角的概念的推广与任意角的三角函数

|α|· r
1 lr 2
• 4．任意角的三角函数的定义
x的终边上任取 y• 在直角坐标系中，角 x y α是一个任意大小的角，在角 α y r r x r 一点P(x，y)，P到原点的距离是 r(r＞0)，那么sinα＝___，cosα＝ r y x
___，tanα＝___(x≠0)，cotα＝___(y≠0)，secα＝___(x≠0)，cscα＝
• [答案 ] ]C [ 解析
|OP| ＝ 2sin32＋－2cos32 ＝ 2 ，因为 2cosα ＝
2sin3，且 2sinα＝－2cos3，所以 cosα＝sin3，且 sinα＝－cos3. π cosα＝cos3－2 因为 α 是锐角，所以 sinα＝sin3－π 2 选 C. π 成立，∴α＝3－ ，故 2
• (2014·山东青岛期中)已知sin2α>0，且cosα<0，则角α的终边位于 ( ) • A．第一象限 B．第二象限 • C．第三象限 D．第四象限 • [答案] C • [解析] ∵cosα<0，sin2α＝2sinαcosα>0，∴sinα<0. ∴α为第三象 限角．故选C.
α 当 k＝3n 时，有 n· 360° ＋30° < <n· 360° ＋60° ，n∈Z，此时 3 α 是第一象限角． 3 α 当 k＝3n＋1 时，n· 360° ＋150° < <n · 360° ＋180° ，n∈Z，∴ 3 α 是第二象限角． 3 α 当 k＝3n＋2 时，n· 360° ＋270° < <n · 360° ＋300° ，n∈Z，∴ 3 α 是第四象限角． 3
• 1.终边相同的角 • 与角α终边相同的角的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． • 2．弧度制 • 把长度等于________ 长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．度与弧 半径 度的换算关系如下： • 180°＝______rad. • 3．弧度制下弧长公式和扇形面积公式 π • 扇形弧长l＝________，扇形面积S＝________.
tan20° ，∵α 为锐角，∴α＝20° .
• (理)(2014·江淮十校第一次联考)已知锐角α，且5α的终边上有一 点P(sin(－50°)，cos130°)，则α的值为( ) • A．8° B．44° • C．26° D．40° • [答案] B • [解析] 点P坐标整理为P(cos220°，sin220°)，5α∈(0°， 450°)，所以5α＝220°，∴α＝44°.故选B.
3 4．已知角 α 终边经过点 P(x，－ 2)(x≠0)，且 cosα＝ x. 6 1 则 sinα＋ 的值为________． tanα
[ 答案]
[ 解析]
－ 6± 6 5 6
∵P(x，－ 2)(x≠0)，
∴点 P 到原点的距离 r＝ x2＋2. 3 x 3 又 cosα＝ x，∴cosα＝ 2 ＝ x. 6 x ＋2 6 ∵x≠0，∴x＝± 10，∴r＝2 3.
第四章
角的概念的推广与任意角的三角函数
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课 时 作 业
自主预习学案
• 1.了解任意角的概念． • 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． • 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
• 角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进行．对求角的集合 的交、并等计算技能的考查，有一定综合性，涉及的知识点较多， 不过多比较浅显．三角函数的定义与三角函数的符号一般在最基 本的层面上用选择、填空题的形式考查.
• [答案 ] ]B 由题意知 tanθ ＝ 2 ，所以原式＝ [ 解析
－cosθ－cosθ ＝ cosθ－sinθ

－2cosθ －2 －2 ＝ ＝ ＝2.故选 B. cosθ－sinθ 1－tanθ 1－2
3． (2014· 江西宜昌调研)已知锐角 α 终边上一点 P 的坐标为 (2sin3，－2cos3)，则角 α 的弧度为( A．3－π π C．3－ 2 B．π－3 π D． －3 2 )
___(y≠0)分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割．
• 5．正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 定义域
y＝sinα y＝cosα y＝tanα
R R π {α|α≠kπ＋ ，k∈Z} 2
6.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示：
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．
2．(2014· 山东潍坊一中月考)已知角 θ 的顶点在坐标原点， 始 边 与 x 轴 正 半 轴 重 合 ， 终 边 在 直 线 2x － y ＝ 0 上 ， 则 3π sin ＋θ＋cosπ－θ 2 ＝( π sin －θ－sinπ－θ 2 A．－2 C．0
)
B．2 2 D． 3
当 x＝ 10时，P 点坐标为( 10，－ 2)， 6 1 由三角函数的定义，有 sinα＝－ ， ＝－ 5， 6 tanα 6 5＋ 6 1 6 ∴sinα＋ ＝－ － 5＝－ ； tanα 6 6 6 5－ 6 1 当 x＝－ 10时，同理可求得 sinα＋ ＝ . tanα 6
典例探究学案
• 1.(文)(2014·河北冀州中学期中)已知锐角α的终边上一点P(1＋ cos40°，sin40°)，则锐角α＝( ) • A．80° B．70° • C．20° D．10° • [答案] C
[ 解析]
sin40° 2sin20° cos20° 由 题 意 得 ， tanα ＝ ＝ ＝ 2 2cos 20° 1＋cos40°
α 综上所述知， 为第一、二、四象限角． 3 解法 2：如图可知
α α 为第二象限角时， 位于第一、二、四象限． 3
• [方法总结] 1.若β与α的终边相同，则β＝α＋2kπ，k ∈Z. • 2．给出角，判断角所在象限，用终边相同的角表示，再判断； 给出三角函数值，判断角所在象限，由值的符号定象限．特别注 意终边落在坐标轴上的情形．
终边相同的角与角所在象限的判断
[ 答案]
α 若 α 是第二象限角，则 是第______象限角． 3 一、二或四
[ 解析]
解法 1：∵α 是第二象限角，
∴k· 360° ＋90° <α<k· 360° ＋180° ，k∈Z， k α k ∴ · 360° ＋30° < < · 360° ＋60° ，k∈Z. 3 3 3