《逆命题和逆定理》课件
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华东师大版数学八年级上《互逆命题与互逆定理》课件
等；③角平分线上的点到角的两边的距离相等；④两个互
为相反的数的绝对值相等；⑤等角对等边.
A. 5个 B. 2个 C. 3个
D. 4个
课堂练习
解：①两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两 直线平行，原命题和逆命题都成立； ②全等三角形三组对应边相等的逆命题是三组对应边相等的 两个三角形全等，原命题和逆命题都成立； ③角平分线上的点到角的两边的距离相等的逆命题是到角的 两边的距离相等的点在角平分线上，原命题和逆命题都成立；
13.5.1 互逆命题与互逆定理
复习导入
什么叫做命题？命题分为什么?
表示判断的语句叫做命题， 正确的命题叫真命题， 错误的命题叫假命题， 命题分为真命题与假命题.
新知讲解
我们已经知道，表示判断的语句叫做命题. 例如“两直线平行,内错角相等” “内错角相等，两直线平行”都是命题.
观察这两个命题的条件 和结论，你发现了什么?
课堂练习
④两个互为相反的数的绝对值相等的逆命题是绝对 值相等的两个数互为相反数，逆命题不成立； ⑤等角对等边的逆命题是等边对等角，逆命题成立， 原命题成立. 故选D.
拓展提高
4、写出下列命题的逆命题,并指出其真假; (1)若ab=0,则a=0; (2)如果a、b都是偶数,那么a+b是偶数; (3)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.
课堂练习
1、下列说法中,正确的有( ) ①每个命题都有逆命题 ;②每个定理都有逆定理 ;③假命 题的逆命题一定是假命题 ;④假命题没有逆命题 . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
课堂练习
解：每个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理； 假命题的逆命题不一定是假命题， 如相等的角是对顶角是假命题，而它的逆命题是对顶 角相等，是真命题； 假命题没有逆命题是错误的，所以正确的说法只有①. 故答案为:A.
八上2.5逆命题和逆定理
易得∠BPC=120°， ∠BPE=∠CPD=60°．
易证△BPE≌△BPQ，△CPD≌△CPQ，
得BQ=BE，CQ=CD，则BC=BE+CD=7．
八年级上 2.5 答案
选择填空题答案
2.5 课前检测 1-6 CDA BAD 2.5 课后检测
1-3 DDC
4. 5
5. 有
6. 两个相等的角是同位角
八上 2.5 课后 No.2
D
八上 2.5 课后 No.3
C
八上 2.5 课后 No.4
5
l P
A
B
八上 2.5 课后 No.5
有
八上 2.5 课后 No.6
两个相等的角是同位角
八上 Байду номын сангаас.5 课后 No.7
逆命题是：如果a2=b2,那么a=b． 这是假命题． 反例：当a=1，b=-1时，a2=b2，但 a≠b．
D C
F
3 2 S 3= AB , ∵ S1 S2 S3 4
S1
A
S2
B
S3
3 3 3 2 2 ∴ AC BC AB 2 4 4 4
E
∴ AC 2 BC 2 AB 2
∴ ∠ACB=Rt∠．
八上 2.5 课后 No.9
真
假
八上 2.5 课后 No.9
解:(1)连结BC．根据△BCD≌△CBE， 得∠ABC=∠ACB，则AB=AC
八上 2.5 课后 No.8
F
逆命题：如图，以△ABC各边 为边向外作等边三角形，若三 个等边三角形的面积S1,S2,S3
D
C
S1
A
S2
B
S3
E
满足S1+S2=S3,则∠ACB=RT∠.
易证△BPE≌△BPQ，△CPD≌△CPQ，
得BQ=BE，CQ=CD，则BC=BE+CD=7．
八年级上 2.5 答案
选择填空题答案
2.5 课前检测 1-6 CDA BAD 2.5 课后检测
1-3 DDC
4. 5
5. 有
6. 两个相等的角是同位角
八上 2.5 课后 No.2
D
八上 2.5 课后 No.3
C
八上 2.5 课后 No.4
5
l P
A
B
八上 2.5 课后 No.5
有
八上 2.5 课后 No.6
两个相等的角是同位角
八上 Байду номын сангаас.5 课后 No.7
逆命题是：如果a2=b2,那么a=b． 这是假命题． 反例：当a=1，b=-1时，a2=b2，但 a≠b．
D C
F
3 2 S 3= AB , ∵ S1 S2 S3 4
S1
A
S2
B
S3
3 3 3 2 2 ∴ AC BC AB 2 4 4 4
E
∴ AC 2 BC 2 AB 2
∴ ∠ACB=Rt∠．
八上 2.5 课后 No.9
真
假
八上 2.5 课后 No.9
解:(1)连结BC．根据△BCD≌△CBE， 得∠ABC=∠ACB，则AB=AC
八上 2.5 课后 No.8
F
逆命题：如图，以△ABC各边 为边向外作等边三角形，若三 个等边三角形的面积S1,S2,S3
D
C
S1
A
S2
B
S3
E
满足S1+S2=S3,则∠ACB=RT∠.
人教版九年级数学课件-逆命题和逆定理
第二十一章 ①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①. 一元二次方程
(1)以上三个命题是真命题的为______________；21．2 解一元二次方程 (2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后2证1明．) 2.1 配方法
(1)①②⇒③，①③⇒②，②③⇒第①1课时 用直接开平方法解一元二次方程
(2)本題答案不唯一，如選擇①③⇒② 證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又 ∵BD＝CE，∴△ABD≌△CE，∴AD＝AE.
若是假命题，请举出一个反例．
(2)逆命題：若a2＞b2，則a＞b.假命題，反例a＝－3，b＝－2
8．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．
人教(版1)写九出此年命级题（的逆上命）题；
解：(1)逆命題：兩邊上的高相等的三角形是等腰三角形．
第二十一章 一元二次方程 (2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”，
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS) ， ∴DF ＝ DE ＝
EF，∴△DEF 是等边三角形
(2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请举反例说明．
人教版 九年级（上）
第二十一章 一元二次方程 (2)解：(1)的逆命题成立，已知：△DEF 是等边三角形，求证：
AD＝BE＝CF.
21．2 解一元二次方程
5．利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明以下命题：
已知：如图所示，AB＝AC，DB＝DC，点 E 在 AD 上．求2证1．：E2B.1＝EC配. 方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
證明：∵AB＝AC，DB＝DC，∴A，D是線段BC垂直平分線
上的點，∴點E是線段BC垂直平分線上的點．
(3)相等的角是内错角；
(1)以上三个命题是真命题的为______________；21．2 解一元二次方程 (2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后2证1明．) 2.1 配方法
(1)①②⇒③，①③⇒②，②③⇒第①1课时 用直接开平方法解一元二次方程
(2)本題答案不唯一，如選擇①③⇒② 證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又 ∵BD＝CE，∴△ABD≌△CE，∴AD＝AE.
若是假命题，请举出一个反例．
(2)逆命題：若a2＞b2，則a＞b.假命題，反例a＝－3，b＝－2
8．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．
人教(版1)写九出此年命级题（的逆上命）题；
解：(1)逆命題：兩邊上的高相等的三角形是等腰三角形．
第二十一章 一元二次方程 (2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”，
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS) ， ∴DF ＝ DE ＝
EF，∴△DEF 是等边三角形
(2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请举反例说明．
人教版 九年级（上）
第二十一章 一元二次方程 (2)解：(1)的逆命题成立，已知：△DEF 是等边三角形，求证：
AD＝BE＝CF.
21．2 解一元二次方程
5．利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明以下命题：
已知：如图所示，AB＝AC，DB＝DC，点 E 在 AD 上．求2证1．：E2B.1＝EC配. 方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
證明：∵AB＝AC，DB＝DC，∴A，D是線段BC垂直平分線
上的點，∴點E是線段BC垂直平分線上的點．
(3)相等的角是内错角；
七年级逆命题和逆定理(1)课件教案-程老师
显然，上述两个命题可称为互逆定理
线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上
几何语言：
P
∵PA=PB
B
∴点P在AB的垂直平分线上
A
做一做
1.写出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假： （1）同位角相等； 逆命题：相等的角是同位角， （2）如果|a|=|b|，那么a=b； 逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝Ｐ P Ｂ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上
证明: ⑴当点P不在 线段AB上时， 作PC⊥AB于点O ∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质） ∴PC是AB的垂直平分线。
A A O C P P P P P P B B
∴点P在线段AB的垂直平分线上 ⑵当点P在线段ＡＢ上，结论命题还是假命题：
(1)两直线平行，同位角相等. 同位角相等，两直线平行. (2)同位角相等 相等的角是同位角 (3)面积相等的三角形全等。 全等三角形的面积相等。
真命题 真命题 真命题
假命题 假命题 真命题
真命题 (4)在一个三角形中，等角对等边。 在一个三角形中，等边对等角。 真命题 (5)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的 真命题 交通工具。 高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。 假命题
判断下列说法是否正确？请说明理由
（1）假命题没有逆命题； （2）真命题没有逆命题； （3）每个命题都有逆命题； （4）真命题的逆命题是真命题 思考：每个命题都 有逆命题吗？
× × √ ×
一个命题的逆命题是真命题还是假命题？
逆命题与逆定理课件
在计算机科学中的应用
逆命题
在计算机科学中，逆命题常常被用来验证算法的正确性。例如，排序算法的时间 复杂度逆命题是“如果一个排序算法的时间复杂度低于O(n^2)，则该算法一定 存在”。
逆定理
在计算机科学中，有些算法的特性可以通过逆命题来证明。例如，快速排序算法 的稳定性逆定理是“如果一个排序算法是稳定的，则该算法一定不是基于比较的 ”。
详细描述
在应用逆定理时，需要确保所涉及的对象、 条件和范围与原定理相符合。例如，勾股定 理的逆定理适用于直角三角形，但不适用于
非直角三角形或不等边三角形。
注意逆定理的表述方式
要点一
总结词
逆定理的表述方式应清晰、准确，避免产生歧义或误解。
要点二
详细描述
在表述逆定理时，应使用与原定理一致的逻辑结构和语言 风格，确保读者能够正确理解。同时，需要注意语句的完 整性和连贯性，避免出现语法错误或遗漏重要信息。
在数学中的应用
逆命题
在数学中，逆命题是一种重要的逻辑推理工具。通过逆命题，我们可以对已知命题进行否定，从而得出新的结论 。例如，原命题为“如果两个三角形全等，则它们的对应角相等”，其逆命题为“如果两个三角形的对应角相等 ，则这两个三角形全等”。
逆定理
逆定理是原定理的逆命题经过证明后形成的新的定理。例如，在几何学中，勾股定理的逆定理是“如果一个三角 形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形”。
逆命题的性质
逆命题的真假性不一定与原命题相同 。
在数学中，一个定理的逆命题不一定 成立，只有当逆命题和原命题都成立 时，才称为逆定理。
逆命题的例子
01
02
03
原命题
如果一个三角形是等边三 角形，那么它的每个角都 是60度。
逆命题与逆定理课件
了解逆定理的基本概念和 定义，掌握逆定理的推理 规则和证明方法。
举例说明
通过具体例子，阐述逆定 理在实际问题中的应用和 价值。
推理规则及其证明
学习逆定理的推理规则， 以及如何正确证明逆定理 的真假。
逆定理与原命题的关系
1
逆定理、逆否命题和原命题
解释逆定理、逆否命题和原命题之间
通过逆定理推导原命题
2
的关系，深入理解它们的数学逻辑。
通过实例，演示如何通过逆定理的应
用来推导出原命题。
3
相关案例
通过一系列相关案例，加深对逆定理 与原命题关系的认识和理解。
总结
1 逆命题与逆定理的区分与总结
总结逆命题和逆定理的区别和重要性，巩固对它们的理解。
2 推理规则的应用技巧与数学实践
掌握推理规则的应用技巧，应用到实际问题中的数学实践。
推理规则及其证明
学习逆命题的推理规则， 以及如何正确证明逆命题 的真假。
逆命题与原命题的关系
1
逆命题与原命题
解释逆命题、逆否命题和原命题之间的关系，理解它们在逻辑上的相互转换。
2
通过逆命题推导原命题
通过实例，展示如何利用逆命题推导出原命题。
3
相关案例
通过一系列相关案例，加深对逆命题与原命题关系的理解。
结束语
1 总结本次课程的主要内容
回顾和总结本次课程中所学的逆命题与逆定理的关键知识点。
2 展望学习逆命题与逆定理的未来价值
展望逆命题与逆定理在未来学习和工作中的潜在应用价值和意义。
逆命题与逆定理ppt课件
逆命题与逆定理演示课件，展示什么是逆命题、逆定理以及它们与原命题的 关系，通过丰富的案例说明来帮助理解。准备好开启新的数学视角了吗？
八年级上册数学 2.5逆命题和逆定理课件(共16张PPT)
A R P B Q C
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。 条件 结论 真假 真 真 真 假 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
例1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们 的逆命题。 如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵的条件 和结论有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形. (在同一个三角 形中，等角对等边)是互逆定理
做一做:说出两对互逆定理
做一做:下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请
说出逆定理：
（1）内错角相等，两直线平行. 两直线平行，内错角相等. 有逆定理
（2）对顶角相等.
没有逆定理
（3）三角形两边之和大于第三边. 有逆定理
A
O C
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
例2 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这 个逆命题是真命题.
这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相 等的点在线段的垂直平分线上．
解:
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 P ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直 B 平分线上 O
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。 条件 结论 真假 真 真 真 假 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
例1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们 的逆命题。 如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵的条件 和结论有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形. (在同一个三角 形中，等角对等边)是互逆定理
做一做:说出两对互逆定理
做一做:下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请
说出逆定理：
（1）内错角相等，两直线平行. 两直线平行，内错角相等. 有逆定理
（2）对顶角相等.
没有逆定理
（3）三角形两边之和大于第三边. 有逆定理
A
O C
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
例2 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这 个逆命题是真命题.
这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相 等的点在线段的垂直平分线上．
解:
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 P ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直 B 平分线上 O
19.3 逆命题和逆定理
第19章几何证明第二节线段的垂直平分线与角的平分线§19.3 逆命题和逆定理学习目标1.知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理等的含义。
2.会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假。
3.知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理。
4.增强逆向思维的意识，体会辩证思想。
知识精要1.原命题与逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第二个命题结论又是第一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
说明：一个命题可以有几个逆命题。
当命题的题设有两个或两个以上的事项，或结论中有两个或两个以上的事项时，题设中的一个事项与结论中的一个事项互换，就可得到原命题的一个逆命题。
如：原命题：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，它的逆命题可以是：等腰三角形底边上的高平分底边，且平分顶角；也可以是：等腰三角形底边上的中线垂直于底边，且平分顶角。
2.逆定理的概念如果一个定理的逆命题也是定理(即真命题)，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
一般来说，所有的定理都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理，因为定理的逆命题可能是假命题，即使是真命题也可能不是定理。
经典题型精讲(一)逆命题例1.指出下列命题的题设和结论，再说出它们的逆命题。
(1)两直线平行，同位角相等。
(2)全等三角形的对应角相等。
(3)两直线平行，同旁内角互补。
(4)直角三角形的两个锐角互余。
(5)对顶角相等。
答案：(1)原命题：如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行。
(2)如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等。
(3)如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(4)如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。
(5)如果有两个角相等，那么它们是对顶角。
华师版八年级数学 13.5逆命题与逆定理(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
解：(1)有逆定理. 逆定理：在一个三角形中，等边对等角. (2)有逆定理. 逆定理：内错角相等，两直线平行. (3)没有逆定理. 逆命题：有三组角对应相等的两个三角形 全等，逆命题为假命题，故没有逆定理.
感悟新知
知2－练
2-1.下面的命题互为逆定理吗？如果不是，请说明理由. (1)“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直 线平行”； 解：两个命题互为逆定理．
(2)“对顶角相等”与“等的角是对 顶角”是假命题．
课堂小结
互逆命题与互逆定理
原命题 原定理
条件、结论 交换
互逆命题
逆命题
一定 不一定
互逆定理
逆定理
条件、结论 交换
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
13.5.2 线段垂直平分线
论，把条件和结论互换，并用通顺的语句将它们连起 来即可得到逆命题.
感悟新知
知1－练
例 1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a>b，那么a2>b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab<0，那么a>0，b<0.
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用线段垂直平分线的性质将要求的线段向已 知条件转化. 解：∵DE为BC的垂直平分线，∴ CD＝BD. ∴△ACD的周长为AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋ AB＝8 cm. ∵ AB＝5 cm，∴ AC＝3 cm.
感悟新知
知1－练
1-1. 如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC＝ 2.3cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是_7_.8__cm__.
2019秋浙教版八年级数学上册课件：2.5 逆命题和逆定理(共19张PPT)
8．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互 逆定理． (1)相等的角是同位角； (2)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 解：(1)“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”， 原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理； (2)“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为 “到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”， 原命题和逆命题是互逆定理．
点，若 PA＝PB＝PC，则 P 到三边的距离相等．
该逆命题成立．
证明：如答图，∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上， ∵PB＝PC，∴P在BC的垂直平分线上，
第12题答图
∴P是等边三角形ABC三条垂直平分线的交点，
∴P是△ABC三个角的角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF.
(2)∵AB＝BC＝AC且S△ABC＝S△ABP＋S△PBC＋S△APC， ∴由面积法可得 P点到各边的距离之和＝任意边上的高线长，
图2－5－2 (1)求证：PA＝PB＝PC； (2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么 结论？
解：(1)证明：∵点P在AB和BC的垂直平分线上， 由线段垂直平分线定理，得PA＝PB，PB＝PC. ∴PA＝PB＝PC； (2)由(1)知PA＝PC，由线段垂直平分线的逆定理，得点P也在 AC的垂直平分线上． 结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点．
题的反例是
A
(
)
A．a＝－2
B．a＝－1
C．a＝1
D．a＝2
3．[2017秋·蜀山区期末]下列命题的逆命题是假命题的是
A．对顶角相等
(A)
B．若x＝±1，则x2＝1
C．两直线平行，同位角相等
D．若x＝0，则x2＝0
逆命题与逆定理课件
2．【2020·广西】如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝ 80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为
( B) A．60° C．70°
B．65° D．75°
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD 上的一点，已知线段PA＝3，则线段PB的长度为 ( B) A．4 B．3 C．2 D．1
6．【2021·商丘期末】如图，AB∥CD，BE和CE分别平 分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且AD⊥AB，点P为 线段BC上一动点，连结PE.若AD＝14，则PE的最小 值为( ) A．7 B．10 C．6 D．5
【点拨】当EP⊥BC时，EP最短， ∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD， ∵BE平分∠ABC，AE⊥AB，EP⊥BC， ∴EP＝EA， 同理，EP＝ED，此时，EP＝12AD＝12×14＝7，故选 A.
期末提分练案
第6课时 逆命题与逆定理
1B 2B 3B 4B 5C
提示：点击 进入习题
6A 7A 83 9 35 10 13
答案显示
11 5∶6∶7 12 18 13 25° 14 见习题 15 见习题
提示：点击 进入习题
16 见习题 17 见习题
答案显示
1．如图所示，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA， PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是 ( B) A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
10．【中考·长沙】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5， AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则 △BCE的周长为___1_3____．
【点拨】∵DE是AB的垂直平 分线，∴EA＝EB，∴△BCE 的周长＝BC＋EC＋EB＝BC＋ EC＋EA＝BC＋AC＝13.
27.3逆命题、逆定理
平行四边形的判定
定理:两∵组AB对=C边D,分AD别=B相C,等的四边形是平行四A边形.
D
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
C
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD,AB=CD,
′
∴四边形ABCD是平行四边形.
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边A形.
D
∵AO=CO,BO=DO,
B
D C
定理:平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD是平行四边形. ′ ∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
A
O
B
定理:平行四边形的对角线互相平分.
D C
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴CO=AO,BO=DO. 推论:夹在两条平行线间的平行
MA
DN
线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,
PB
CQ
∴AB=CD.
回顾 思考
∴四边形ABCD是菱形.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
27.3 逆命题、 逆定理
命题
可以判断正确或错误 的句子叫做命题.
逆命题和逆定理课件(浙教版)(1)
例2 说出“等腰三角形两底角相等”的逆命 题．
错答：两底角相等的三角形为等腰三角形．
正答：有两个角相等的三角形为等腰三角形．
错因：没有理解清楚等腰三角形概念，当写出 底角时，三角形已经为等腰三角形了．有些问 题条件、结论位置互换时要注意专有名词的使 用正确．
分析：要证明点O在BD的垂直平分线上，只需证 明OB＝OD，由已知条件可用等角对等边证得．
解：∵AD∥BC ∴∠CBD＝∠ADB 又∵∠CBD＝∠C′BD ∴∠C′BD＝∠ADB ∴OB＝OD ∴点O在BD的垂直平分线上．
注意点：要证一点在线段的垂直平分线上，只 要说明这个点到这条线段的两个端点的距离相 等即可，这是线段垂直平分线性质定理的逆定 理最重要的使用．
第2章 特殊三角形 2.5 逆命题和逆定理
逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理
例1 下列定理，有没有逆定理？若有，请说出 其逆定理． (1)全等三角形的对应角相等． (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角 形．
分析：先写出定理的逆命题，然后再判断逆命 题的正确性．如果逆命题正确，说明原定理有 逆定理；如果逆命题错误，说明原定理有逆命 题但没有逆定理．
解：(1)没有逆定理． (2)有逆定理，逆定理为：等边三角形是有一个 角等于60°的等腰三角形．
注意点：写逆命题(逆定理)的关键在于明确原 命题的条件和结论分别是什么，在写逆命题时 要求完整、准确．
线段垂直平分线性质定理的逆定理 例2 把一张长方形纸条按如图方式折叠，使点C 落在C′处，设BC′交AD于O，则点O在BD的垂直 平分线上．你能说明理由吗？
例1 下列说法：①若原命题是真命题，则逆命题是 真命题；②若原命题是假命题，则逆命题也是假命题； ③每个命题都有逆命题；④每个定理都有逆定理．正 确的结论有( )
华师版八上数学1逆命题与逆定理课件
A
C
B
N
如何证明“三角形三条边的垂 直平分线交于一点”？
只需证明其中两条边的垂 直平分线的交点一定在第三条 边的垂直平分线上就可以了. B
A
l
n
O
m
C
点O在AC的垂
l是AB的垂直平分线
直平分线n上
A
OA＝OB OB＝OC
OA＝OC
l
n
O
m是BC的垂直平分线
B
m
C
试试看，现在你会证明了吗？
随堂练习
B
N
∴ △PCA ≌ △PCB（S.A.S.） ∴PA=PB
探索
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那 么反过来会有什么结果呢？
条件
逆命题是否是 一直线是一线段
性质定理
一个真命题？ 的垂直平分线
结论
该直线上的点到线 段两端的距离相等
逆命题
点到线段两端 的距离相等
该点在线段的 垂直平分线上
已知：如图，QA＝QB.
证明：过点O、Q作射线OQ. ∵OQ⊥OA，QE⊥OB，
O
∴∠QDO＝∠QEO＝90° 在Rt△QDO和Rt△QEO中，
B
E Q
DA
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点 D、E为垂足，QD＝QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上.
∵OQ＝OQ，QD＝QE， ∴Rt△QDO≌Rt△QEO（H.L.） O ∴∠DOQ＝∠EOQ ∴点Q在∠AOB的平分线上.
1. 如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，
使PA = PB. A
提示：作AB的垂直平 分线AC，垂足为点E，AE = CE.
求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
逆命题、逆定理
2、举例说明下列定理的逆命题是假命题。(先写 出下列定理的逆命题)
(1)全等三角形的对应角相等。
(2)互为邻补角的两个角的和为180°。 (3)矩形的两条对角线相等。 (4)对顶角相等。
3、如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、 CD上两点，连接AE，BF.请你再从下面四个 反映图中边角关系的式子(1)AB=BC;(2)BE=CF; (3)AE=BF;(4)∠AEB=∠BFC中选两个作为已知 条件，选一个作为结论，组成一个真命题， 并证明这个命题。
B
D
C
知识学习
每个命题都有它的逆命题；但每个真命题的逆命题不一定 是真命题，也说明定理的逆命题不一定是真命题；
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么它是原定理的逆定理， 这两个定理叫做互逆定理.
例如：命题“两直线平行，内错 角相等”和它的逆命题“内错角 相等，两直线平行”都是定理， 因此它们就是互逆定理．
A
D
F B
E
C
（4）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分 线上. 题设：一个点到一个角的两边距离相等。
结论：它在这个角的平分线上。
逆命题： 如果一个点在一个角的平分线上，那么这 个点到这个角的两边距离相等。（角的平 分线上的点到这个角的两边距离相等）
（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端 点的距离相等． 题设：一个点在一条线段的垂直平分线上。 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等。 逆命题： 如果一个点到一条线段的两个端点的距离 相等，那么这个点在这条线段的垂直平分 线上。（到一条线段的两个端点的距离相 等的点在这条线段的垂直平分线上）
么它的一条对角线把它分为两个全等三角形”的逆命
题，判断这个命题的真假，并给出证明。
1逆命题和逆定理课件
(1)直角都相等； 真 相等的角都是直角。 假
(2)平行四边形是中心对称图形；真 中心对称图形是平行四边形。 假
写出下列命题的逆命题，再判断原命题和逆命 题的真假：
(3)轴对称图形是等腰三角形 ； 假
等腰三角形是轴对称图形。 真
(4)全等三角形对应边相等； 真
三条边对应相等的两个 三角形是全等三角形.
逆逆
1、同位角相角相等。
两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结 论又是第二个命题的题设，那么这两个命 题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫 做它的逆命题。
例1：说说命题“如果两个角是同一个角 的余角，那么这两个角相等。”的逆命题。
解：逆命题是：如果两个角相等，那么这 两个角是同一个角的余角。
1）说出命题“如果a2=b2，那么a=b。” 的逆命题。
2) 说出命题“如果两个角是等角的补角, 那么这两个角相等。”的逆命题。
3）说出命题“如果三角形的两条边相等， 那么它们所对的角也相等。”的逆命题。
如果一个定理的逆命题能被证明也是定 理，那么这两个定理叫做互逆定理，其 中一个就叫做另一个的逆定理。
2) 平行四边形的对角线相等。
如果一个四边形是平行四边形,那么它 的两条对角线相等。
逆命题：如果一个四边形的两条对角线 相等，那么这个四边形是平行四边形。
下列命题改写成“如果……，那么……” 的情势，并说出它的题设和结论。 写出下列命题的逆命题。
3)等腰三角形的两个底角相等。 如果一个三角形是等腰三角形，那么它的 两个底角相等。 逆命题：如果一个三角形的两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。
练习册 P63 习题19.3
(选做题) 写出命题“直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半。”的逆命题， 判断这个逆命题的真假，并给出证 明。
(2)平行四边形是中心对称图形；真 中心对称图形是平行四边形。 假
写出下列命题的逆命题，再判断原命题和逆命 题的真假：
(3)轴对称图形是等腰三角形 ； 假
等腰三角形是轴对称图形。 真
(4)全等三角形对应边相等； 真
三条边对应相等的两个 三角形是全等三角形.
逆逆
1、同位角相角相等。
两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结 论又是第二个命题的题设，那么这两个命 题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫 做它的逆命题。
例1：说说命题“如果两个角是同一个角 的余角，那么这两个角相等。”的逆命题。
解：逆命题是：如果两个角相等，那么这 两个角是同一个角的余角。
1）说出命题“如果a2=b2，那么a=b。” 的逆命题。
2) 说出命题“如果两个角是等角的补角, 那么这两个角相等。”的逆命题。
3）说出命题“如果三角形的两条边相等， 那么它们所对的角也相等。”的逆命题。
如果一个定理的逆命题能被证明也是定 理，那么这两个定理叫做互逆定理，其 中一个就叫做另一个的逆定理。
2) 平行四边形的对角线相等。
如果一个四边形是平行四边形,那么它 的两条对角线相等。
逆命题：如果一个四边形的两条对角线 相等，那么这个四边形是平行四边形。
下列命题改写成“如果……，那么……” 的情势，并说出它的题设和结论。 写出下列命题的逆命题。
3)等腰三角形的两个底角相等。 如果一个三角形是等腰三角形，那么它的 两个底角相等。 逆命题：如果一个三角形的两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。
练习册 P63 习题19.3
(选做题) 写出命题“直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半。”的逆命题， 判断这个逆命题的真假，并给出证 明。
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1.命题: 2.结构： 3.命题真假：
我们把其中的一个叫做原命题， 另一个叫做它的逆命题.
命题
条件
结论
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 两直线平行
⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
a2＝b2
a＝b
观在察两表个中命题的中命，题如，果命第题一⑴个命与题命的题条⑵件有是什第么二个关命 系题的？结命论题，⑶而与第命一个题命⑷题呢的？结论是第二个命题的条件，
请在思举数考例 学真：说命命每出 题题个互 中的命逆 ，逆题定 请命都理 举题有例例是逆子说真命假；出题命一吗题个？吗原？命题是真命题， 逆命题是假命题的例子；
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理. × （2）每个命题都有逆命题. √ （3）假命题没有逆命题. × （4）真命题的逆命题是真命题. ×
那么这两个命题叫做互逆命题.
说出下列命题的逆命题，并判定原命题 与逆命题的真假.
(1)同位角相等；
假命题
相等的角是同位角.
假命题
(2)面积相等的三角形全等.
假命题
全等三角形的面积相等.
真命题
(3)在一个三角形中，等角对等边. 真命题 互逆定理
在一个三角形中，等边对等角. 真命题
(4)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具. 真 高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车. 假命题
P
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明: ⑴当点P不在线段AB上时，
A
O
B
作PC⊥AB于点O
C
∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质）
∴PC是AB的垂直平分线.
A
∴点P在线段AB的垂直平分线上
⑵当点P在线段AB上，结论显然成立；
显然，上述两个命题可称为互逆定理.
Байду номын сангаас
P P P
D
P
例1、按要求作答：
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线
A
O
B
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
C
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
解: 这个定理的逆命题是: 到一条线段两个端点距离 相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ
B P P
P
线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上.
几何语言：
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
A
P B
例、写出命题“等腰三角形底边上的中点 到两腰的距离相等”的逆命题，并证明逆 命题是真命题.
已知命题：“P是等边三角形ABC内一点. 若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC.”证 明这个命题，并写出它的逆命题，判断其逆 命题成立吗？
谈谈本节课的收获
我们把其中的一个叫做原命题， 另一个叫做它的逆命题.
命题
条件
结论
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行 同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 两直线平行
⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
a2＝b2
a＝b
观在察两表个中命题的中命，题如，果命第题一⑴个命与题命的题条⑵件有是什第么二个关命 系题的？结命论题，⑶而与第命一个题命⑷题呢的？结论是第二个命题的条件，
请在思举数考例 学真：说命命每出 题题个互 中的命逆 ，逆题定 请命都理 举题有例例是逆子说真命假；出题命一吗题个？吗原？命题是真命题， 逆命题是假命题的例子；
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理. × （2）每个命题都有逆命题. √ （3）假命题没有逆命题. × （4）真命题的逆命题是真命题. ×
那么这两个命题叫做互逆命题.
说出下列命题的逆命题，并判定原命题 与逆命题的真假.
(1)同位角相等；
假命题
相等的角是同位角.
假命题
(2)面积相等的三角形全等.
假命题
全等三角形的面积相等.
真命题
(3)在一个三角形中，等角对等边. 真命题 互逆定理
在一个三角形中，等边对等角. 真命题
(4)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具. 真 高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车. 假命题
P
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明: ⑴当点P不在线段AB上时，
A
O
B
作PC⊥AB于点O
C
∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质）
∴PC是AB的垂直平分线.
A
∴点P在线段AB的垂直平分线上
⑵当点P在线段AB上，结论显然成立；
显然，上述两个命题可称为互逆定理.
Байду номын сангаас
P P P
D
P
例1、按要求作答：
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线
A
O
B
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
C
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
解: 这个定理的逆命题是: 到一条线段两个端点距离 相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ
B P P
P
线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上.
几何语言：
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
A
P B
例、写出命题“等腰三角形底边上的中点 到两腰的距离相等”的逆命题，并证明逆 命题是真命题.
已知命题：“P是等边三角形ABC内一点. 若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC.”证 明这个命题，并写出它的逆命题，判断其逆 命题成立吗？
谈谈本节课的收获