+= (13) 分 18. 解:(1)依题意,设所求的抛物线方程为:)0(22 >=p px y ………1分 抛物线的焦点)0,100(A ,1002 =∴ p ,故所求的方程为:x y 4002=…4分 (2)设点),(11y x M ,),(22y x N ,直线MN 的方程为:100+=ny x 联立???=+=x y ny x 4001002消去x ,得;0400004002 =--ny y …6分 n y y 40021=+∴,4000021-=y y …7分 14004)(22122121+=-+=-∴n y y y y y y …9分 12000014001002 1 212221+=+??=-?= ∴?n n y y CA S CMN …11分 ∴当0=n 时,即AC MN ⊥时,CMN S ?取得最小值20000…12分 答:直线通道MN 与AC 垂直时,游乐区的面积最小,最小面积为20000平方米…13分 19.解:(1)过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点,取AC 的中点F ,连BF ﹑EF 。 ∵面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C ,面DA 1 C 内的直线DE ⊥ A 1 C ∴直线DE ⊥面AA 1C 1C ………3分 又∵面BA C ⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ,易知BF ⊥AC , ∴BF ⊥面AA 1C 1C 由此知:DE∥BF ,从而有D ,E ,F ,B 共面, 又易知BB 1∥面AA 1C 1C ,故有DB∥EF ,从而有EF∥AA 1, 又点F 是AC 的中点,所以DB = EF = 21 AA 1 = 21 BB 1, 所以D 点为棱BB 1的中点; …………6分 (2)解法1:延长A 1 D 与直线AB 相交于G ,易知CB ⊥面AA 1B 1B , 过B 作BH ⊥A 1 G 于点H ,连CH ,由三垂线定理知:A 1 G ⊥CH , 由此知∠CHB 为二面角A -A 1D - C 的平面角; ………9分 设AA 1 = 2b ,AB =BC =a ; 在直角三角形A 1A G 中,易知 AB = BG 。 在?Rt DBG 中,BH = DG BG BD ? = 2 2 b a a b +?, 在?Rt CHB 中,tan ∠CHB = BH BC = b b a 2 2+, 据题意有:b b a 22+ = tan 600 = 3 , 解得:22=a b , 所 以 AB AA 1= 2 。 ………………13分 (2)解法2:建立如图所示的直角坐标系,设AA 1 = 2b ,AB =BC =a , 则D (0,0,b ), A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0) 所以, ,,0(),,0,(1a b a DA ==分 设面DA 1C 的法向量为),,(z y x = 则 0, 00=-+?=+?+bz ay x bz y ax 可取),,(a b b --= 又可取平面AA 1DB 的法向量 )0,,0(a == A 1 C 1 B 1 A C B D H E F G cos 〈, 〉2 2 2 2 2 2200a b b a a b a ba b +- =?+?--?= = (10) 分 据题意有: 2 1 22 2= +a b b ,……………………………………12分 解得: AB AA 1=22=a b ………………………………13分 20.解:(1)由已知x x f 2)(' = ,a x a x g +=2 '2)(,曲线)(x f y =和)(x g y =在点Q P ,处的切线平行,故)1()1(''g f =可得:a a +=2 22且0>a 解得:4 117-=a ---3 分 (2),0>?x 0) (1 ' ≥-mx e x f 恒成立,即2 x e mx ≤,即min 2 )( x e m x ≤,---4分 记x e x F x 2 )(=,2 2222' ) 2(2121)(x x e x e x e x F x x x -?=-?=,---5分 当)2,0(∈x 时,0)(' 当),2(+∞∈x 时,0)(' >x F ,)(x F ∴在),2(+∞上单调递增 ---7分 2 )2()(min e F x F ==∴,故m 的最大值为2e ---8分 (3)由(2)可知1=a ,故1)(2 ++=x x x g 在],1[e x ∈时,3)1()(min ==g x g x k x x kf x f x h 2ln 2)()()(' -=-=∴在],1[e x ∈的最小值为3, 令0)(222)(2 2' =+=+=x k x x k x x h ,解得:k x -= ---10分 (Ⅰ)当1≤-k 即1-≥k 时,0)(' ≥x h ,此时)(x h 在],1[e 上单调递增 32)1()(min =-==∴k h x h ,解得:2 3 -=k (不合前提) ---11分 (Ⅱ)当e k ≥-即e k -≤时,0)(' ≤x h ,此时)(x h 在],1[e 上单调递减 322)()(min =- ==∴e k e h x h ,解得:2e k -=(不合前提)---12分 (Ⅲ)当e k <-<1即1-<<-k e 时, 当),1(k x -∈时,0)(' 当),(e k x -∈时,0)(' >x h ,)(x h ∴在),(e k -单调递增 此时32)ln(2)()(min =+-=-=∴k k h x h ,解得:e k -=满足前提 综上可得:e k -= ---14分 21.(1)本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识,考查运算求解能力, 满分7 分. 解:(Ι)法一:???? ??-=???? ??a b b a M ,即??? ? ??-=???? ??+-a b b a b a ααααcos sin sin cos ,……………………1分 所以cos sin sin cos ,a b b a b a αααα-=-??+=? 得cos 0, sin 1.αα=??=? ……………………3分 即M=01? ? 10-??? ,由1 1001M M -??= ???得1 01M -?= -? 10??? . ………………4分 法二:同法一可求得M=01? ? 10-???因为0det 1M = 10-=10≠ , 1 01 M -?∴= -? 10? ?? . ………4分 (Ⅱ)分 得代入分分 对应的线性变换为矩阵71416,'2' 5,'21'2222??????=+=+????????????? ??==???????????????? ==y x y x x y y x x y y x N (2)解:(Ι)直线和圆的直角坐标方程分别为 5 )2()1(22=-+-=y x x y 和…………1分 则圆心为C (1,2),半径R= 5,…………………………………………………2分 从而C 到直线y=x 的距离d = 2 2 11212 2= +- ………………………………………3分 由垂径定理得,|AB |=232 1 52222=- =-d R ………………………………4分 (Ⅱ)解:曲线C 1 cos sin 2x y ρθθ=+=即………5分 曲线C 2是以(1,3)为圆心,1为半径的圆………………………6分 (1,3)关于直线2x y +=的对称点(-1,1)故所求曲线为圆 ()() 22 111x y ++-=……………7分 (3)解:(Ι)函数()x f 的图象恒在函数()x g 图象的上方, 即()≥+=∈?322,x x f R x ()7211424--=-+-=+x m x m x g , …………1分 从而有+-≤7(2x m 3+x ) ……………………………2分 由绝对值不等式的性质知 2(+-7x ≥+)3x 2)3(7+--x x =20 因此,实数m 的取值范围为]20,(-∞ ……………………………3分 (Ⅱ)解:由柯西不等式: ) 22 22 222))) ????++++≥+????? ????? ………(5分) 因为2 2 2 236(0),x y z a a ++=> 所以2 ()a x y z ≥++, 因为x y z ++的最大值是1,所以1a =, 当236x y z ==时,x y z ++取最大值,………………………………6分 所以1a =. ……………………………………7分 ……7分