论文：留数法在拉普拉斯反变换中的应用

留数法在拉普拉斯反变换中的应用

摘要：本文研究了留数法求解；拉普拉斯反变换的基本原理，分析表明，留数法用于求解反变换有着归纳详尽、使用灵活方便等特点，对实际因果系统的分析求解有着很高的实用价值。

关键词：留数法；拉普拉斯反变换；像函数；原函数 引言

采用留数法计算拉氏反变换（或者z 反变换）是一种很重要的用数学方法求解系统变换域问题的方法。本文着重介绍了留数法进行拉普拉斯反变换的求解，这不仅可以比较详尽的分析问题，对于理解和设计实际问题也有着借鉴价值。

正文

一．留数定理

《复变函数》中，根据柯西定理，如果被积函数f(z)在回路l 所围的闭区域上是解析的，则回路积分等于零。如果l 包围的区域有f （z ）的奇点，则需要应用留数定理来求解。

根据重要例题结论：

0,1

211

()0.12l n l

l dz i

z l z dz n i απαααπ⎧=⎨-⎩-=≠⎰⎰不包围，包围 可以推导出 1()2Re ()

n j l j f z dz i sf z π==∑⎰

Resf(z)为函数的留数。留数定理即复变函数的回路积分为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。关于留数的具体求法在课程《数学物理方法》中已进行过深入研究与练习，在此不再赘述。

二、留数法求拉普拉斯反变换

拉普拉斯反变换即由像函数反求原函数的过程。通常有两种求拉普拉斯反变换的方法，即部分分式展开法与围线积分法。部分分式展开法是将像函数分解为若干简单变换式之和，然后逐项反变换求取原函数，此方法仅限于像函数是有理数的情况。围线积分法是利用复变函数中的围线积分和留数定理进行的，适用范围较宽。

由拉普拉斯反变换的定义知道

直接求解这个积分是十分困难的，但由复变函数理论知可以将此转换成求F(s)在一个闭合围线内部全部留数的代数和。在此，F(s)e^st 的积分等于围线C 内所包围的所有F(s)e^st 的极点的留数之和.积分围线C 为如图所示的半径为无穷大的圆弧.

三、留数法求有理分式的拉普拉斯反变换

若pi 为一阶极点，留数 ds e s F j s F L t f t s j j ⎰∞+∞--=

=σσπ)(21)]([)(1i

p s st i i e s F p s =-=])()[(γ∑∑⎰=-∞+∞--======n

i i i i st t s j j s F L t f p s e s F ds e s F j s F L t f 1

11)]([)(,])([)(21

)]([)(γγπσσ则有处的留数为若设极点的留数极点

若pi 为k 阶极点，

在此例举一具体问题 求32()(1)s F s s s -=+的拉普拉斯反变换。 解：

10033(31)

''2112''12213222122[()][]2

(1)112[(1)()][](31)!212[()]21442[]21[344]2

3()(e 2e 2e 2st st s s st st s s st

st s st st st

st s t t t t t s sF s e e s s s F s e e s

e t e s

e te t e t e s s s

t e te e f t t t γγγγ==-=-=-=-=-------===-+-=+=-=-=-+-=++=+=++2)()t u t --

由此看以看出，用留数法求解有理分式的拉普拉斯反变换时，过程与结论形式均与部分分式展开法求解拉普拉斯反变换时相似，结果相同。但在计算重根的留数时，方法比部分分式展开法要简单一些。

三、留数法求无理式的拉普拉斯反变换 给定一无理函数

22(334)()(2)10s

s e F s s --=++，欲求此函数的原函数，首先由其是一无理函数首先可以考虑运用留数法。

F （s ）的两个极点分别为：12210,210p j p j =-+=--

则：

i

p s k st k i i e s F p s k =---=)1(])()[()!1(1γ

210

(210)1210210

(210)2210(334)(4030)Re (),121020(334)(4030)Re (),121020j st

j t s j j st j t s j s j e s p e e t s j j s j e s p e e t s j j --+=-+----=----+==>++--+==>++-

[]2(1)12()Re ()Re ()3cos10(1)4sin10(1)(1)

t f t s p s p e t t u t --=+=---- 可见，留数法可以处理无理函数。但是计算上不算简单。事实上，此题可以运用部分分式展开法与拉普拉斯变换的时间平移特性结合来完成更为简单。

四、小结

拉普拉斯变换是一种积分变换, 它是求解线性常微分方程、研究线性系统的一个重要工具,在物理和工程等领域有着广泛的应用。

利用拉普拉斯变换法求解定解问题的方法是:在原函数满足的方程中,通过拉普拉斯变换,将原函数变换为像函数,得到关于像函数的方程并进行求解。这一过程相对容易。而为了得到原函数,必须作拉普拉斯逆变换。

在一些书上,通过列表的方式给出了一些像函数所对应的原函数,但是,对于表中没有出现的像函数怎样求得原函数,如果像函数是有理分式，我们可以通过部分分式展开法将像函数化作几个分解为若干个表中所有或者容易查到的简单变换式之和。但对于包含有理分式并包括更广领域的像函数，运用留数法则更具有一般性。

留数法求解拉普拉斯反变换是《复变函数》科目中留数定理与《信号与线性系统分析》中研究在变换域中的相应的结合。彰显了学术各领域之间的联系与融会贯通。